Брошюра «Чувство числа»

Посвящается моей первой учительнице Кожевниковой Галине Анатольевне и школьным учителям математики Попиковой Елене Михайловне и Тимошенко Светлане Васильевне

ПРЕДИСЛОВИЕ

«Интуиция – это как привычка читать слова, не складывая их по буковкам. Дитя этого не умеет – у него слишком мало опыта. Но взрослый человек узнает слово с первого взгляда потому, что видел его сотни раз.»

- Мисс Марпл.

Агата Кристи

Начиная писать эту брошюру, я отчетливо понимаю, что ступаю на неведомый мне путь, манящий и интересный, на путь открытий с опорой на профессиональный опыт учителя математики с желанием поделиться наблюдениями и конкретными наработками с коллегами, студентами педагогических ВУЗов, возможно, родителями детей, испытывающих сложности в познании математики.

Наблюдения и открытия, сделанные мною ранее при общении с учениками разного возраста, оформлены не просто идеями в моем сознании – эти идеи уже воплощались неоднократно в жизнь, становились проектами уроков, фрагментами уроков, ими пользуюсь и сейчас. При этом я осознаю, что при изложении этих мыслей в самом процессе написания брошюры, произойдут метаморфозы, ибо мысль, оформленная на бумаге, отличается от той, что живёт в голове. Так устроен наш мозг! Так устроен и мозг детей, которых мы пытаемся чему-то научить.

Именно этот парадокс привлек мое внимание, когда одна и та же написанная фраза в учебнике, воспринималась разными учениками по-разному, когда один и тот же способ вовлечения в тему возвращался разной реакцией моих учеников.

Слушая лекции профессора Черниговской Т.В., я не раз находил подтверждения этим наблюдениям – мы все разные! Мы смотрим на мир разными глазами и видим разное, мы слушаем мир, и по-разному откликается в нашем мозгу услышанное. Тактильные ощущения, обоняние – у каждого свои. Тут, как говорится (и потому, наверное, и говорится), на вкус и цвет - товарищей нет! Всё зависит от того, кто эту информацию видит (слышит), насколько развит и чем развит его мозг.

Как удачно, на мой взгляд, сказал советский и российский математик, автор учебников Г.В. Дорофеев, «задача школьного преподавания математики не в обучении математике, а обучение математикой». Развивая мозг ребенка математикой, мы подготавливаем его к восприятию информации (зрительной, слуховой, любой другой), обработке этой информации, получению «продукта» обработки (мысли, идеи, проекта, решения проблемы, плана и т.п.).

Математика как средство развития мозга имеет много преимуществ перед другими видами занятий. Во-первых, это мощный инструмент ввиду того, что, решая одну учебную задачу, ребенок тренирует несколько видов мыслительных операций (все сразу, чего греха таить!) Во-вторых, это наименее затратный способ. Чтобы провести исследование и что-то узнать в биологии, физике, химии нужны инструменты, реактивы, приборы, специальные условия и пр. Для занятий же математикой достаточно листа бумаги и карандаша! В этом смысле учитель математики более мобилен, гибок в выборе предмета для разговора с учащимися.

Говоря о развитии мозга математикой как средством, следует отметить и тот факт, что несмотря на высокоразвитые технологии, машины, умеющие считать много быстрее и качественнее человека, умение считать «вручную» всё же остаётся базовым для любого человека. Почему? Во время счёта, особенно в моменты применения рациональных его приёмов, у человека формируется так называемая арифметическая зоркость – способность видеть не только сами числа, их характеристики, но и взаимоотношения, взаимосвязи между ними. Именно эти взаимоотношения и свойства чисел позволяют в дальнейшем находить такие же связи между другими числами, а в последствии, и между более абстрагированными объектами, например, алгебраическими дробями, многочленами и т.д. В значительно зрелом варианте – это функциональные зависимости, анализ свойств функций, построение математических моделей, таких как уравнения, неравенства, их системы, диаграммы, графики и т.п.

Умение видеть и подмечать эти связи я называю математической интуицией. Она, как привычка, формируется частым, систематическим повторением одного и того же действия, доведенного до автоматизма. Состояние перехода от арифметической зоркости к математической интуиции назовем чувством числа.

