Исследовательская работа на тему «Красота и гармония в математических расчетах на примере золотого сечения»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Школа №80 города Донецка»

 

Школьный конкурс исследовательских работ «НОВОЕ ПОКОЛЕНИЕ»

«КРАСОТА И ГАРМОНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАСЧЁТАХ НА ПРИМЕРЕ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ»

 

Выполнил:

Холоша Алексей

Класс: 6-А

Руководитель:

Лапко Ирина Валентиновна,

учитель математики

 

Донецк - 2020

Содержание

Введение

I. Основная часть. Теоретические сведения по теме исследования

I.1. Понятие «золотого сечения»

I.2. Числа Фибоначчи

I.3. Золотое сечение в природе, живописи, архитектуре

I.4. Золотой прямоугольник

II. Практическая часть

II.1. Выбор фоторамки

II.2. Выбор дерева с самыми красивыми листьями

II.3. Пропорции моих одноклассников

Выводы

Литература

 

Введение

Геометрия владеет двумя сокровищами-

теоремой Пифагора и золотым сечением,

и если первое из них можно сравнивать с

мерой золота, то второе – с драгоценным

камнем…

Иоганн Кеплер

Начну с того, что к написанию данной исследовательской работы меня подвигла любовь к предмету математика и не меньшая любовь к занятиям в детской художественной школе. Мы очень хорошо знаем, что размах практического применения математики огромен. Какую бы науку мы не изучали, в какой бы области не работали наши родители, везде необходимо знание математики.

Люди в своей жизни постоянно сталкиваются с математикой. Математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. В ней много цифр, различных знаков и символов. Если мы посмотрим вокруг, то заметим, что нас окружают предметы, которые имеют свою геометрическую форму. Некоторые тела состоят из простых геометрических форм, а некоторые из сложных. Архитекторы и строители создают здания при помощи вычислений и геометрических законов. Таким образом, наша жизнь без математики немыслима, ведь человек постоянно открывает что-то новое и усовершенствует давно забытое.

Недавно на занятиях художественной школы я узнал о золотых пропорциях нашего мира, и мне захотелось более подробно разобраться в этом вопросе. Я обратился к современному источнику информации – Интернету. И обнаружил, что за высшее проявление совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе «отвечает» принцип «золотого сечения».

Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин и в форме цветов, в облике жуков и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое — все подчиняется божественному закону, имя которому — «золотое сечение».

Цель работы: выявить, что же такое золотое сечение, исследовать принцип золотого сечения в окружающем мире.

Задачи:

1) изучить красоту окружающих предметов с математической точки зрения;

2) найти в математической литературе подтверждение гипотезы исследования о том, что золотое сечение – это символ красоты и гармонии, за которые отвечает математика;

3) провести эксперименты по поиску идеальных пропорций в красивых предметах, а также на примере своих одноклассников;

4) оформить результаты исследовательской деятельности.

 

Этапы выполнения исследовательской работы:

1. Подбор и изучение необходимой литературы.

2. Сбор и систематизация материала. 3. Экспериментальная проверка фактов, подтверждающих гипотезу проекта.

4. Оформление результатов исследовательской деятельности.

 

Обзор литературы по теме исследования:

Из книги Н.А. Васютинского «Золотая пропорция» я узнал, что в основе гармонии природы и произведений искусства лежит золотая пропорция. Васютинский Н.А. очень просто и интересно рассказывает о сути этого замечательного соотношения, истории его открытия и исследований. Здесь описано проявление закономерностей золотой пропорции в архитектуре, музыке, поэзии, а также в химии, биологии, ботанике, геологии, астрономии, технике.

Интересную информацию о золотом сечении содержит учебник «Наглядная геометрия» для 5-6 классов, авторами которого являются Шарыгин Н.Ф., Ерганжиева Л.Н. Очень мне понравилась статья «Золотое сечение» в журнале «Квант». Автор статьи Бендукидзе А.Д. пишет не только об истории открытия золотого сечения, но и о связи этой пропорции с числами Фибоначчи. И, конечно же, много интересных сведений о золотом сечении я нашёл на сайтах сети Интернет.

 

 

 

 

 

1.Основная часть. Теоретические сведения по теме исследования

I.1. Понятие «золотого сечения»

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Именно к красоте и гармонии и стремился человек с давних лет. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

 

Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины.

