Дидактический материал по математике 1 курс спо

Общие положения

Область применения

Контрольно – измерительные материалы (КИМ) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины ОУД. 09 «Математика» среднего (полного) общего образования в пределах ОПОП СПО.

КИМ разработаны в соответствии с требованиями основной профессиональной образовательной программы базовых общеобразовательных дисциплин специальности 20.02.04 «Пожарная безопасность» и рабочей программы учебной дисциплины ОУД. 09 «Математика»

Учебная дисциплина, в соответствии с учебным планом, изучается на первом курсе и заканчивается экзаменом.

2.Компект материалов для входного контроля

2. 1. Общие положения

Входная контрольная работа проводится с целью проверки освоения обучающимися содержания образования по математике.

Время на выполнение работы 90 минут.

1 вариант

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. В правой части рисунка даны обозначения двери и окна, а также указано, что длина стороны клетки на плане соответствует 0,4 м. Вход в квартиру находится в прихожей. Слева от входа в квартиру располагаются кухня и санузел, а также одна из застеклённых лоджий, в которую можно пройти из кухни. Также из кухни можно попасть в гостиную — самое большое по площади помещение. Наименьшую площадь в квартире имеет кладовая. В квартире есть ещё одна застеклённая лоджия, куда можно попасть, пройдя через спальню.

Задание 1. Для помещений, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность пяти цифр.

Задание 2. Найдите ширину лоджии, которая примыкает к спальне. Ответ дайте в сантиметрах.

Задание 3. Плитка для пола размером 20 см х 20 см продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плитки необходимо купить, чтобы выложить пол в обеих лоджиях?

Задание 4. Найдите площадь гостиной. Ответ дайте в квадратных метрах.

Задание 5. На сколько процентов площадь лоджии, примыкающей к спальне, больше площади кладовой?

Задание 6. Найдите значение выражения

Задание 7. Найдите значение выражения

Задание 8. Найдите корень уравнения (5х+3)(-х+6)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Задание 9. Ре­ши­те не­ра­вен­ство  .

Задание 10. У ба­буш­ки 12 чашек: 3 с крас­ны­ми цве­та­ми, осталь­ные с си­ни­ми. Ба­буш­ка на­ли­ва­ет чай в слу­чай­но вы­бран­ную чашку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что это будет чашка с си­ни­ми цве­та­ми.

Задание 11. Сто­ро­на ромба равна 26, а ост­рый угол равен 60°. Вы­со­та ромба, опу­щен­ная из вер­ши­ны ту­по­го угла, делит сто­ро­ну на два от­рез­ка. Ка­ко­вы длины этих от­рез­ков?

Задание 12.Ту­ри­сты про­плы­ли на лодке от ла­ге­ря не­ко­то­рое рас­сто­я­ние вверх по те­че­нию реки, затем при­ча­ли­ли к бе­ре­гу и, по­гу­ляв 2 часа, вер­ну­лись об­рат­но через 6 часов от на­ча­ла пу­те­ше­ствия. На какое рас­сто­я­ние от ла­ге­ря они от­плы­ли, если ско­рость те­че­ния реки равна 3 км/ч, а соб­ствен­ная ско­рость лодки 6 км/ч?

Задание 13. В параллелограмме ABCD точка E - середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

2 вариант

Владелец собирается провести ремонт своей квартиры. На плане изображена предполагаемая расстановка мебели и бытовой техники на кухне после ремонта. Сторона каждой клетки равна 0,3 м. Кухня имеет квадратную форму. Единственная дверь кухни деревянная, в стене напротив двери расположено окно.

Справа от двери будут поставлены полки для посуды, слева от двери будет смонтирована раковина для мытья посуды. В углу слева от окна предполагается разместить газовую плиту. Между раковиной и плитой будет собран буфет, отмеченный цифрой 3. Площадь, занятая буфетом, по плану будет равна 0,72 м2. В центре кухни планируется поставить обеденный стол. Кроме того, в угол кухни будет поставлен холодильник, занимающий 0,36 м2 пола. Пол кухни (в том числе там, где будет стоять мебель и бытовая техника) планируется покрыть плиткой размером 30 см × 30 см. Кроме того, владелец квартиры планирует смонтировать на кухне электрический подогрев пола.

Чтобы сэкономить, владелец не станет подводить обогрев под холодильник, плиту, буфет, раковину и полки для посуды, а также на участок площадью 0,18 м2 между буфетом и плитой.

Здание 1.  Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр.

Задание 2.  Плитка для пола продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки нужно купить, чтобы покрыть пол кухни?

Задание 3.  Найдите площадь той части кухни, на которой будет смонтирован электрический подогрев пола. Ответ дайте в м2.

Задание 4. Найдите расстояние (по прямой) между противоположными углами обеденного стола. Ответ дайте в метрах.

Задание 5.  Владелец квартиры выбирает холодильник из двух моделей А и Б. Цена холодильников и их среднее суточное потребление электроэнергии указаны в таблице. Цена электроэнергии составляет 4 рубля за кВт · ч. 

 Обдумав оба варианта, владелец квартиры выбрал модель А. Через сколько лет непрерывной работы экономия от меньшего расхода электроэнергии окупит разницу в цене этих холодильников? Ответ округлите до целого числа.

Задание 6.  Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

Задание 7. Представьте вы­ра­же­ние  в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем 

Задание 8. Решите уравнение: 

Задание 9.  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  

Задание 10.Стас, Денис, Костя, Маша, Дима бро­си­ли жре­бий — кому на­чи­нать игру. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на­чи­нать игру долж­на будет девочка.

Задание 11.  Диагональ  AC  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 30° и 45°. Най­ди­те боль­ший угол параллелограмма.

Задание 12.Из го­ро­дов А и В нав­стре­чу друг другу од­но­вре­мен­но вы­еха­ли мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист. Мо­то­цик­лист при­е­хал в В на 40 минут рань­ше, чем ве­ло­си­пе­дист при­е­хал в А, а встре­ти­лись они через 15 минут после вы­ез­да. Сколь­ко часов за­тра­тил на путь из В в А ве­ло­си­пе­дист?

Здание 13.  Прямая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции ABCD, пе­ре­се­ка­ет её бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках E и F соответственно. Най­ди­те длину от­рез­ка EF, если AD = 44, BC = 24, CF:DF = 3:1.

Критерии оценки:

Правильно выполненные 7-9 заданий – “3”

Правильно выполненные 10-11 заданий – “4”

Правильно выполненные 12-13 заданий – “5”

3. Материалы, предназначенные для проверки результатов освоения учебной дисциплины

3.1 Общие положения

При проверке результатов освоения учебной дисциплины «Математика» обязательным является контроль трех основных элементов: теоретических знаний, умений применять их при решении типовых задач и экспериментальных умений. Поэтому, контрольные мероприятия по каждому разделу включают в себя проведение устного опроса, тестирования, практических работ и проверку выполнения домашних самостоятельных работ.

3.2 Критерии оценки материалов для проведения текущего и тематического контроля

Содержание и объем материала, подлежащего проверке, оп­ределяется программой. При проверке усвоения материала нужно выявлять полноту, прочность усвоения обучающимися теории и умения применять ее на практике в знакомых и незнакомых ситуациях.

Основными формами проверки знаний и умений обучающихся по математике являются проверочная работа, практическая работа, тестирование, устный опрос.

Устный опрос является одним из основных способов учета знаний студентов по изучаемой дисциплине. Развернутый ответ студента должен представлять собой связное, логически последовательное сообщение на определенную тему, показывать его умение применять определения, правила в конкретных случаях.