Такое название, как мне кажется, как нельзя лучше иллюстрирует понимание ребенком количественной меры, ее взаимосвязи с обозначением на письме (знаковым кодированием), осознание свойств этой меры, ее состава и т.п. Точно так же, как поступает запах через нос, а затем анализируется обонятельными рецепторами по контролем мозга и, собственно, осознается им как запах чего-то в результате этого анализа (на основе сравнения с имеющимися данными), посредством зрения мы получаем информацию о числе. Станет ли она одинаковым чувством числа у каждого ребенка? Конечно, нет! Об этом свидетельствуют сотни примеров восприятия числа. Наибольшее разнообразие характеристик выдают дети с более развитым чувством числа, а значит с хорошо предварительно развитой арифметической зоркостью. Именно эти дети быстрее находят взаимосвязи, строят логические цепочки, сообщают план решения задачи и т.п. Тренинг этой привычки приводит к формированию и закреплению математической интуиции – главному «продукту» образовательной деятельности на уроках математики. Если к этому добавить еще теоретические предметные знания, то получим так называемую математическую грамотность, о которой так часто стали говорить в последнее время.

Является ли математическая интуиция метапредметным результатом? Скорее всего, да! Любая интуиция является метапредметным результатом, а математическая – в особенности. Причина ясна: «Математика – это язык, на котором написана книга природы. Г. Галилей». Язык мироописания – этим всё сказано! Этим языком пользуются все науки. А в любом языке интуиция – средство чтения и понимания речи (как хорошо это иллюстрирует эпиграф).

Формированию арифметической зоркости, чувству числа, развитию математической интуиции посвящены все размышления в этой брошюре.

Глава 1

«То ли ещё будет!»

или

«Почему проблемы с математикой начинаются уже во 2 классе»

Ребёнок не приходит в школу из вакуума. Это уже семилетний человек с определённым жизненным опытом, привычками, зарождающейся интуицией, в т.ч. интуицией математической. Самые первые математические знания, наверное, выражаются в умении пальчиками показать свой возраст в ответ на вопрос: «Сколько тебе годиков?». Ребёнок, растопыривший три пальца, действительно понимает, что эти три (годика) последовательно шли друг за другом, складываясь вот в такую комбинацию, или он просто повторяет жестовые знаки родителей? А ребёнок в 7 лет? Тот ведь даже и пальцев не покажет, выпалив уверенно «Семь!». Что этот ребёнок думает на самом деле о сказанном слове? Он как его осознаёт? (Поговорите на эту тему с детьми, уверен, откроете для себя много интересного).

Новомодная гонка родителей за успешностью отнимает у детей детство. В 1 класс приходят дети с уже неприятием интеллектуального труда: был опыт в развивающих школах, курсах, принуждение мам и бабушек дома. Бывает, приходят дети совсем «нулевые», у которых этого опыта вовсе нет. Учителю начальных классов предстоит решить сразу много задач: «посадить класс», научить слушать, выполнять инструкцию, ориентироваться во времени и т.д. Вместе с этими важными задачами в обиход учебной деятельности входят различные средства, в том числе, числа.

К сожалению, насыщение образовательной системы тиражируемыми повсеместно педагогическими технологиями приводит к тому, что детей очень быстро обучают письму, в том числе, начертанию цифр, проговариванию их последовательностей, например, от 1 до 10 и обратно, не заостряя внимания на том, что за начертанным, например, «лебедем»-двойкой кроется вполне конкретная количественная характеристика. Встречаются дети, которые и в 10 лет не могут ассоциировать написанное число 2 с чем-либо.

Вывод один: нельзя рано абстрагировать код информации (знак) от реальных объектов. Чувство числа у ребенка должно формироваться в раннем детстве так же, как любое другое знание о мире: осязанием, обонянием и т.п. Всё, что можно пощупать, надо дать пощупать, повертеть в руках (кубики, пирамидки, счетные палочки, костяшки на счетах). Изначально число 2 на письме - это две палочки (две зарубки на дереве, хранящиеся в нашей генетической памяти). Когда зарубок-палочек становится много, их неудобно писать (долго, можно сбиться). Тогда группы этих зарубок договорились обозначать одним символом – цифрой. В арсенале ребенка появляются новые инструменты. Но цифры – это всего лишь символы, знаки договоренностей. С помощью знаков мы учимся кодировать информацию. И тогда, например, одной цифры бывает недостаточно. Используют две. Получаем двузначные числа и т.д.