И эта формула – формула золотого сечения – некий универсальный информационный код красоты, соединяющий разные искусства и разные века в интуитивном постижении прекрасного. Она отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом". Она оказалась близкой к 1,6.

Теперь обратимся непосредственно к математике и её точным расчётам.

Золотое сечение – это деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей.

с :в=в:а

Отношение обозначают буквой j;

j= 1,618 = 8/5

 

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый:

Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая пропорция».

 

I.2. Числа Фибоначчи

В поле моего исследования попало и такое интересное явление, как Числа Фибоначчи - удивительные числа, которые были открыты итальянским математиком Средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи. Путешествуя по Востоку, он познакомился с достижениями арабской математики. После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел.

Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. В числах Фибоначчи существует очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.... и через раз то превосходящая, то не достигающая его. Уже после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, или золотая пропорция.

В математике это число обозначается греческой буквой фи (Ф)

И так, Золотая пропорция = 1 : 1,618

I.3. Золотое сечение в природе, живописи, архитектуре

Где же мы можем увидеть золотую пропорцию? Да везде, если только быть внимательным!

Например, портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках", являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника.

В работах скульптора Фидия (Афина Парфенос, Аполлон Бельведерский, Зевс Олимпийский) золотое сечение заложено в различных пропорциях человеческого тела. Не только вся статуя, но и отдельные ее части делятся в золотом отношении.

 

 

«Божественную пропорцию» также использовали зодчие при возведении величественных греческих храмов. Отношение высоты здания Парфенона в Афинах к его длине равно . Если выполнить деление высоты Парфенона по золотому сечению, получим те или иные выступы здания.

 

 

 

 

И сследователи полагают, что Пифагор понятие золотого сечения позаимствовал у египтян и вавилонян. Об этом свидетельствует то, что пропорции пирамиды Хеопса, барельефы предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона были созданы при помощи соотношения золотого сечения.

В особый вид изобразительного искусства Древней Греции следует выделить изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме амфор и кратеров, а также в их росписи легко угадываются пропорции золотого сечения. Например, амфора выдержана в следующих пропорциях:

 

 

Рассматривая расположение листьев на стебле растений можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (В).

 

 

Удивительна также в этом плане форма стрекозы, которая создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста

 

 

 

I.4. Золотой прямоугольник

В эпоху Возрождения “золотое сечение» было очень популярным среди художников, скульпторов, архитекторов. Так, выбирая размеры картины, художники старались, чтобы отношение ее сторон равнялось j. Такой прямоугольник стали называть “золотым”. Что же такое «золотой прямоугольник»?

Золотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции, {\displaystyle 1:{\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}где φ примерно равно 1,618. Золотой прямоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки следующим способом:

Строим обычный квадрат.

Из угла проводится линия до середины противоположной стороны.

Строим окружность, используя точку пересечения в качестве центра окружности, а в качестве радиуса используем полученный отрезок.

Продолжаем противоположную сторону до пересечения с окружностью.

 

Многие архитекторы, художники были очарованы золотым прямоугольником и использовали его принцип во многих своих произведениях. Например, пропорции золотого прямоугольника мы можем наблюдать в следующих строениях: Альгамбра в Гранаде, Вилла Штейн в Гарше. Даже флаг Того разработан с пропорциями, близкими к золотому прямоугольнику.

 

Значит, золотое сечение издавна окружает людей и наша задача просто увидеть его и оценить по достоинству, так как это, действительно, символ красоты и гармонии.

 

2. Практическая часть

После теоретической части обратимся к части практической, т.к. мне захотелось проверить, действительно ли «золотая пропорция» является универсальным информационным кодом. Я провёл следующие эксперименты:

- выбор самой удачной фоторамки;

- выбор дерева с самыми красивыми листьями;

- изучение строения кленового листа;

- расчет пропорций человеческого тела на примере моих одноклассников.

Выбор фоторамки

Цель исследования: выявить, действительно ли форма золотого прямоугольника создает впечатление красоты и гармонии

Оборудование: лист ватмана с рисунками фоторамок различных размеров.

Вопрос: какая фоторамка самая красивая (удачная)?