При оценке студента надо руководствоваться следующими критериями:

1.Полнота правильного ответа

2.Степень осознанности, понимания изучаемого материала

3.Знание терминологии и ее правильное использование

4.Соответствие содержания ответа требованиям учебной программе по дисциплине.

Критерии оценки:

 Ответ оценивается отметкой «5», если обучающийся:

полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотрен­ном программой и учебником,

изложил материал грамотным языком в определенной логиче­ской последовательности, точно используя математическую термино­логию и символику;

правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

показал умение иллюстрировать теоретические положения конк­ретными примерами, применять их в новой ситуации при выполне­нии практического задания;

продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при от­работке умений и навыков;

отвечал самостоятельно без наводящих вопросов преподавателя. Возможны одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые обучающийся легко исправил по за­мечанию преподавателя.

Ответ оценивается отметкой «4», если он удовлетворяет в основ­ном требованиям    на оценку «5», но при этом имеет один из недо­статков:

в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие ма­тематическое содержание ответа;

допущены один – два недочета при освещении основного содержа­ния ответа, исправленные по замечанию преподавателя;

допущены ошибка или более двух недочетов при освещении вто­ростепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию преподавателя.

 Отметка «3» ставится в следующих случаях:

неполно или непоследовательно раскрыто содержание материа­ла, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного ма­териала (определенные «Требованиями к математической подготов­ке обучающихся»);

имелись затруднения или допущены ошибки в определении поня­тий, использовании математической терминологии, чертежах, вы­кладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов преподавателя;

обучающийся не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обя­зательного уровня сложности по данной теме;

при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

не раскрыто основное содержание учебного материала;

обнаружено незнание или непонимание обучающимся большей или наиболее важной части учебного материала;

допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов преподавателя.

Предметом оценки освоения дисциплины являются умения, знания способность применять их в практической деятельности и повседневной жизни

При оценке письменных ответов преподаватель в первую очередь учитывает показанные обучающимися знания и умения. Оценка зависит также от наличия и характера погрешностей, допущенных обучающимися.

Среди погрешностей выделяются ошибки и недочеты. Погрешность считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что обучающийся не овладел основными знаниями, умениями, ука­занными в программе.

К недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии знаний, не считающихся в про­грамме основными. Недочетами также считаются: погрешности, ко­торые не привели к искажению смысла полученного обучающимся зада­ния или способа его выполнения; неаккуратная запись; небрежное выполнение чертежа.

Граница между ошибками и недочетами является в некоторой степени условной. При одних обстоятельствах допущенная обучающимися погрешность может рассматриваться преподавателем как ошибка, в другое время и при других обстоятельствах — как недочет.

Критерии ошибок:

        К    г р у б ы м    ошибкам относятся ошибки, которые обнаруживают незнание обучающимися формул, правил, основных свойств, теорем и неумение их применять; незнание приемов решения задач, рассматриваемых в учебниках, а также вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

       К    н е г р у б ы м   ошибкам относятся:  потеря корня или сохранение в ответе  постороннего корня; отбрасывание без объяснений одного из них и равнозначные им;

      К    н е д о ч е т а м    относятся:  нерациональное решение, описки, недостаточность или отсутствие пояснений, обоснований в решениях.

Раздел 1. Элементы теории множеств и математической логики.

Тест по теме «Множества»

Тест с выбором правильного ответа.

ИНСТРУКЦИЯ: Выберите букву с правильным ответом и занесите её в бланк ответов.

1 вариант

1. Определить какое из множеств является подмножеством А = {10, 20, 30, 40, 50, 60}

a) {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70} б) {10} в) {10, 35}

2. Какое из множеств определяет , если А = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

a) {1, 4, 5} б) {1, 2, 3, 4, 5} в) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

3. Какое из множеств определяет , если A = {1, 3, 5, 7, 9}, B={1, 2, 3, 4}

а) {1, 3, 5, 7} б) {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} в) {1, 3}

4. Множество треугольников разбили на подмножества разносторонних треугольников, равнобедренных треугольников и равносторонних треугольников. Произошло ли разбиение множества треугольников на классы?

а) да б) нет

5. На каком рисунке изображено объединение множеств А и В ()?

2 вариант

1. Определить какое из множеств является подмножеством

А = {5, 15, 25, 35, 45, 55}

a) {55} б) {5, 25, 50} в) {25, 55, 75}

2. Какое из множеств определяет , если А = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {8, 10, 12, 14}

a) {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} б) {8, 10, 12, 14} в) {8, 10}

3. Какое из множеств определяет , если A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {2, 4, 8, 9}

а) {2, 4, 6, 8, 10} б) {2, 4, 8, 9} в) {2, 4, 8}

4. Множество всех углов разбили на подмножества прямых, тупых и острых. Произошло ли разбиение множества углов на классы?

а) да б) нет

5. На каком рисунке изображено пересечение множеств А и В ()?

Критерии оценки:

Правильно выполненные 3 задания – “3”

Правильно выполненные 4 задания – “4”

Правильно выполненные 5 задания – “5”

Раздел 2. Числа и выражения.

Устный опрос по теме «Степень»

Прочитайте выражение: 34; а12; х3; с0; 23. Назовите основание и показатель степени.

Найдите значение выражения: 53; (-2)3; 72+(-2)3; 102-(-5)2; 62-70.

Представить в виде степени произведение:26*23; у4*у8; х7*х; (- у)3*(-у)5*(-у)4; 32*33*30

Представить в виде степени частное: х5: х2; х7:х6; (-4)16:(-4)12; х0·х4·х6:х8;0,75:0,75

Проверочная работа по теме «Степень с рациональным показателем»

Ответы: Вариант 1.1) 12, 1/3, 1/3 2) а1/4, х, с1/2, m3/27, d0,8 3)16

Вариант 2. 1) 15, 1/25, 1/8 2)в1/12, у-2/3, а3/2, п/3, а5 3) 0,25

Проверочная работа по теме «Свойства степени с действительным показателем»

Вариант 1

А1. Найдите значение выражения:

.

А2. Упростите выражение:

.

А3. Запишите число 0,00000000034 в стандартном виде.

А4. Вычислите: .

В1. Упростите выражение: .

Вариант 2

А1. Найдите значение выражения:

.

А2. Упростите выражение:

.

А3. Запишите число 53600000000000 в стандартном виде.

А4. Вычислите: .

В1. Упростите выражение: .

Ответы:

Критерии оценки:

Правильно выполненные 3 задания – “3”

Правильно выполненные 4 заданий – “4”

Правильно выполненные 5 заданий – “5”

Проверочная работа по теме “Корень n-ой степени и его свойства” (15-18 мин)

Вопросы по теме «Комплексные числа»:

1. Какое число называют мнимой единицей?

2. Какие числа называются комплексными, из каких частей они состоят?

3. Какая форма записи комплексных чисел называется алгебраической?

4. Как изображаются комплексные числа на плоскости (рисунок)?

5.Перечислите все арифметические действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Тест по теме «Комплексные числа»

1. Сколько форм записи имеет комплексное число?

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4

2.Что представляет собой число i?

а) Число, квадратный корень из которого равен -1;

б) Число, квадрат которого равен -1;

в) Число, квадратный корень из которого равен 1;

г) Число, квадрат которого равен 1;

3. Как на координатной плоскости изображается комплексное число?

а) В виде отрезка;

б) Точкой или радиус-вектором;

в) Плоской геометрической фигуры;

г) В виде круга

4. Вычислите сумму чисел z1=7+2i и z2=3+7i

а) 10+9i;

б) 4-5i;

в) 10-5i;

г) 4+5i.