Важной задачей на этом раннем этапе является приучение детей к мысли о кодировании информации с помощью символов, то есть пониманию того, что за каждым символом стоит смысл. Помогают игры «Нарисуй слово», «Нарисуй цифру». Как за каждым словом детям видится предмет, так за каждой цифрой (однозначным числом) дети должны «видеть» количество, начинать чувствовать это число.

Глава 2

« - А что это у вас тут нарисовано?

- А это - смотря что Вы хотите увидеть!»

Первую встречу с учениками в 5 классе я начинаю с игры «Нарисуй число». Прошу смельчаков нарисовать любимое число на доске. Чаще всего, это число 5 – любимая отметка! Но вот в чем загвоздка: выскочивший к доске ученик написал 5, а я просил нарисовать 5. Дети в недоумении! Подсказываю, что надо как-то изобразить 5, но не с помощью символа 5. Мозг взрывается! Но «первые ласточки» просятся к доске: один приложил пятерню и обвел её мелом. Молодец! Другой – начертил те самые пять зарубок. Молодец! Третий вспомнил о римской нумерации и на доске появляется V. Молодец! Игра увлекает ребят, похвалы слышатся чаще. На доске появляются совсем необычные представления числа 5. Если играть в эту игру систематически, предлагая ребятам найти способы написания, например, своей даты рождения, в привычку входит умение смотреть на число не просто как на констатацию факта, выраженную двумя-тремя символами, а как на возможность по-разному его записать, выразить через взаимосвязь с другими числами. Чего только стоил восторг ребят, когда мы провели «Ночь волшебной математики»: по договоренности в один из воскресных вечеров ребята поменяли записи номеров квартир в своих подъездах на соответствующие придуманные ими выражения, креативно изготовив таблички в одном стиле!

У меня в кабинете висят «Математические часы» – сувенир, подаренный родителями учеников ко Дню Учителя. На циферблате вместо привычных чисел, обозначающих время, записаны эти числа с помощью квадратных корней, дробей и факториалов. Один из девятиклассников, вдохновленный увиденным, выполнил проект «Время, записанное по-разному», изготовив из фанеры похожие часы, с выжженными символами – он использовал другие способы обозначения привычных чисел циферблата, более понятные младшим школьникам. Повесив двое часов рядом, я добился постоянного присутствия «шпаргалки», подсказки того, что одни и те же числа, могут быть записаны по-разному, но количественная характеристика чего-либо при этом не меняется! У кого-то возник интерес найти «своё видение времени».

Изучая, например, степени, корни, логарифмы и пр. мы с ребятами пользуемся этими часами, как шаблонами тренажеров по «видению числа так, как надо» в рамках изучаемой темы. Так развивается арифметическая зоркость. Попутно повторяются свойства чисел, устанавливаются взаимосвязи (например, 12 – это половина 24), отрабатываются обратные операции (например, 3 это может быть , а 9 может быть ).

Упражнений на эту тему можно придумать множество! Подчеркну, учителю не нужно закупать дидактический материал, иметь проектор, компьютеры. Математика настолько малозатратна и при этом изобильна средствами обучения, что иногда даже становится за неё обидно! (Шутка!)

Самым любимым упражнением является следующая моя находка.

Ежедневно, записывая в тетрадь дату урока, мы выполняем следующие упражнения:

5 класс (сентябрь-октябрь)

Выпишите три числа, входящие в запись даты урока. Например, это урок 7 ноября 2022 года. Один из учеников работает у доски.

Выписал: 7,11,22

Что вы можете сказать об этих числах? (они натуральные, целые, 11 является половинкой 22, два из них записаны одинаковыми цифрами и тд)

Запишите их в порядке возрастания с помощью двойного неравенства (7 < 11 < 22)

Выпишите делители каждого числа (7 : 1;7 ; 11:1; 11; 22 : 1; 2; 11; 22)

Обведите кружочком общие делители. Выпишите НОД

Возведите каждое число в квадрат.

Выпишите цифры, используемые в записи этих чисел.

