Статья «Изучение арифметических функций в школьном курсе математики»

ИЗУЧЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Аннотация: сформированность понятия функциональной зависимости у учеников - это важная задача целевой деятельности педагога. В статье рассматривается возможность изучения некоторых функций в школьном курсе.

Ключевые слова: Арифметические функции, функция Эйлера, целая и дробная часть числа, число и сумма делителей.

ASSESSMENT OF THE INFLUENCE OF THE PROCESSES OF INTER-REGIONAL TRANSFUSION OF INVESTMENT POTENTIAL ON THE INVESTMENT SECURITY OF THE REGION

Abstract: this article is devoted to assessing the impact of the processes of cross-border movement of investment potential on investment security, in particular, the positive and negative aspects of import and export of investments are analyzed, and indicators are calculated by which the degree of investment security of the region can be estimated.

Keywords: investment potential, inter-regional overflow, investment security

Проблема изучения понятия функции в школе является очень актуальной. Функция – одно из фундаментальных понятий математики, а функциональная идея является одной из определяющих идей развития школьного курса математики.

Регулярное изучение функций, их свойств и графиков начинается в курсе алгебры 7 – 9-х классов, а затем продолжается в курсе алгебры и начал анализа 10 – 11-х классов, причем в основном изучаются числовые функции, т. е. такие, которые заданы на числовом множестве и принимают значения из этого же числового множества. Числовые функции ‒ это объект изучения, и та непосредственная среда, в которой строятся все основные понятия «математического анализа».

В теории чисел рассматриваются разнообразные функции, значения которых для натурального аргумента n связаны с арифметической природой числа n. Множество таких функций обычно ограничивают только одним требованием: каждая функция должна быть определена для всех натуральных значений аргумента. Таким образом, комплекснозначная функция называется арифметической функцией (числовой функцией), если значение определено для любого натурального числа n. [2, с. 41]

Задачи на свойства арифметических функций часто предлагают в заданиях ЕГЭ и предлагают на олимпиадах различных уровней. В рамках факультативных занятий целесообразно познакомить учащихся со следующими функциями: целая и дробная часть числа, функция Эйлера, число и сумма делителей. Рассмотрим интересные задачи, которые можно решить, используя свойства данных функций.

Известными арифметическими функциями являются функции целая часть числа и дробная часть числа.

Целая и дробная часть числа

Целую часть от х, обозначаемую символом представляющую собою наибольшее целое число, не превосходящее х. Например, .

Дробную часть от х, обозначаемую символом , представляющую собой разность между х и целой частью от х, т.е. . Например, {2,9}=0,9, {-2,9}=0.

Пример 1: Сколько натуральных n, не превосходящих 200, не делится ни на 2, ни на 5?

Решение: Так как 2 и 5 взаимно - простые числа, необходимо найти количество целых чисел, не превосходящих 200 и кратных 2, 5 и 10. Итак, , . Количество чисел удовлетворяющих условию задачи, равно.

Задачу можно усложнить, предложить найти количество целых чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 5, на 7. Тогда, , ,

,. Получаем:

Пример 3: Запишите каноническое разложение числа 14!

Решение: Для нахождения данного разложения выпишем простые числа p, не превосходящие 14, то есть числа 2,3,5,7,11,13. Для каждого такого p степень , в которой p входит в разложение факториала, вычисляем по формуле При этом, поскольку , то вычисления упрощаются: на каждом следующем шаге делим на p предыдущее слагаемое и выписываем целую часть полученного числа. Именно, для числа 2 вычисления принимают вид Для числа 3 вычисления принимают вид Для числа 5 имеем . Для числа 7 имеем Поскольку для числа 11 результат принимает вид то дальнейшие вычисления не требуются – оставшееся простое число 13 также будет входить в разложение числа 14! в первой степени. Таким образом,

Пример 4: Сколькими нулями оканчивается число 200! в пятнадцатиричной системе счисления.

Решение: Для нахождения числа нулей, на которые оканчивается 200! В пятнадцатиричной системе счисления, достаточно выяснить, сколько раз в каноническое разложение числа 200! входит число 5: нуль на конце пятнадцатиричной записи числа обеспечивается наличием в каноническом разложении данного числа множителя , а число пятерок в каноническом разложении числа 200! меньше, чем число троек. Искомая величина равна . Таким образом, число 200! оканчивается в пятнадцатиричной системе счисления 49 нулями.

Рассмотрим функцию , дающую число натуральных делителей натурального числа n, и функцию , дающую сумму натуральных делителей натурального числа n.[2, с. 54]

Например, поскольку натуральное число 6 имеет ровно 4 натуральных делителя 1,2,3 и 6, в то время как , так как натуральное число 13 имеет ровно два натуральных делителя 1и 13. При этом и .

Пример 1: Вычислите

Решение: Поскольку , то Тогда

Пример 2: Решите уравнение .

Решение: Так как число 22 может быть представлено в виде произведения отличных от единицы натуральных чисел ровно двумя способами, именно, как 22 (один множитель) или (два множителя), то натуральное число x имеет либо один, либо два простых делителя. В первом случае , и Таким образом, то есть и . Во втором случае , и Таким образом,, то есть , и . Таким образом, решениями уравнения являются числа и ,

Для данного натурального числа n функция Эйлераопределяется как число натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n [2, с. 58]. Например, , поскольку ровно 4 натуральных числа, не превосходящих 8 (числа 1,3,5,7), являются взаимно простыми с 8.

Пример 2: Сколько существует правильных несократимых дробей со знаменателем 180?

Решение: Дробь является правильной несократимой дробью тогда и только тогда, когда и Легко увидеть, что число таких дробей равно Поскольку , то и число правильных несократимых дробей со знаменателем 180 равно 48.

Сформированность понятия функциональной зависимости у учеников - это важная задача целевой деятельности педагога. Она направлена на становление математического мышления и развитие творческой деятельности учеников. Развитие функционального мышления подразумевает формирование способностей к овладению общими учебными приемами и умениями, обнаружению новых связей.

Деза Е. И., Котова Л. В. Сборник задач по теории чисел. Учебное пособие. Изд. 2-е. — М.: ЛЕНАНД, 2018. — 224 с.

Список использованных источников и литературы:

[1] Умнова А.И. Экономический потенциал региона. М., 1998. – С.44.