5. Кто ввёл название «мнимые числа»?

а) Декарт;

б) Арган;

в) Эйлер;

г) Кардано.

6. В какое множество входят числа 5; 3-6i; 2.7; 2i?

а) Действительные числа;

б) Рациональные числа;

в) Комплексные числа;

г) Иррациональные числа

7. Выберите из предложенных чисел чисто мнимое:
a) z = 5 - 3i
б) z = 75i
в) z = 32
r)z = 0
Ответы: - 1) Б 2) Б 3) Б 4) В 5) А 6) В 7) Б

Критерии оценки:

Правильно выполненные 3 задания – “4”

Правильно выполненные 5 заданий – “5-6”

Правильно выполненные 6 заданий – “7”

Устный опрос по теме «Логарифм числа»

log 4 16 , log 3 27 , log 25 125 , log 49 7 , log 8 2, log 4 8, log1/7 49 , log 6, log 5, 32log37, 27log32

Тест по теме «Логарифм произведения, частного, степени»

1. Найдите значение выражения: log216 + log22

1) 4; 2) 5; 3) 6; 4) 4,5.

2. Найдите значение выражения: log27 – log27/16

1) 3; 2) 4; 3) 1; 4) 16.

3. Найдите значение выражения: log327/a2, если log3 a = 0,5

1) 2,75; 2) 2; 3)3; 4)5.

4. Найдите значение выражения: 42log43

1) 9; 2) 1; 3) 6; 4) 8.

5. Найдите значение выражения: (1/2)4log1/23

1) 0; 2) 81; 3) 12; 4) 1/2.

6. Найдите значение выражения: log0,39 – 2log0,310

1) 2; 2) 1; 3) – 2; 4) 90.

7. Найдите значение выражения: log129/144 – log129

1) 1; 2) 2; 3) – 2; 4) 12.

Раздел 4. Основы тригонометрии

Проверочная работа по теме «Радианная мера угла»

Вариант 1

Вариант 2

Ответы: вариант1: 5π/12, π/18, 4π/5, 6π, 360, 100,9900

Вариант2: π/9, π/5, 25π/18, 5π, 180,960,750

Самостоятельная работа: Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой

Раздел 4. Функции и графики.

Устный опрос

Дайте определение функции и приведите примеры функциональных зависимостей.

Перечислите способы задания функций и приведите примеры.

Что называется областью определения и областью значений функции?

Какая функция называется возрастающей? Приведите примеры.

Какая функция называется убывающей? Приведите примеры.

Какое значение функции называется наибольшим/наименьшим?

Сформулировать определение четной, нечетной функции.

Какая функция называется степенной? Сформулируйте определение.

Какая функция называется показательной? Сформулируйте определение.

Какова область определения показательной функции?

Как график функции зависит от показателя степени?

Тест по теме «Функции. Область определения и область значений»

Вариант 1

А1. Функция задана формулой f(x) = 4x2 +8. Найдите f(-2).

1) 24; 2) 0; 3) 8; 4)-8.

А2. Найдите область определения функции у=х3-3х2+7.

1)(-; 0); 2) (-; +); 3) (-;7]; 4) [7; +).

А3. Найдите область определения функции

1)(-; 5)(5; +); 2) (-; 9)(9; +); 3) (-; -5)(-5; +); 4) (5; 9].

А4. Найдите область определения функции,

заданной на рисунке.

1) [-2; 1]; 2) [-4; 4]; 3) [-2; 0); 4) [-4; 4).

А5. . Функция у =f(x) задана графиком на отрезке

[-3,7; 4]. Укажите область ее значений.

1) [0;5] 2) [-3;5] 3) [-3;2] 4) [-4;4]

Вариант 2

А1. Функция задана формулой f(x) = 4x2 -8. Найдите f(-2).

1) 8; 2) 0; 3) -24; 4)-8.

А2. Найдите область определения функции у=х4-6х2+14

1) (-;14]; 2) [14; +); 3) (-; 0); 4) (-; +).

А3. Найдите область определения функции

1)(-; 6)(6; +); 2) (-; 1)(1; +); 3) (-; -1)(-1`; +); 4) (-1; 6].

А4. Найдите область определения функции,

заданной на рисунке.

1) (-2; 1]; 2) [-5; 4); 3) (-2; 1); 4) (-5; -4).

А5. Функция у =f(x) задана графиком на отрезке [-3; 4].

Укажите область ее значений.

1) [-3;4] 2) [-2;4] 3) (-2;4) 4) (-3;4)

Ответы: в1 – 12122; в2 – 14322

Критерии оценивания

«5» (отлично) – выполнены верно 5 примеров

«4» (хорошо) - выполнены верно любые 4примера

«3» (удовлетворительно) - выполнены верно любые 3примера

«2» (неудовлетворительно) - не удовлетворяет критериям оценки «3»

Тест по етеме:е "Простейшие преобразования графиков функций"

1. Как нужно преобразовать график функции у = х2,чтобы образовался график функции у=(х-1)2?

а) параллельный перенос графика вдоль оси ординат на 1 единицу вверх;

б) параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на 1 единицу влево;

в) параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо;

г) параллельный перенос графика вдоль оси ординат на 1 единицу вниз;

д) симметричное отражение графика относительно оси ординат.

2. Из предложенных графиков выберите график функции у = (х +1)2 -2:

а) 1 б) 2 в) 3 г) 4

3. Из предложенных графиков выберите график функции у = (х -1)2 – 3:

а) 1 б) 2 в) 3 г) 4

4. Укажите уравнение параболы, изображенной на рисунке:

а) у = х2 -2 б) у = 3(х + 2)2 в) у = -(х + 2)2

г) у = -3(х + 2)2 д) у = -3(х - 2)2

Ответ: ВВВБ

Раздел 5. Уравнения и неравенства

Устный опрос:

- Какое уравнение называется рациональным?

- Какое уравнение называется показательным?

- Что лежит в основе решения показательных уравнений?

- Какое уравнение называется логарифмическим?

- Назовите методы решения логарифмических уравнений.

- Какие уравнения называются иррациональными?

- Какова особенность решения иррациональных уравнений?

- Что значит решить уравнение?

Проверочная работа «Рациональные уравнения»

Ответы: В1 – а) 0, -2, 2 б) 3 в) 0, -, В2 – а)0, -, б) 3 в) 0, -4, 4

Проверочная работа «Показательные уравнения»

Ответы: В1 – 1) 4 2) 4 3) 0 4) 2 В2 – 1) 1 2) 0 3) 2 4) 0; 1

Проверочная работа «Логарифмические уравнения»

Ответы: В1 - 1) 2) 3) 2; -8 4) 2; 4 5) 0,01; 1000

В2 – 1) 2) 3) 2; 3 4) 2; 9 5)10; 0,0001

Тест: «Логарифмические неравенства»

Ответы:

Раздел 6. Элементы математического анализа

Устный опрос:

Что называют числовой последовательностью?

Какую последовательность называют ограниченной сверху?

Какую последовательность называют ограниченной снизу?

Какую последовательность называют возрастающей?

Какую последовательность называют убывающей?

Что называют пределом последовательности?

Перечислите свойства пределов.

Проверочная работа по теме «Пределы»

Ответы: В1 – 6, -22, 0, 10, 5, 18, 1/3, 0, 4; В2 – 4, -14, 0.5, 14, 7, 242, 0.5, 0, 0.

Тест по теме: «Уравнение касательной к графику функции».

В – I.

1. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 = - 1.