Возведите каждое однозначное число в куб

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из этих цифр? И т.д.

С появлением новых знаний, появляются и новые вопросы. Безусловно, нагромождать это упражнение множеством вопросов не нужно. То, что отработано хорошо, откладывается «до лучших времен», то, что актуально «здесь и сейчас», тиражируется из урока в урок. Видим, что повторяются не только свойства чисел, но и формируется особый взгляд на числа – они состоят из делителей! И мы уже даже ищем общие и НОД (а эта тема будет «официально» изучаться много позже). То есть мы формируем арифметическую зоркость не только в актуальных условиях, но и на пропедевтическом уровне.

Это же самое упражнение можно расписать для любого возраста детей. На уроках геометрии можно спрашивать о существовании треугольника с такими сторонами. На уроках алгебры в 10 классе можно записывать эти числа в виде логарифмов по различным основаниям и т.д.

Одно только это упражнение, выполняемое систематически на каждом уроке математики, позволяет не только достигать предметных результатов, но и повышает познавательный интерес учеников, мотивирует их думать, формирует метапредметный результат – развивает арифметическую зоркость, чувство числа и математическую интуицию.

Глава 3

«А зачем мне это нужно?»

Если этот вопрос, читатель, Вы восприняли как вопрос от учеников, то отвечу так. Математика это - не прикладная специальность в бытовом смысле слова. Для быта, обыденной жизни и, возможно, для большинства профессий все наши синусы-косинусы, корни и факториалы, конечно, не нужны! Но жизнь учеников - уже жизнь! Она не будет какой-то другой, новой потом. Она – здесь и сейчас! И на уроках математики мы работаем с числами, выражениями, формулами, функциями и другими математическими моделями как с тренажерами в спортивном зале. Они нам нужны, чтобы упражнять, тренировать мозг, а точнее его функции (способности и возможности) сейчас, пока этот самый мозг находится в стадии развития. Можно рассказать детям о нейронах, провести совместный с учителем биологии урок о строении и функциях мозга, построить модель нейронной сети (примитивной) на основании работы с той же датой урока! И… перед нами на доске «ментальная карта»! Еще одно часто используемое в методике преподавания предметов понятие (иногда представляемая как педагогическая технология). А почему бы не познакомить учеников и с этим? Как хорошо потом в 8 классе, изучая «семейство параллелограмма» строить генеалогическое древо этого семейства, искать общие свойства, устанавливать различия…

Если вопрос в заголовке главы, читатель, Вы задали от своего имени, то, скорее всего, Вы пропустили Предисловие, как это часто бывает. И тогда - посоветую вернуться в него и понять «откуда ноги растут».

Если после прочтения Предисловия у Вас всё же сохранились сомнения в действительной важности того, о чём эта книга, вспомните, как в 10 классе многие ученики не видят в выражении sin x∙cos x половину синуса двойного угла. И, заметьте, это не потому, что тригонометрия такая сложная! Это потому, что ранее они не приучились «видеть» 1) в «отсутствующем» коэффициенте 1; 2) «чувствовать» в 1 половину 2. ( ∙ 2 = 1). Чтобы это научиться видеть и чувствовать (узнавать), нужно, по крайней мере, на это смотреть! И смотреть так часто, чтобы «читать слова, не складывая их по буковкам» (см. эпиграф).

Но есть ещё одно важное «зачем». Я имею ввиду полезность упражнения с датой урока. У каждой даты – своя история! И это повод поговорить о воспитательном компоненте урока.

Вернемся к уроку 7 ноября. Парад памяти! Прекрасная возможность учителю использовать данный факт как элемент патриотического воспитания. Все дальнейшие текстовые задачи, например, можно составить в контексте этой значимой даты. Для этого нам поможет справочная статистика в Интернете.

Используя эти два приема – работа с датой урока как с набором чисел и как с календарным событием, мы пришли к технологии проектирования содержания урока, отвечающего всем требованиям ФГОС. Здесь и воспитательный компонент, и развитие метапредметных навыков (интуиция, работа с таблицей квадратов), и достижение предметных результатов (устный счет, НОД, неравенство, комбинаторная задача и тд).

Резюмируя, скажу, что описанная технология идеальна для подготовки открытого урока.

