Буклет-помогайка "Матрицы в экономике"

/data/files/n1730561118.docx (Буклет)

/data/files/w1730561151.docx (Пояснительная записка)Ключевые понятия и термины:

1.Матрица - это прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, на пересечении которых находятся ее элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Элементами матрицы могут быть различные объекты: числа, функции, выражения, переменные, другие матрицы и т. д.

2. Матрицы, в которых количество строк и столбцов совпадает, называют квадратными матрицами.

Действия над матрицами

1.Сложение матриц. Складывать можно лишь матрицы с одинаковым размером.

Сложение происходит поэлементно. 2.Умножение матрицы на число. Для умножения матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число. Умножать можно только матрицы с такой размерностью.

3.Транспонирование матриц. Матрица является транспонированной, если в данной матрицы каждую ее строку заменить соответствующим столбцом.

Определитель - это число, характеризующее некоторую матрицу. Найти определитель можно только у квадратных матриц. Для матрицы 2 на 2 определитель равен разнице между произведениями элементов на главной и побочной диагоналях соответственно. Для матрицы размером 3 на 3 применяют правило Саррюса.

Обратная матрица – такая матрица, при умножении которой на матрицу А, получается матрица Е (единичная).

Направление: математика

Матрицы в экономике

Составитель: Хилько Л.В., учитель математики МКОУ СОШ № 4 г. Мирного Архангельской обл.

С помощью матричного метода можно решить систему линейных алгебраических уравнений с множеством неизвестных. Однако все необходимые для этого вычисления требуют много времени. Есть два метода, которые ускоряют этот процесс. Первый из них - метод Крамера. Он применим только для квадратных матриц. Если det A ≠ 0, то , где - это det A, если в матрице А заменить i-й столбец вектор-столбцом В. Например:

det A = = 2+1 = 3≠ 0

= = 3 + 0 = 3; = = 0 - 3 = -3

x = = = 1; y= = = -1

Второй метод - метод Гаусса. Его можно применять и для неквадратных матриц. Данный метод заключается в том, что из матриц А и В составляют расширенную матрицу (А|В), и приводят ее к треугольному виду. Рассмотрим следующий пример:

(А|В) = ~(1)~ (2)

1) (2-ая строка) – (1-ая строка) ∙ 2; 2)(3-ья строка) ∙ 5 – (2-ая строка)

Из получившейся расширенной матрицы составим систему уравнений:

Следовательно, z = 1, y = 1 и x = 1.

Примеры экономических задач.

Задача 1. Данные о производстве молока, сметаны и сыра (в условных единицах) в двух фермерских хозяйствах за 2020 и 2021 гг. представлены в виде матриц:

Найти: а) объёмы произведённой продукции за два года (2020 и 2021);

б) прирост объёмов продукции в 2021г. по сравнению с 2020 годом;

в) матрицу среднегодового производства.

Задача 2. Кривая спроса на автомобили для некоторого периода времени может быть описана уравнением: = 15000 - 0,2, где – цена автомобиля, а – их количество. Уравнение кривой предложения имеет вид: = 600 + 0,1. Найти при каком количестве автомобилей и при какой цене будет достигнута равновесная цена.

Решение. Равновесная цена - это цена на конкурентном рынке, при которой величина спроса и величина предложения равны. Запишем данные уравнения в систему и решим ее с помощью матричного метода:

→

A = X = B =

А ⋅ Х = В. detA = -0,1 - 0,2 = - 0,3 ≠ 0

=

= -0,1; = -0,2;= -1;= 1. = =

X = ∙ B; X =

Значит равновесная цена будет достигнута при = 5400 и = 48000, т.е. При цене 5400 денежные единицы за автомобиль и при производстве 48000 автомобилей.

2. Кондитер, продала утром 149 кондитерских изделий: 42 пирожка с капустой; 24 пирожка с яблоком ; 35 пирожков с вишней; 48 булочек с корицей; днём было продано -280 изделий соответственно 35, 42, 84 и 119. Наибольший спрос пришёлся на вечер - 354: 54, 68, 99, 133 соответственно. Определим утреннюю, дневную и вечернюю выручку продаж при цене 26руб. за пирожки с капустой , 25 руб. за пирожки с яблоком , 27 руб. за пирожки с вишней и 22 руб. за булочки с корицей.

Для решения задачи, необходимо найти произведение матрицы объемов продаж на матрицу стоимости каждого вида изделий.