А) у =-2х-3; Б) у = 2х-1; В) у = -2х+3; Г) у = 2х+3.

2 . Найдите уравнение касательной к графику функции f(x)= х3+ 27 в точке х0 = 2.

А) у = 12х-3; Б) у = 12х+11; В) у = -12х+13; Г) у = 22х+35.

3. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 = - 2.

А) у =2х-6; Б) у = 10х+12; В) у = 4х+8; Г) у = -10х+8.

В – II.

1. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 = 2.

А) у =-2х-32; Б) у = 2х-8; В) у = -8х+3; Г) у = -8х+6.

2 . Найдите уравнение касательной к графику функции f(x)= х3+ 27 в точке х0 = -1.

А) у = 29х-3; Б) у = 3х+29; В) у = -12х+23; Г) у = 22х+35.

3. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 = - 2.

А) у = -10х+8.; Б) у =2х-6; В) у = 10х+12; Г) у = 4х+8

Ответ: В1 – ВББ; В2 - ГБВ

Устный опрос:

- Дайте определение первообразной функции.

- Дайте определение неопределенного интеграла.

- Сформулируйте свойства первообразной функции.

- Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.

Проверочная работа по теме « Неопределенный интеграл»

Ответы: В1 – 7х;1/9 х9; lnx; - cosx; 8ех; 4sinx; 1/35 (7х-8)5; 7/3х3-3/4х4+2/3х6; 1/7cos(7х-π/4)

В2 – 5х; 1/7х7; lnx; sinx; 4ех; -6 cosx; 1/21 (3х+9)7; 5/4х4-4/3х3+1,4х5; 1/5sin (5х-π/2)

Проверочная работа по теме « Определенный интеграл»

Ответы: В1 – 8/3; 33;; -2; 4; В2 – 48,4; 16; 0; 1; 6.

Раздел 7. Вероятность и статистика, логика, теория графов и комбинаторика

Устный опрос:

-Что представляет собой комбинаторика?

-Дайте определение: размещения, размещения с повторениями, перестановки с повторениями, размещения без повторений, сочетания.

-Запишите формулы для расчёта перестановок, размещений, сочетаний.

Устный опрос:

- Что такое событие?

- Какие виды событий вы знаете? Дайте определение каждого вида. Приведите примеры.

- Какие операции можно выполнять над событиями?

- Что такое вероятность? Перечислите свойства вероятности.

Тест по теме «Формулы числа перестановок размещений, сочетаний»

Вариант 1.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30 2) 100 3) 120 4) 5

2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1) 128 2) 495 3) 36 4) 48

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1) 10 2) 60 3) 20 4) 30

Ответ: 3 2 4

Вариант 2.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.

1) 10000 2) 1680 3) 32 4) 1600

Ответ: 4 1 2

Вариант 3.

1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1) 24 2) 4 3) 16 4) 20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1) 30 2) 21 3) 14 4) 7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22 2) 11 3) 150 4) 110

Ответ: 1 2 4

Вариант 4

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5 2) 120 3) 25 4) 100

2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх для участия в праздничном концерте?

1) 455 2) 45 3) 475 4) 18

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1) 600 2) 100 3) 300 4)720

Ответ: 2 1 4

Устный опрос:

Что такое событие?

Какие виды событий вы знаете? Дайте определение каждого вида. Приведите примеры.

Какие операции можно выполнять над событиями?

Что такое вероятность? Перечислите свойства вероятности.

Тест «Решение задач по теории вероятностей»

Вариант 1

У бабушки 20 чашек: 2 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

а- 0,5 б – 1,1 в- 0,9 г – 0,85

В магазине канцтоваров продаётся 100 ручек, из них 37 — красные, 
8 — зелёные, 17 — фиолетовые, ещё есть синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана красная или чёрная ручка.

а- 0,56 б – 0,37 в- 0, 19 г – 0,62

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 1 жёлтая и 4 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

а- 0,5 б – 0,1 в- 0,9 г – 0,4

На экзамене 20 билетов, Андрей не выучил 1 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

а- 0,05 б – 0,5 в- 0,95 г – 0,85

На тарелке 15 пирожков: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Дима наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

а- 0,53 б – 0,7 в- 0,2 г – 0,8

Вариант 2.

У бабушки 10 чашек: 8 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

а- 0,5 б – 0,2 в- 0,9 г – 0,8

В магазине канцтоваров продаётся 84 ручки, из них 22 — красные, 
9 — зелёные, 41 — фиолетовые, ещё есть синие и чёрные. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана красная или фиолетовая ручка.

а- 0,26 б – 0,49 в- 0,1 г – 0,75

В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 6 чёрных, 3 жёлтых и 21 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

а- 0,5 б – 0,1 в- 0,9 г – 0,85

На экзамене 30 билетов, Сережа не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

а- 0,3 б – 0, 5 в- 0,9 г – 0,7

На тарелке 30 пирожков: 13 с мясом, 11 с капустой и 6 с вишней. Антон наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

а- 0,2 б – 0,37 в- 0,43 г – 0,8

ответы: В1 – ВАБВВ; В2 - БГБГА

Раздел 8. Геометрия

Тема 8.1. Повторение

Устный опрос:

Сформулируйте свойство биссектрисы угла треугольника.

Запишите формулы для вычисления биссектрис, медиан, высот, радиусов вписанной и описанной окружностей.

Запишите формулы площади треугольника: формула Герона, выражение площади треугольника через радиус вписанной и описанной окружностей.

Тест на определение истинности (ложности) утверждения и правильности формулировок.

В треугольнике против угла в 150° лежит большая сторона. (И)

В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60°.(И)

Существует треугольник со сторонами: 2 см, 7 см, 3 см. (Л)

Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. (И)

Если один из углов при основании равнобедренного треугольника равен 50°, то угол, лежащий против основания, равен 90°.(Л)

Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. (И)

В равностороннем треугольнике все высоты равны. (И)

Сумма длин двух сторон любого треугольника меньше третьей стороны. (Л)

Существует треугольник с двумя тупыми углами. (Л)

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.(И)

Если сумма двух углов меньше 90°, то треугольник тупоугольный. (И)

Тема 8.2. Прямые и плоскости в пространстве

Устный опрос:

1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

2. Какие предложения называются аксиомами? Теоремами?

3. Сформулируйте аксиомы плоскости и следствия из них.

4. Назовите возможные варианты взаимного расположения прямых в пространстве. Дайте определение пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых.

5. Какой угол называют углом между прямыми?

6. Перечислите возможные варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

7. Что такое перпендикуляр, наклонная к плоскости?

6. Приведите возможные варианты взаимного расположения плоскостей в пространстве. Сформулируйте признаки и свойства параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Тест по теме «Аксиомы стереометрии»

Вариант 1

Вариант 2

Проверочная работа по теме «Расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми в пространстве»

1 вариант

1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках Е и F соответственно.

а) Каково взаимное положение прямых ЕF и АВ?

б) Чему равен угол между прямыми ЕF и АВ, если АВС = 150°? Поясните.

2. Прямая ЕК, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне АВ параллелограмма АВСD. Выясните взаимное расположение прямых ЕК и СD.

2 вариант

1. Треугольники АВС и АDC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Р – середина стороны AD, а K – середина стороны DC.

а) Каково взаимное положение прямых РK и АВ?

б) Чему равен угол между прямыми РK и АВ, если АВС = 40° и ВСА = 80°? Поясните.

2.Прямая МТ, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне ВС параллелограмма АВСD. Выясните взаимное расположение прямых МТ и АD.