Ну, и последний штрих. Предвосхищая вопрос читателя, а как быть с датами уроков, в которых нет памятных дат, отвечу. В календаре праздников каждый день содержит множество поводов для зацепки. Приведу пример слайда из презентации урока, проведенного 26 мая в 5 классе в онлайн школе «Буквица».

Не что-то пафосное, но все же повод для разговора есть. Как объяснить методическую составляющую такого приема? Во-первых, расширение кругозора, межпредметные связи (экология, география), а главное – развитие функциональной грамотности. Работа с текстом, вычитывание информации, фильтрация информации, умение грамотно ответить на поставленный вопрос.

Еще один пример похожего использования. Урок в 5 классе 17 мая. Материалы для разговора о дате представлены на рисунках.

Здесь, ни к чему не обязывающий, разговор об искусстве. Безусловно, и без этого разговора урок мог бы состояться. Приведенный мною пример неслучаен. Этот урок был так же проведен в онлайн-школе. Это значит, что я находился с учениками дистанционно и мы, каждый со своей стороны, глядели в один экран. Чтобы увлечь учеников во время таких уроков нужна наглядность. То, что не актуально в повседневном режиме обычной школы, становится принципиальным в других условиях.

Родители учеников онлайн-школы «Буквица» для детей на семейном обучении присутствуют во время урока и видят всё, что видит их ребенок и занимаются вместе с ним. По их отзывам такие занятия были интересны им самим. Захотелось узнать об этом побольше. И если они это делали так же, с детьми, то это пример достижения главного результата урока математики – зажечь, увлечь, дать почву для размышлений, а значит, для развития.

Глава 4

«А что у Вас больше и посчитать, кроме дат, нечего?»

Посвятив основную часть брошюры упражнению с датой урока, описав способы использования материала для актуализации знаний, формулирования целей, в том числе воспитательных, вернемся к исследованию вопроса о формировании арифметической зоркости и чувства числа.

Одним из важных этапов урока математики, на мой взгляд, является тренирующий устный счет. Об этом знает любой учитель математики, но, к сожалению, анализ уроков последних лет, проводимый мною как руководителем методического объединения учителей математики округа, показывает, что этот этап ушел в историю, как что-то архаичное, немодное.

А зря!

Помимо основной функции – формирования вычислительных навыков как основы решения любых задач в математике, физике, химии и пр, - на этом этапе хорошо тренируются арифметическая зоркость и математическая интуиция в их прямой взаимосвязи. Покажем это на примере.

/data/files/t1671721362.png (1) На рисунке представлен фрагмент урока «Устный счет» в 5 классе. Середина октября. На первый взгляд, задания для пятиклассников достаточно сложны: в них и большие числа, и несколько действий. Но, учитывая, что ежедневно с 1 сентября мы считали устно, сначала простые примеры из таблицы умножения, затем познакомились с правилом умножения на 10,100,1000, выучили, что 25х4=100, 125х8=100 и другие способы получения «круглых» чисел, изучили переместительное и сочетательное свойство умножения и сложения, данные примеры в середине октября уже не вызывают затруднений у учеников. Главной трудностью было приучить ребят смотреть на задание целиком, не начиная его выполнять «в лоб». Заметив «удобные» для подсчета правила действий и числа, ребята с увлечением и легкостью «расправляются» с такими громоздкими заданиями. Поддерживаю их и предлагаю дома показать родителям мастер-класс, как за полтора месяца в 5 классе мы научились считать такие «сложные» примеры. Примеры, конечно, для показного мероприятия перед родителями дети должны составить сами. Здесь достигается важная цель обучения – составляя задание, ученик мысленно его проверяет, чтобы оно «решалось» и не было никаких сюрпризов на мастер-классе. Таким образом, мозг ребенка выполняет две главные мыслительные операции - анализ и синтез. В этом процессе учеником самостоятельно подыскивается способ самопроверки. Формирование навыка самопроверки как регулятивного умения и есть эта важная цель.

Глава 5

«Если ружьё висит, значит, оно должно выстрелить!»

В предыдущей главе мы рассмотрели упражнения для устного счета и акцентировали внимание на том, что, во-первых, это должно стать обязательным элементом урока, а во-вторых, показали важность этого элемента в развитии математической интуиции.