В опросе участвовало 26 человек учащихся 6А, 6Б классов МОУ «Школа №80 г. Донецка»

Результаты опроса

 

Основная часть опрашиваемых, а именно 62% и 18% выбрало фоторамки (№1 и №4 соответственно), в которых отношение ширины к длине приблизительно равно числу φ=0,6. Рамки №2, №3 выбрало по 8% и рамку №5 выбрали лишь 4%.

Из этого следует вывод: большинство участников исследования выбрало рамки, имеющие форму золотого прямоугольника, значит, соотношение сторон золотого прямоугольника действительно создаёт впечатление красоты и гармонии.

 

2. Выбор дерева с самыми красивыми листьями

Цель исследования: выяснить, листья какого дерева считаются самыми красивыми

Оборудование: лист ватмана с распечатками листьев различных деревьев

Вопрос: листья, какого дерева вы считаете самыми красивыми?

В опросе приняло участие 26 человек учащихся 6А, 6Б классов МОУ «Школа №80 г. Донецка»
 

Результаты опроса

 

Исходя из опроса, самыми красивыми листьями считают листья клёна (их выбрало 35%) и листья тополя (их выбрало 23%). Листья дуба выбрало 18% анкетируемых и по 8% распределились среди тех, кто выбрал листья берёзы, осины и липы.

Вновь делаем вывод: самые красивые листья у клена, так как в строении кленового листа присутствуют пропорции золотого сечения и симметрия, поэтому лист клена создает впечатление красоты и гармонии.

А почему же у клёна самые красивые листья? В ходе работы я познакомился со многими статьями, где были описаны примеры золотого сечения в природе. И в каждой из них отводилось место кленовому листу как эталону пропорции, примеру золотой пропорции.

 

3.Расчет пропорций человеческого тела на примере моих одноклассников.

В древности считалось, что если человек имеет пропорции золотого сечения, то он великий человек. Поэтому среди своих одноклассников я провел исследование: измерил их рост, расстояние до талии, расстояние от талии до макушки. Также было измерено расстояние от талии до головы и от головы до макушки. Мне стало интересно, обладает ли кто-нибудь из нас «золотым сечением», то есть «божественной пропорцией». В измерениях участвовали 14 учеников 6А класса. Ниже в таблице приведены данные измерений и вычислен коэффициент пропорциональности.

с:в=в:а

с - рост; в - расстояние от талии до пола ( большая часть отрезка);

а - расстояние от талии до макушки ( меньшая часть отрезка)

Коэффициент – это среднее арифметическое двух показателей

 

 

После проделанных измерений своих одноклассников я пришёл к выводу, что наиболее красивыми пропорциями тела, приближёнными к «эталону красоты» (а мы помним, что он равняется 1, 618 или 1, 62, если округлить) обладает ученица Манойло Надя, коэффициент которой как раз и составляет 1, 62.

Также можно выделить ученика, с наиболее пропорциональной головой по отношению ко всему телу. Это Дубровин Александр, коэффициент которого тоже составляет 1, 62.

 

Выводы

Таким образом, подытоживая своё исследование, я убедился, что все-таки существует связь между математикой и архитектурой, математикой и скульптурой, между математикой и живописью. Математика также присутствует во многих проявлениях природы: растениях, насекомых. И это не случайно, ведь каждому искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии. Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющиеся в различных видах искусства.

Также я увидел строгую математику в кленовом листочке, в тельце стрекозы, в семенах еловых шишек. Узнал, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними подчиняется законам "золотого сечения".

В ходе выполнения исследовательской работы я выяснил, что действительно существует «формула красоты», которая не является выдумкой человека. Скорее всего, это закон природы.

Так что же такое «золотое сечение»?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен. «Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

 

Литература

1. Бендукидзе А.Д. Золотое сечение – М.: ж. «Квант», 1973, №8

2. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. – М.: Мол. гвардия, 1990

3. Золотое сечение. Страницы Википедии. http://ru.wikipedia.org/wiki/%C7%EE%EB%EE%F2%EE%E5_%F1%E5%F7%E5%ED%E8%E5

4. Лаврус В. «Золотое сечение» http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

5. Математика и законы красоты http://mathkrasota.ucoz.ru/index/0-11

6. Музей гармонии и золотого сечения http://www.goldenmuseum.com/

7. Шарыгин Н.Ф., Ерганжиева Л.Н. Нагляднаягеометрия 5- 6 кл. Учебник для общеобразоват. учрежд. – М.: Мнемозина, 2009