Ответы: В1 – 1) скрещивающиеся, 300 2) параллельные

В2 – 1) скрещивающиеся, 600 2) параллельные

Проверочная работа по теме «Перпендикуляр и наклонная».

Из точки К проведены к плоскости перпендикуляр КО и наклонные КА и КВ. Длины наклонных соответственно равны 13 см и 20 см. Проекция наклонной АК равна 5 см. Вычислите длину проекции наклонной КВ.

Из точки М проведены к плоскости наклонные МА, МВ и перпендикуляр МО.

- Постройте проекции наклонных.

- Вычислите длины проекций, если угол АМО равен 60, угол ВМО равен 45, МО = 16 см.

К плоскости квадрата АВСД проведен перпендикуляр ДМ, равный 12 см. Сторона квадрата равна 5 см. Вычислите длины наклонных МА, МС, МВ и длины их проекций.

Ответ: 1) КВ =16 см; 2) МВ=16, АМ= 16; 3)МА=МС= 13 см, МВ= см, 5 см, 5 см, 5см

Тест по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

1)  Прямую, перпендикулярную любой прямой в плоскости, называют...

а) наклонной к плоскости;  б) перпендикуляром к плоскости;  в) секущей;   г) лучом. 

2)  Наклонной к плоскости называют прямую, пересекающую плоскость и ...
а) не пересекающую перпендикуляр; б) лежащую в ней; в) не имеющую с ней общих точек;

г) не перпендикулярную ей.  

3)  Параллельными называют плоскости,...

а)  не имеющие общих прямых; б) у которых одна общая точка; в) у которых две общих точки;

г) не имеющие ни одной общей точки.  

4)  Прямая, проходящая через основания перпендикуляра и наклонной, называется ...
а) секущей; б) параллельной плоскости; в)  проекцией наклонной на плоскость;

г)  перпендикуляром к плоскости

5)  Наклонная перпендикулярна прямой в плоскости, если ...

а)  перпендикуляр пересекается с проекцией наклонной на плоскость;

б)  проекция наклонной параллельна этой прямой;

в)  проекция наклонной перпендикулярна этой прямой;

г)  прямая совпадает с проекцией наклонной

6)  Если из точки вне плоскости провести к ней перпендикуляр и наклонные, то ...
 а) перпендикуляр длиннее наклонной; б)  наклонная длиннее перпендикуляра;

в)  проекция наклонной короче перпендикуляра; г)  наклонная и ее проекция равны.    

7)  Прямая параллельна плоскости, если они...

а) пересекают прямую в одной и той же точке; б) перпендикулярны одной и той же прямой;

в) удалены от данной точки на равные расстояния; г)  пересекают плоскость в одной точке

8)  Углом между наклонной и плоскостью называют...

а)  угол между наклонной и перпендикуляром; б)  угол между проекцией и перпендикуляром;

в)  угол между наклонной и ее проекцией;  г)  угол между наклонной и прямой в плоскости.    

9)  Через ... проходит единственная плоскость,
а) две точки; б) три параллельные прямые;  в) три попарно пересекающиеся прямые;

г) четыре точки

10)  Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость  . . .
 а) не имеют ни одной общей точки; б) имеют две общие точки; в) имеют только одну общую точку; г) имеют три общих точки.      

11)  Если прямая пересекает плоскость квадрата в точке пересечения диагоналей и перпендикулярна двум смежным его сторонам, то она . . .

а)  параллельна двум другим сторонам квадрата; б)  перпендикулярна диагоналям квадрата;

в)  параллельна диагоналям квадрата; г)  образует с плоскостью квадрата угол в 30 градусов

12)  Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то . . .

а)  линии пересечения равны; б)  линии пересечения параллельны; в)  линии пересечения перпендикулярны; г)  плоскости совпадают.     

13)  Если две параллельные плоскости пересечь двумя параллельными прямыми, то ...

а)  прямые пересекаются в точке; б)  плоскости пересекаются по прямой, параллельной одной из прямых; в)  отрезки, заключенные между плоскостями равны;

г)  плоскости перпендикулярны одной из прямых.     

14)  Если наклонная длиной 16 см образует с плоскостью угол в 60°, то ее проекция на плоскость равна...

а)  32 см;       б) 8 см;       в) 8  см;       г) 256 см.     

15)  Наклонные АВ и АС образуют с плоскостью углы в 30° и 45° соответственно. Тогда  . ..  

а) проекция наклонной АВ длиннее проекции наклонной АС на плоскость; б) наклонная АВ короче наклонной АС; в)  наклонная АВ длиннее наклонной АС; г)  проекции наклонных равны.    

16)    Если в прямоугольном треугольнике катет в два раза меньше гипотенузы, то ...

а)  прилежащий катету угол равен 30 градусам; б)  прилежащий катету угол равен 60 градусам;

в)  прилежащий катету угол равен 90 градусам;

г)  противолежащий угол равен 60 градусам.    

17)   Перпендикуляром к плоскости называют прямую,  . . .

а)  пересекающую плоскость; б)  перпендикулярную некоторой прямой в плоскости;

в)  перпендикулярную любой прямой в плоскости;

г)  лежащую в параллельной плоскости.     

18)   Та из наклонных больше, у которой   . . .

а)  проекция равна перпендикуляру; б)  проекция больше; в)  проекция меньше;

г)  проекция больше перпендикуляра.       

19)   Планиметрия - это измерения . . .

а) углов;        б) отрезков;        в) на плоскости;        г) в пространстве.    

20)    Угол между наклонной и плоскостью . . .

а) меньше 90 градусов;   б) больше 90 градусов;   в) равен 60 градусам;  г) тупой.    

21)   Проекцией наклонной на плоскость называют прямую,  . . .

а)  перпендикулярную плоскости; б)  пересекающую наклонную под углом 30 градусов;

в)  проходящую через точки наклонной и перпендикуляра;

г)  проходящую через основания наклонной и перпендикуляра.     

22)    Если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая ...

а)  называется проекцией точки на плоскость;  б) лежит в плоскости;

в)  пересекает плоскость под прямым углом;     г) называется перпендикуляром к плоскости.  

23)   Прямые, имеющие одну общую точку называют  . . .

а) скрещивающимися;  б) пересекающимися; в) параллельными;  г) совпадающими.    

24)   Две плоскости параллельны, если они  . . .

а)  перпендикулярны одной и той же прямой; б)  параллельны одной и той же прямой;

в)  пересекаются в одной точке; г)  пересекают одну и ту же прямую.    

25)   Если две прямые параллельны третьей, то они..

а) перпендикулярны друг другу; б) параллельны между собой; в) совпадают;    г) пересекаются.    

26)   Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 10 см, а отрезок, заключенный между плоскостями равен 12 см. Тогда проекция отрезка на одну из плоскостей равна...

a)  см;        б)44см;          в) см;      г) 2см.     

27)    Две наклонные, длиной 10 см образуют между собой угол в 60 градусов. Расстояние между их проекциями на плоскость равно...

а) 10 см;    б) 5см;      в) см;      г) 20см

28)   Две плоскости совпадают, если они имеют  . . .

а) две общих точки;  б) три общих точки; в) одну общую прямую; г) одну общую точку.   

  Ответы: 1-б, 2-г, 3-г, 4-в, 5-в, 6-б, 7-б, 8-в, 9-в, 10-в, 11-б, 12-б, 13-в, 14-б, 15-а,в, 16-б, 17-в, 18-б, 19-в, 20-а, 21-г, 22-б, 23-б, 24-а, 25-б, 26-а, 27-а, 28-б.

