Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Определитель матрицы.

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Челябинский государственный колледж индустрии питания и торговли»

Методическая разработка урока по математике

Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Определитель матрицы.

Разработчик:

Щапова Елена Геннадьевна

Челябинск 2022

Тема урока: Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Определитель матрицы.

Тип урока: Урок изучение нового материала.

Форма урока: Комбинированный урок, включающий в себя ознакомление с новым материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Цели урока:

образовательная: познакомить с понятием матрицы и ее видами; дать представление об определителе матрицы; научить выполнять основные операции над матрицами;

развивающая: формировать умения пользоваться математическими инструментами и применять свои знания при решении математических задач по данной теме; продолжить развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию;

воспитательная: воспитание устойчивого интереса к математике; воспитание математической культуры; развитие самоорганизации обучающихся.

Методы обучения: словесно-наглядный, репродуктивный.

Средства обучения: персональный компьютер, проектор, экран, презентация.

Планируемые результаты:

Знать: понятие матрицы и ее элементы; основные виды матриц; понятие минора и определителя матрицы, свойства определителя матрицы; применение и значение матриц в практической деятельности.

Уметь: определять вид матрицы; выполнять основные действия с матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матриц); вычислять определитель матрицы; грамотно формулировать свои мысли по поставленному вопросу, анализировать, делать выводы.

Ход занятия.

1. Формулировка темы занятия, объяснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2. Проверка готовности студентов к занятию;

3. Проведение занятия согласно его тематике и в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Определитель матрицы».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Ответить на контрольные вопросы.

Организационный момент.

Приветствие студентов. Проверка подготовленности к учебному процессу, организация внимания студентов. Обеспечение благоприятного настроя.

Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.

В школьном курсе алгебры вы познакомились с такими способами решения систем линейных уравнений, как: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. На самом деле, кроме выше перечисленных, существуют и другие методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении данных методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.

Что же такое матрица, какие действия с ними можно выполнять?

Изучение нового материала.

Определение матрицы.

М атрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

- элемент матрицы, который находится в i – ой строке и j – ом столбце.

Первый индекс i (i =1, 2, …m) обозначает номер строки, второй j (j=1, 2, …n) – столбец матрицы.

- размер матрицы, где m – количество строк, n - количество столбцов.

Основные виды матриц.

1) Квадратная матрица – это матрица с равным числом столбцов и строк (n=m).

П ример.

главная диагональ

2) Единичная матрица – это квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а остальные элементы равны нулю.

3) Транспонированная матрица – это матрица, которую можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица А размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью .

Пример.

=>

4) Нулевая матрица – это матрица, все элементы которой равны нулю.

5) Матрица, состоящая только из одной строки (m=1), называется матрицей-строкой.

Пример.

Матрица, состоящая только из одного столбца (n=1), называется матрицей-столбцом.

Пример.

Операции над матрицами.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов – количеству переменных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Сложение матриц, имеющих один и тот же размер.

Сложение матриц А+В есть операция нахождения матрицы С, все элементы которой равны сумме всех соответствующих элементов матриц А и В, т. е. каждый элемент матрицы С равен

Пример.

Дано: , .

Найти: С=А+В

.

Умножение матрицы на число, отличное от нуля.

Умножение матрицы А на число заключается в построении матрицы В, элементы которой получены путем умножения каждого элемента матрицы А на это число, т. е. каждый элемент матрицы В равен .

Пример.

Дано: , λ=4.

Найти: В=λА.

.

Умножение матриц, подходящего размера

Умножение двух матриц – есть операция вычисления матрицы С, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первой матрицы и столбце второй матрицы (умножение строки на столбец).

Замечание. Операция умножения двух матриц возможна лишь в том случае, когда число столбцов первой матрицы – сомножителя А равно числу строк второй матрицы – сомножителя В. Если это условие не выполнено, произведение не существует.

Если матрица А имеет размерность , матрица В - , то размерность их произведения будет равна .

Примеры.

а) Дано: , .

Найти: АВ.

Ч исло столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. Матрица А имеет размер , матрица В – , тогда их произведение будет иметь размер .

б) Вычислить:

в) Вычислить:

г) Вычислить:

д) Вычислить:

.

Определитель матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка  .

Определителем матрицы называется число, которое по определенному правилу можно поставить в соответствие любой квадратной матрице.

Обозначается как: , или .

Определитель второго порядка считается по правилу:

Пример.

Дано: .

Найти: .

.

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка

 .

Д ля вычисления определителя третьего порядка будем использовать его разложение по элементам первой строки, тогда:

или

или

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор (определитель матрицы, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца), умноженный на .

Обозначается как: .

Тогда .

Замечание. Определитель третьего порядка может быть разложен по элементам второй и третьей строк, а также по элементам первого, второго или третьего столбца.

Пример.

Дано: .

Найти: .

.

Рассмотрим теперь квадратную матрицу n-го порядка. Определителем такой матрицы, разложенным по i-ой строке, будет называться число

где  - элементы i-ой строки, а  - их алгебраические дополнения.

Cвойства определителей.

1) При умножении всех элементов любой строки матрицы A на некоторое число определитель исходной матрицы умножается на это число.

2) Определитель матрицы, содержащей нулевую строку, равен нулю.

3) При перестановке местами любых двух строк или столбцов матрицы A  определитель меняет знак.

4) Определитель матрицы, содержащей две одинаковые строки или столбца, равен нулю.

5) Определитель матрицы не изменится, если к любой строке матрицы прибавить любую другую строку, умноженную на некоторое число.

6) Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц.

7) При транспонировании матрицы ее определитель не меняет своего значения.

Закрепление нового материала.

Задача 1. Выполнить действия над матрицами:

Решение:

.

Задача 2. Вычислить определитель матрицы А.

Решение:

.

Итоги занятия.

Вопросы и задания для самооценки:

ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ: 

- матрицей, квадратной, единичной, нулевой, транспонированной матрицей;
- определителем, минором, алгебраическим дополнением;

ПЕРЕЧИСЛИТЬ: 

- виды матриц;

- какие действия можно выполнять над матрицами;

- свойства определителей.

ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛЫ:

- для вычисления определителей второго и третьего порядка:

- вычисления алгебраического дополнения.

Домашнее задание. Выучить определения. Выполнить упражнения:

1. Найти , если , .

2. Выполнить действия над матрицами:

.

3. Вычислить определитель матрицы А.

Рефлексия.

Продолжите фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…