Рассмотрим ещё один значимый аспект: урок, как и театральный спектакль, должен быть не просто технологичен, он должен быть «живым», эмоциональным, отвечать на вопрос «зачем?», только тогда он будет понятен ученикам и принят ими.

Проводимый в начале урока устный счёт должен как «чеховское ружьё» вписаться в «интерьер урока» и обязательно выстрелить! Это означает, что во время подбора упражнений для устного счета целесообразно учитывать арифметические действия, которые встретятся на этом уроке как элементы заданий следующих этапов урока. Понятно, что для этого учитель, отбирая задания для содержания урока, должен их прорешать. Скорее всего, в них встретятся какие-то «рядовые» случаи подсчета, которые можно использовать как набор для тренажерного устного счета. А, возможно, в задаче встретится подсчет «с подвохом». Такую ситуацию, несомненно, нужно рассмотреть во время устного счета.

Что это дает? Во-первых, мы сразу решаем все трудности с расчетами, обсуждаем, спорим, доказываем вместе. При дальнейшей работе на уроке это дает возможность учителю организовать самостоятельную работу учащихся, дифференцировать задания, учесть скорость выполнения заданий различными учениками. Мы как будто заранее вычисляем всё «на калькуляторе» (общими усилиями во время этого этапа считаем то, что подлежит устному счету), а потом пользуемся полученными данными, обращая внимание на методы решения задач, рассуждения, «не спотыкаясь» на вычислениях.

Приведем примеры работы учителя по составлению задания для отработки во время устного счета того, что предстоит вычислить в последствии в письменной задаче.

№1 Календарь, имеющий цену 300 руб, уценили на 40%. Завхоз офиса решил воспользоваться случаем и закупил для всех 11 календарей. Сколько денег он потратил?

В решении этой задачи дети могут вычислять как 40% от 300, так и 60% от 300. Поэтому в тренажер для устного счета можно включить в 5 классе 300:100 х 60 (аналогично х 40), для 6 класса 0,6 х 300 (аналогично 0,4 х 300). Так же можно включить в тренажер пример 18 х 11(хотя в задаче придется умножать 180 х 11). Это пример на повторение способа умножения двузначного числа на 11.

№2 Предположим, что в каком-то задании придется выполнить действие 10,235 х 0,22. Конечно, на устный счет ради подсчета такое задание не вынесешь! Но! Можно сформулировать устное задание так:

А) Определить количество цифр после запятой в ответе 10,235 х 0,22

Б) В каком из случаев пример записан верно? 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Попытка поделиться наработками, идеями, как и предполагалось, «изобразилась» на бумаге совсем не так, как могла быть озвучена устно. Но она меня не разочаровала! Напротив, многие мысли пришлось систематизировать, над некоторыми фразами поработать дольше, неоднократно к ним возвращаясь. В связи с этим, как мне кажется, удалось изложить кратко суть идеи, обозначить ценность обсуждаемых предметов (математическая интуиция, чувство числа, арифметическая зоркость), привести примеры использования идей на уроках. Поэтому отпала необходимость писать об одном и том же, но с примерами из уроков для 7-11 классов. Думается, учитель, желающий воспользоваться идеями брошюры, сможет беспроблемно спроектировать урок по любой теме, в любом классе.

Развитие математической интуиции как привычки – дело долгосрочное, требующее системного подхода и дисциплинированности самого учителя. Скажу строже – привычка формируется привычкой! Для этого сначала нужно выработать в себе привычку при подготовке к урокам следовать составленному алгоритму и, несмотря ни на что, стараться не отступать от него. Ведь учиться, это как плыть против течения реки – чуть остановился и тебя отнесло назад (китайская пословица).

PS: Брошюра умышленно написана не выверенным литературным и не научным языком. Все рассуждения в ней – мысли, записанные в режиме реального времени, на том языке, на котором я разговариваю ежедневно. Она предназначена, прежде всего, для людей, ищущих подсказки практикующего учителя. Это не учебник, не методическое пособие, не инструкция и даже не научная статья! Это, скорее, приоткрытая дверь во время урока в кабинет математики, где работает автор. Буду рад, если мои идеи окажутся кому-то полезными!