Тема 8.3. Многогранники

Устный опрос:

- Какая фигура называется многогранником?

- Какие существуют виды многогранников?

- Дайте определение вершины многогранника, грани, ребра.

- Какой многогранник называется призмой? Назовите виды призм. Дайте определение.

- Что такое параллелепипед, куб?

- Какой многогранник называется пирамидой? Назовите виды пирамид. Дайте определение.

- Что называют симметрией?

- Какие существуют виды симметрий?

- Какими видами симметрий обладают куб и параллелепипед?

Тест по теме «Многогранник»

Вариант 1

А. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называется

многоугольником  2) многогранником  3) телом вращения

Б. Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, называется

1)правильной 2) наклонной  3) прямой

В. У параллелепипеда противоположные грани являются

многоугольником  2) многогранником  3) телом вращения

Г.Высотой призмы называется

1.расстояние между плоскостями ее оснований

2.длина бокового ребра

3.нет верного ответа

Д. Куб – это …. , у которого все ребра равны.

1.прямой параллелепипед

2) прямоугольный параллелепипед

3) параллелепипед

Е. У прямой призмы боковые грани являются

1) параллелограммами 2) квадратами 3) прямоугольниками

Ж. ABCDA1B1C1D1- куб. У куба

4 грани, 12 ребер, 8 вершин; 2) 6 граней, 12 ребер, 8 вершин;

3) 6 граней, 8 ребер, 4 вершины

З. Ребро куба равно 5 см. Для изготовления модели такого куба потребовалось бы …. проволоки

60 см  2) 50 см 3) 20 см

И. Прямоугольный параллелепипед – прямой параллелепипед, у которого основанием является

квадрат  2) прямоугольник  3) параллелограмм

Вариант 2

А. Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются

линейными размерами  2) периметром 3) нет верного ответа

Б. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются

1) квадраты 2) параллелограммы  3) прямоугольники

В. Может ли основание наклонного параллелепипеда быть прямоугольником?

1) да  2) нет

Г. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен

1) d = a +b + c  2) d2 = a2 +b2 + c2  3) d = a2 +b2 + c2

Д. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если три его ребра имеют длины 5 , 7 и 9 см.

1) 21 см 2) 155 см  3) см

Е. Прямая призма, у которой в основании лежит правильный многоугольник называется

1) правильной 2) наклонной 3) кубом

Ж. Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются

1) противолежащими  2)прилежащими 3) нет верного ответа

З. Является ли призма правильной, если все ее ребра равны?

1) является  2) не является

И. Укажите пример тела, не являющегося многогранником

1) куб 2) параллелепипед  3) цилиндр

Ответы: В1 – 231123212; В2 – 131231123

Проверочная работа по теме «Сечения куба, пирамиды»

Решение:

Тема 8.4. Тела и поверхности вращения.

Тест по теме «Тела вращения»

1.Тело, состоящее из двух кругов и всех отрезков, соединяющих точки кругов называется: 
1. Конусом 2. Шаром 3. Цилиндром 4. Сферой
2. Отрезки, соединяющие точки окружностей кругов, называются:
1. гранями цилиндра 2. образующими цилиндра 3. высотами цилиндра

4. перпендикулярами цилиндра
3. У цилиндра образующие:
1. Равны 2. Параллельны 3. Симметричны 4. параллельны и равны
4. Прямая, проходящая через центры оснований называется:
1. осью цилиндра 2. высотой цилиндра 3. радиусом цилиндра 4. ребром цилиндра
5. Основания цилиндра лежат в:
1. одной плоскости 2. равных плоскостях 3. параллельных плоскостях 4. разных плоскостях.

6. Тело, которое состоит из точки, круга и отрезков соединяющих их, называется:
1. Пирамидой 2. Конусом 3. Шаром 4. цилиндром
7.Поверхность конуса состоит из:
1. Образующих 2. граней и ребер 3. основания и ребра 4. основания и боковой поверхности
8. Тело, которое состоит из всех точек пространства, называется:
1. Сферой 2. Шаром 3. Цилиндром 4. полусферой
9. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется:
1. Радиусом 2. Центром 3. Осью4. диаметром
10. Граница шара называется:
1. Сферой 2. Шаром 3. Сечением 4. окружностью
11. Круг конуса называется:
1. Вершиной 2. Плоскостью 3. Гранью 4. Основанием

Ответы: 32413242414

Проверочная работа по теме «Цилиндр и конус»

1.Диаметр основания конуса равен 10, образующая 13. Найти высоту конуса.

2. Радиус конуса 3, высота 4. Найти образующую.

3. Образующая конуса 10, высота 8. Найти радиус основания конуса.

4. Образующая конуса 10 и наклонена к плоскости основания под углом 300. Найти высоту конуса.

5. Радиус цилиндра равен 10 см. Сечение параллельное оси цилиндра и удалённое от неё на 8 см, имеет форму квадрата. Найдите площадь сечения.

6. Высота цилиндра равна 16 см. На расстоянии 6 см от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси цилиндра и имеющее форму квадрата. Найдите радиус цилиндра.

Ответы: 12, 5, 6, 5, 144, 10.

Тема 8.5. Измерения в геометрии.

Проверочная работа по теме «Объем призмы и цилиндра»

Вариант 1

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1  АА1 = 4 см, АВ = . Найдите объем призмы.

Найдите радиус r основания цилиндра, если  h =10см.

Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45°. Объем призмы равен 108 см3. Найти высоту призмы

Вариант 2

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 АА1 = 4 см, АВ = . Найдите объем призмы.

Найдите высоту h цилиндра, если  r =7см.

Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 4 см и острым углом 45°. Объем призмы равен 96 см3. Найти высоту призмы

Ответы: В1 – 12 см3, 6 см, 6см. В2 - 18 см3, 10 см, 12 см.

Проверочная работа по теме «Объем пирамиды и конуса»

1.Найдите объем пирамиды, если h =2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м.

2.Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4.

3.Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 4, а объем равен .

4.Найдите объем конуса, радиус основания которого равен 5, высота конуса – 6.

5. Высота конуса равна 7, образующая равна 10.Найдите его объём.

Ответы: 4; 24; 1,5; 119π; 50π.

Раздел 9. Векторы и координаты в пространстве

Устный опрос:

- Что такое вектор?

- Как определить модуль вектора?

- Сформулируйте правила сложения векторов.

- Как умножить вектор на число?

- Как определить угол между векторами?

Проверочная работа «Векторы в пространстве».

I вариант

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Найдите вектор, равный сумме векторов АВ, А1D1 и СА1.

Найдите вектор, равный .

Представьте вектор ВС1 в виде разности двух векторов, один из которых вектор ВD1.

Упростите выражение: .

Упростите выражение: .

II вариант

Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Найдите вектор, равный сумме векторов СА1, АD и D1C1.

Найдите вектор, равный .

Представьте вектор ВС1 в виде разности двух векторов, один из которых вектор D1B.

Упростите выражение: .

Упростите выражение: .

Ответы: I вариант: 1.) . 2) . 3). 4) . 5) .

II вариант: 1). 2). 3). 4) . 5) .

Проверочная работа по теме «Скалярное произведение векторов»

Вариант 1

А1. Даны точки  А(2; 4),  В(5; 8), С(–7; –1), D(5; 8).  Найдите скалярное произведение векторов  .
А2. Даны векторы  .  Найдите скалярное произведение векторов.
А3. Вычислите скалярное произведение векторов, если  , а угол между ними равен  600.

