Геометрия треугольника

Геометрия треугольника Ваганова Алла Сергеевна МОУ лицей №1 г. Тутаев

Определение Треугольником называется фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. А В С

Виды треугольников В зависимости от углов: остроугольный прямоугольный тупоугольный В зависимости от сторон: разносторонний равносторонний равнобедренный

Высота треугольника Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называют перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.

Свойства высот Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым проведены.

Биссектриса треугольника Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с противолежащей стороной.

Свойства биссектрис Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке- центре вписанной окружности. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. А В Д С

Свойства биссектрис Биссектриса треугольника делит его площадь в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам. А В С Д

Свойства биссектрис Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего углов треугольника перпендикулярны. Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то BD1/D1C=AB/AC. Биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию. B A E D C D1

Длина биссектрисы В С А в с а в1 с1 La

Медианы Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. AD- медиана треугольника ВАС. В С А D

Свойства медиан: Свойства медиан: 1.Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. АМ : АМ1 = ВМ : МВ1 = СМ : МС1 = 2:1. Точка М- точка пересечения медиан треугольника- называется его центроидом ( центром масс ). В С1 А1 А В1 С M

2.Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. 2.Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. SΔBDA=SΔBDC A B C D

3. Три медианы делят треугольник на 6 3. Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. S∆АLK= S∆KLВ= S∆ВLM= S∆MLС= S∆СLQ= S∆QLА A C B K M Q L

Длина медианы ma a c b

Теоремы Чевы и Менелая Теорема Чевы Пусть точки M, Q и K Если верно на сторонах BC, AC равенство и AB ΔABC. Если отрезки то отрезки AM, BQ и CK AM, BQ и CK пересекаются в пересекаются в одной точке, то одной точке. B Q A C O M K

Теорема Менелая Пусть прямая пересекает Пусть дан ΔABC. произвольный ΔABC, причем Если точка N лежит N – точка её пересечения со на стороне AB, точка стороной AB, L на стороне BC, L – точка её пересечения со а точка G на стороной BC и продолжении стороны G – точка её AC и верно равенство пересечения с продолжением стороны AC. Тогда верно равенство. то эти точки L, G и N лежат на одной. A B N L C G

Площадь треугольника , ha – высота, проведенная к стороне a. , C – угол между сторонами a и b. Формула Герона , где p – полупериметр, , a, b и c - стороны , a, b, c – стороны, R – радиус описанной окружности , где полупериметр,r – радиус вписанной окружности где ha, hb, hc – высота. a ha C B A b a c b a c hc ha hc c r b a b R a c S=1|2аbsinC

Старинные задачи Задача Египта. Условие. При вычислении площади равнобедренного треугольника египтяне брали половину произведения основания на боковую сторону. Вычислить в процентах, как велика ошибка, если основание равнобедренного треугольника равно 4, а боковая сторона- 10. Решение. По египетскому способу , где a- основание, b- боковая сторона равнобедренного треугольника. Обозначив высоту треугольника через h, найдём Точное значение площади выразится формулой откуда т.е. ошибка не больше 2%.

Задача Евклида (Из трактата“Начала”) Условие. На данной конечной прямой AB построить равносторонний треугольник. Решение. Приняв А за центр, опишем окружность радиусом, равным данному отрезку. Далее, приняв В за центр, опишем другую окружность тем же радиусом. Обозначив одну из точек пересечения окружностей через С и соединив её прямыми А и В, получим треугольник АВС, который, как легко проверить, и есть искомый. A B C A D E H B C

Задачи Герона Условие. 1.Определить площадь треугольника, если даны три его стороны: a=13, b=14, c=15. Решение. Герон решает эту задачу по своей формуле Древнегреческий ученый Герон Александрийский жил около I в. О его жизни до нас дошла лишь отрывочные сведения. Известно, что он был выдающимся ученым-инженером, занимался вопросами геодезии. Герону принадлежит математический трактат «Метрика», где он дал правила численного решения квадратных уравнений и приближенного извлечения квадратных и кубических корней, а в геометрическом отделе – формулы приближенных расчетов разных геометрических фигур (площадей и объемов), где, между прочим, приводится и и знаменитая формула для вычисления площади треугольника по его сторонам.

Условие. Условие. 2.Найти треугольники с целочисленными площадями (треугольники Герона), длины сторон которых являются последовательными числами. Решение. Обозначим стороны искомого треугольника через x – 1, x, x +1. Тогда площадь SΔ найдется по формуле Герона: Для рассматриваемой задачи Где - целое число. Тогда где m2-1=3n2 – целое число; SΔ=3mn – целое число; m2-3n2=1; (1) Последнее равенство выполняется при m=2 и n=1: откуда (2) при p=1, 2, 3, … Из равенств (1) И (2) вытекает откуда Из полученной формулы будем иметь: при p=1 x1 =4, SΔ=6; при P=2 x2=14, SΔ=84; при p=3 x3=52, SΔ=1170; при p=4 x4194, SΔ=16296 и т.д.

Решение задач №1. В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса угла А пересекает катет ВС в точке D.Через точку D проведена прямая параллельно АС, пересекающая гипотенузу АВ в точке Е.Определить АС, если АЕ=15см и CD=12см. Решение. EDA=CAD- как накрест лежащие углы при параллельных прямых ED, AC и секущей ADEDA=EAD, значит треугольник EAD равнобедренный (по признаку), поэтому АЕ=ED=15см. Опустим перпендикуляр ЕО на сторону АС. ОС=ED=15см. Найдём АО, по теореме Пифагора. АО=, АС= АО+ОС=15+9=24(см). А Е С D B O

Решение задач №2. В треугольнике АВС медиана ВМ и биссектриса АЕ пересекаются в точке О.Через точку О проведена прямая, параллельная АС и пересекающая АВ в точке Н и ВС в точке К.Определить АВ и ВС, если АН=12см,АС=40см и КС=14см. Решение. НОА=ОАМ- как накрест лежащие углы при параллельных прямых НК, АМ и секущей АОНОА=НАО, значит треугольник НАО равнобедренный (по признаку),поэтому НО=АН=12см. Треугольник НВО подобен треугольнику АВМ по 2-м углам. 20ВН=12ВН+1448ВН=144ВН=18 АВ=АН+ВН=18+12=30(см). А Н В О Е К С М С