Вариант 2

А1. Даны точки  А(2; 4),  В(–1; 6), С(–4; –2), D(3; 2).  Найдите скалярное произведение векторов    и  .
А2. Даны векторы  .  Найдите скалярное произведение векторов.
А3. Вычислите скалярное произведение векторов, если  , а угол между ними равен  300.

Ответы:  Вариант 1 - А1. 72     А2. 37      А3.13,5 Вариант 2 - А1. –13     А2.–13       А3. 

4. Комплект материалов для проверки итогового контроля

4.1. Общие положения

Формой аттестации по дисциплине является экзамен. Итогом экзамена является оценка знаний и умений обучающегося по пятибалльной шкале. Экзамен проводится в форме выполнения заданий на базе техникума.

Условия проведения экзамена

Экзамен проводится по группам. Количество вариантов задания - 4. Ответы предоставляются письменно.

Время выполнения задания - 3 часа.

Оборудование: бумага, ручка, карандаш, линейка, вариант задания, справочная литература

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя

19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня

сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного уровня сложности и 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–12 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком.

Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Критерии оценивания

Вариант 1

1. Задание. Показания счётчика электроэнергии 1 ноября составляли 12 625 кВт·ч, а 1 декабря — 12 802 кВт·ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь, если 1 кВт·ч электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек? Ответ дайте в рублях.

2. Задание. На рисунке точками показана аудитория поискового сайта Ya.ru во все месяцы с декабря 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество посетителей сайта хотя бы раз в данном месяце. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей аудиторией сайта Ya.ru в указанный период.

3. Задание 3 № 315122

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

4. Задание. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

5. Задание. Решите уравнение 

6. Задание. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

7. Задание. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

8. Задание. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

9. Задание. Найдите значение выражения

10. Задание. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле  h= 5t2, где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

11. Задание. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

12. Задание. Найдите точку максимума функции у=х3-48х+17

  13. Задание.

а) Решите уравнение 4x – 2x-3 + 15=0

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [2;]

14. Задание. В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A1C1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

15. Задание. Решите неравенство 

16. Задание. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

17. Задание. В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100 000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5% от общего количества долларов?

18. Задание. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно 4 решения.

19. Задание. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Вариант 2

1. Задание. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

2. Задание. На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся 4-го класса, по естествознанию в 2007 году (по 1000-балльной шкале). По данным диаграммы найдите число стран, в которых средний балл участников выше, чем в Венгрии.

3. Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

4. Задание. Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.

5. Задание. Найдите корень уравнения 

 

6. Задание.

Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса 

7. Задание. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

8. Задание. В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

9. Задание. Найдите значение выражения 

10. Задание. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле  h= 5t2, где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

11.Задание. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

12. Задание. Найдите наименьшее значение функции у=х3-27х  на отрезке  [0;4]

13. Задание.

а) Решите уравнение 9x – 3x+2 + 14=0

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [2;]

14. Задание. В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1лежит треугольник со стороной 8. Высота призмы равна 3. Точка N — середина ребра A1C1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите площадь этого сечения.

15. Задание. Решите неравенство 

16. Задание. В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

 а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;

б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

17. Задание. Банк планирует на один год вложить 30% имеющихся у него средств клиентов в проект А, а остальные 70% — в проект B. В зависимости от обстоятельств проект А может принести прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а проект B — от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им процент по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в проекты А и B может при этом получить банк.

18. Задание. При каких значениях параметра  система  имеет решения?

19. Задание. Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S1 = a1+a2+...+a350,

S2 = a12+a22+...+a3502,

S3 = a13+a23+...+a3503,

S4 = a14+a24+...+a3504.

Известно, что S1 = 513.

 а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.

б) Может ли S4 = 4547 ?

в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2

Вариант 3

1. Задание. Показания счётчика электроэнергии 1 ноября составляли 12 625 кВт·ч, а 1 декабря — 12 802 кВт·ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за ноябрь, если 1 кВт·ч электроэнергии стоит 1 рубль 80 копеек? Ответ дайте в рублях.

2. Задание. На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся 4-го класса, по естествознанию в 2007 году (по 1000-балльной шкале). По данным диаграммы найдите число стран, в которых средний балл участников выше, чем в Венгрии.

3. Задание 3 № 315122

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

4. Задание. Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.

5. Задание. Решите уравнение 

6. Задание.

Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса 

7. Задание. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

8. Задание. В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

9. Задание. Найдите значение выражения

10. Задание. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле  h= 5t2, где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

11. Задание. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

12. Задание. Найдите наименьшее значение функции у=х3-27х  на отрезке  [0;4]

  13. Задание.

а) Решите уравнение 4x – 2x-3 + 15=0

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [2;]

14. Задание. В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1лежит треугольник со стороной 8. Высота призмы равна 3. Точка N — середина ребра A1C1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите площадь этого сечения.

15. Задание. Решите неравенство 

16. Задание. В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

 а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;

б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.

17. Задание. В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100 000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5% от общего количества долларов?

18. Задание. При каких значениях параметра  система  имеет решения?

19. Задание. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Вариант 4

1. Задание. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

2. Задание. На рисунке точками показана аудитория поискового сайта Ya.ru во все месяцы с декабря 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество посетителей сайта хотя бы раз в данном месяце. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей аудиторией сайта Ya.ru в указанный период.

3. Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

4. Задание. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

5. Задание. Найдите корень уравнения 

6. Задание. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

7. Задание. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

8. Задание. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

9. Задание. Найдите значение выражения 

10. Задание. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле  h= 5t2, где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

11.Задание. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

12. Задание. Найдите точку максимума функции у=х3-48х+17

13. Задание.

а) Решите уравнение 9x – 3x+2 + 14=0

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [2;]

14. Задание. В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A1C1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

15. Задание. Решите неравенство 

16. Задание. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

17. Задание. Банк планирует на один год вложить 30% имеющихся у него средств клиентов в проект А, а остальные 70% — в проект B. В зависимости от обстоятельств проект А может принести прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а проект B — от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им процент по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в проекты А и B может при этом получить банк.

18. Задание. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно 4 решения.

19. Задание. Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим

S1 = a1+a2+...+a350,

S2 = a12+a22+...+a3502,

S3 = a13+a23+...+a3503,

S4 = a14+a24+...+a3504.

Известно, что S1 = 513.

 а) Найдите S4, если еще известно, что S2 = 1097, S3 = 3243.

б) Может ли S4 = 4547 ?

в) Пусть S4 = 4745. Найдите все значения, которые может принимать S2

Ответы:

Вариант 1

1. Задание. Расход электроэнергии за ноябрь составляет 12 802 − 12 625 = 177 киловатт-часов. Значит, за ноябрь нужно заплатить 1,8 · 177 = 318,6 рубля.

 Ответ: 318,6.

2. Задание. Из рисунка видно, что наибольшая аудитория − 3 450 000 посетителей сайт − была октябре, а наименьшая в мае — 2 800 000 посетителей. Найдем разность: 3 450 000 − 2 800 000 = 650 000 посетителей.

 Ответ: 650 000.

3. Задание. Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 204. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 204 − 51 = 153.

 Ответ: 153.

4. Задание. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

Ответ: 0,14.

5. Задание. Используем формулы квадрата суммы и разности:

 Ответ: −6.

6. Задание.

7. Задание. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

 Ответ: 44.

8. Задание.

9. Задание.

10. Задание. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле  h= 5t2, где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Решение. Пусть h1 – расстояние до воды до дождя, h2 – расстояние до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет равным t=0,6-0,2=0,4 с. Уровень воды поднимется на h1 – h2 метров.

h1 – h2=5*0,62-5*0,42 = 1

11. Задание. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

12. Задание. Найдите точку максимума функции у=х3-48х+17

13. Задание.

а) Решите уравнение 4x – 2x-3 + 15=0

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [2;]

14. Задание. В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A1C1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

15. Задание. Решите неравенство 

16. Задание.

Ответ: 3,2

17. Задание. В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100 000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5% от общего количества долларов?

Решение. Ежемесячное увеличение валютной массы, находящейся в обращении, составляет 100 − 50 = 50 тыс. долларов, поэтому через n месяцев в стране будет (1000 + 50n) тыс. долларов.

Количество фальшивых долларов ежемесячно уменьшается на 50*0,3-100*0,1=15-10=5 тыс. долларов. Изначально их было 1 000 000 · 0,2 = 200 000, поэтому через n месяцев в стране будет (200 − 5n) тыс. фальшивых долларов.

Через n месяцев фальшивые доллары составили 5% от общего количества долларов. Имеем:

18. Задание.

19. Задание.

Вариант 2

1. Задание.

2. Задание. Решение. Из диаграммы видно, что число стран, в которых средний балл по естествознанию выше, чем в Венгрии равно четырём.  Ответ: 4.

3. Задание. Ответ 4

4. Задание. Решение. По результатам первой жеребьёвки команда «Барселона» находится в одной из 8 групп. Вероятность того, что команда «Зенит» окажется в той же игровой группе равна одной восьмой.

 Ответ: 0,125.

5. Задание. Решение. Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем

х-1= - 2 , откуда х= -1.  Ответ: −1.

6. Задание.

7. Задание. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Заданная функция имеет максимумы в точках −3, −1, 2, 4 и минимумы в точках −2, 1, 3, 5. Поэтому сумма точек экстремума равна −3 − 1 + 2 + 4 − 2 + 1 + 3+5= 9.

8. Задание. В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

Решение. Объём детали равен объёму вытесненной ею жидкости. Объём вытесненной жидкости равен 9/12 исходного объёма:

9. Задание.

10. Задание. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле  h= 5t2, где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Решение. Пусть h1 – расстояние до воды до дождя, h2 – расстояние до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет равным t=1,2-0,2=1 с. Уровень воды поднимется на h1 – h2 метров.

h1 – h2=5*1,22-5*12 = 2,2

11. Задание. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

12. Задание.

13. Задание.

а) Решите уравнение 9x – 3x+2 + 14=0

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [2;]

14. Задание.

15. Задание. Решите неравенство 

16. Задание.

17. Задание. Банк планирует на один год вложить 30% имеющихся у него средств клиентов в проект А, а остальные 70% — в проект B. В зависимости от обстоятельств проект А может принести прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а проект B — от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им процент по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в проекты А и B может при этом получить банк.

Решение. Ясно, что минимальная прибыль банка будет при минимальном доходе с обоих проектов и максимальной ставке для клиентов, а максимальная — наоборот. Тогда минимальная прибыль составит 0,3*0,32 + 0,7*0,22 -0,2 = =0,05=5%, а максимальная — 0,3*0,37+0,7*0,27-0,1=0,2=20%

Ответ 5% и 20%

18. Задание.

19. Задание.

Вариант 3

1. Задание. Расход электроэнергии за ноябрь составляет 12 802 − 12 625 = 177 киловатт-часов. Значит, за ноябрь нужно заплатить 1,8 · 177 = 318,6 рубля.

 Ответ: 318,6.

2. Задание. Решение. Из диаграммы видно, что число стран, в которых средний балл по естествознанию выше, чем в Венгрии равно четырём.  Ответ: 4.

 Ответ: 650 000.

3. Задание. Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 204. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 204 − 51 = 153.

 Ответ: 153.

может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

4. Задание. Решение. По результатам первой жеребьёвки команда «Барселона» находится в одной из 8 групп. Вероятность того, что команда «Зенит» окажется в той же игровой группе равна одной восьмой.

 Ответ: 0,125.

5. Задание. Используем формулы квадрата суммы и разности:

 Ответ: −6.

6. Задание.

7. Задание. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Заданная функция имеет максимумы в точках −3, −1, 2, 4 и минимумы в точках −2, 1, 3, 5. Поэтому сумма точек экстремума равна −3 − 1 + 2 + 4 − 2 + 1 + 3+5= 9.

8. Задание. В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

Решение. Объём детали равен объёму вытесненной ею жидкости. Объём вытесненной жидкости равен 9/12 исходного объёма:

9. Задание.

10. Задание. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле  h= 5t2, где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Решение. Пусть h1 – расстояние до воды до дождя, h2 – расстояние до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет равным t=1,2-0,2=1 с. Уровень воды поднимется на h1 – h2 метров.

h1 – h2=5*1,22-5*12 = 2,2

11. Задание. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

12. Задание.

13. Задание.

а) Решите уравнение 4x – 2x-3 + 15=0

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [2;]

14. Задание.

15. Задание. Решите неравенство 

16. Задание.

17. Задание. В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100 000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5% от общего количества долларов?

Решение. Ежемесячное увеличение валютной массы, находящейся в обращении, составляет 100 − 50 = 50 тыс. долларов, поэтому через n месяцев в стране будет (1000 + 50n) тыс. долларов.

Количество фальшивых долларов ежемесячно уменьшается на 50*0,3-100*0,1=15-10=5 тыс. долларов. Изначально их было 1 000 000 · 0,2 = 200 000, поэтому через n месяцев в стране будет (200 − 5n) тыс. фальшивых долларов.

Через n месяцев фальшивые доллары составили 5% от общего количества долларов. Имеем:

18. Задание.

19. Задание.

Вариант 4

1. Задание.

2. Задание. Из рисунка видно, что наибольшая аудитория − 3 450 000 посетителей сайт − была октябре, а наименьшая в мае — 2 800 000 посетителей. Найдем разность: 3 450 000 − 2 800 000 = 650 000 посетителей.

 Ответ: 650 000.

3. Задание. Ответ 4

4. Задание. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна

Ответ: 0,14.

5. Задание. Решение. Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем

х-1= - 2 , откуда х= -1.  Ответ: −1.

6. Задание.

7. Задание. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

 Ответ: 44.

8. Задание.

9. Задание.

10. Задание. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле  h= 5t2, где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Решение. Пусть h1 – расстояние до воды до дождя, h2 – расстояние до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет равным t=0,6-0,2=0,4 с. Уровень воды поднимется на h1 – h2 метров.

h1 – h2=5*0,62-5*0,42 = 1

11. Задание. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

12. Задание. Найдите точку максимума функции у=х3-48х+17

13. Задание.

а) Решите уравнение 9x – 3x+2 + 14=0

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку [2;]

14. Задание. В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник со стороной 6. Высота призмы равна 4. Точка N — середина ребра A1C1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите периметр этого сечения.

15. Задание. Решите неравенство 

16. Задание.

Ответ: 3,2

17. Задание. Банк планирует на один год вложить 30% имеющихся у него средств клиентов в проект А, а остальные 70% — в проект B. В зависимости от обстоятельств проект А может принести прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а проект B — от 22% до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им процент по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в проекты А и B может при этом получить банк.

Решение. Ясно, что минимальная прибыль банка будет при минимальном доходе с обоих проектов и максимальной ставке для клиентов, а максимальная — наоборот. Тогда минимальная прибыль составит 0,3*0,32 + 0,7*0,22 -0,2 = =0,05=5%, а максимальная — 0,3*0,37+0,7*0,27-0,1=0,2=20%

Ответ 5% и 20%

18. Задание.

19. Задание.