Лекция «Изучение комплексных чисел в СПО»
Лекция 9
Тема 9. Комплексные числа.
Время: 2 часа
Цель лекции: Познакомить с понятием комплексного числа, алгебраической, тригонометрической и показательной формами комплексных чисел. Теоретически обосновать действия над комплексными числами. Показать возможность решения алгебраических уравнений в комплексной области.
План лекции:
Понятие комплексного числа.
Формы записи комплексных чисел.
Действия над комплексными числами.
Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.
Основная теорема алгебры.
Понятие комплексного числа.
Комплексным числом z называется выражение вида z = x +iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i2= –1.
Если х = 0, то число 0+iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число x +i0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. RС.
Число х – действительная часть комплексного числа z и обозначается х=Rе z, а у – мнимой частью z, у=Im z.
Два комплексных числа z1 = x1 +iy1 z2 = x2 +iy2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Понятия больше и меньше для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.
отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.
|
|
|
|
|
В
О х х
М
у
у
сякое комплексное число можно изобразить точкой М(х,у) плоскости Оху такой, что х=Rе z, у=Im z. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая. Комплексное число можно задать в виде радиус вектора 
=
. Длина вектора называется модулем этого числа и обозначается 
или r.
Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число – аргумент этого числа, обозначается Arg z или 
. Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа z
0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 
(k =0,–1,1,–2,2,…): Arg z= аrg z + , где аrg z – главное значение аргумента, заключённое в промежутке 
, т.е. 
аrg z 
(иногда в качестве главного аргумента берут величину из промежутка 
).
Формы записи комплексных чисел.
Запись числа в виде 
называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент можно рассматривать как полярные координаты вектора = , изображающего комплексное число . Тогда получаем 
, 
. Следовательно, комплексное число можно записать в виде 
или 
. Такая запись называется тригонометрической формой.
Модуль 
однозначно определяется по формуле 
. Например, 
. Аргумент определяется из формул
, 
, 
Так как 
, то 
, 
.
Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z, т.е. считать 
.
Так как аrg z , то из формулы получаем, что
Используя формулу Эйлера 
, комплексное число 
можно записать в показательной (или экспотенциальной) форме 
, где 
– модуль комплексного числа, а угол .
В силу формулы Эйлера функция 
– периодическая с основным периодом 2. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать 
.
Пример 1: Записать комплексные числа z1 = –1+i и z2 = –1 в тригонометрической и показательной формах.
Решение: Для числа z1 имеем:
, т.е. 
.
Поэтому 
Для z2 имеем 
т.е. 
.
Поэтому 
.
Действия над комплексными числами.
С
уммой двух комплексных чисел z1 и z2 у z1+z2
н
азывается комплексное число, определяемое z2
р
авенством 
. z1
O x
С
у
ложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами. Из определения следует, что комплексные числа складываются как векторы. Из рисунка видно, что
. Это соответствие называют неравенством треугольника.
О х
z2
z1
Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z, которое будучи сложенным с z2, даёт число z1, т.е. z = z1 – z2, если
.
.
Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. Из рисунка видно, что 
.
Отметим, что
, т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.
Поэтому, например, равенство 
определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки 
, т.е. окружность с центром в и радиусом 1.
Произведением комплексных чисел z1 = x1+iy1 и z2 = x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством:
Произведение комплексных чисел можно находить путём формального перемножения двучленов x1 +iy1 и x2 +iy2, учитывая, что i2= –1.
Например, (2–3i)(–5+4i)= –10+8i+15i–12i2 = –10+23i+12=2+23i.
Заметим, что 
– действительное число.
Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.
Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме: 
Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности
– формула Муавра.
Пример 2: Найти 
Решение: Запишем сначала число 
в тригонометрической форме:
; 
По формуле Муавра имеем
Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z2, даёт число z1, т.е. 
, если 
.
Если положить 
, 
, 
, то из равенства 
следует
Решая систему, найдём значения х и у:
.
На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю.
Пример 3: Выполнить деление 
Решение: 
Для тригонометрической формы комплексного числа деление имеет вид: 
,
т.е. 
.
Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число 
, удовлетворяющее равенству 
.
Если положить 
, а 
, то по определению корня и формуле Муавра, получаем
.
Отсюда имеем 
Т.е. 
(арифметический корень).
Поэтому корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле:
, 
Точки, соответствующие значениям 
, являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса 
с центром в начале координат.
Пример 4: Найти все значения 
.
Решение: Запишем комплексное число 
в тригонометрической форме.
.
.
Пример 5: Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием 
?
Р
y
ешение: Комплексное число
изображается вектором, началом которого является точка 
, а концом ‒ точка z. Угол между этим вектором и осью ОХ есть 
, и он меняется в пределах от 
до 
.
С
-1 О х
‒1+i i
ледовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки и образующими с осью ОХ углы в и 
рад.
Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме
Пусть 
и 
, тогда:
Произведение 
;
Частное 
;
Возведение в n – ю степень 
;
Извлечение корня n – й степени 
, 
.
Формулы Эйлера.
Рассмотрим разложение функции 
по формуле Маклорена.
Если действительную переменную х заменить комплексной переменной z, то получим ряд по степеням z:
(1)
Аналогично определяются тригонометрические функции 
и 
комплексной переменной z:
(2)
(3)
Подставим в (1) 
вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие множитель i и не содержащие этот множитель.
Сравнивая полученный результат с формулами (2) и (3), получаем
и 
Таким образом, с помощью понятия комплексного числа устанавливается связь между тригонометрическими и показательной функциями:
Складывая и вычитая эти два выражения, получим
; 
.
Используя понятие комплексных чисел, вводится понятие гиперболических синуса и косинуса:
; 
.
Из формулы Эйлера следует, что
; 
.
Приведенные известные из элементарной математики формулы:
, 
;
; 
,
справедливы и для комплексных значений аргументов 
и 
.
Основная теорема алгебры:
Функция вида 
, где п ‒ натуральное число, 
‒ постоянные коэффициенты, называется многочленом п –ой степени с действительными коэффициентами (или целой рациональной функцией).
Корнем многочлена называется такое значение х0 (вообще говоря комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.
Теорема: Если х1 есть корень многочлена 
, то многочлен делится без остатка на х‒х1, т.е. 
, где 
‒ многочлен степени (п‒1).
Теорема: (основная теорема алгебры) Всякий многочлен п-ой степени (n>0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.
Теорема: Всякий многочлен можно представить в виде
,
где 
‒ корни многочлена, 
‒ коэффициент многочлена при хп.
Множители 
называются линейными множителями.
Пример 1: Разложить многочлен 
на множители.
Решение: Многочлен обращается в нуль при 
Следовательно 
.
Пример 2: Представить выражение 
в виде произведения линейных множителей.
Решение: Легко проверить, что 
является корнем данного многочлена.
= 
Уравнение 
имеет два комплексных корня 
и 
.
Следовательно, 
.
Если в разложении многочлена какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k. Тогда разложение многочлена можно записать в виде: 
, где 
‒ кратности соответственно корней 
.
Теорема: Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень 
, то он имеет сопряжённый корень 
.
Перемножив линейные множители,
,
получили трёхчлен второй степени с действительными коэффициентами
=
, где 
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряжённым корням, можно заменить квадратным трёхчленом с действительными коэффициентами. Поэтому справедлива следующая теорема:
Теорема:
Всякий многочлен п-ой степени с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:
где 
,
х1, х2, … , хr ‒ корни многочлена, а все квадратные трехчлены не имеют действительных корней.
Пример: 
этот многочлен имеет корни: х1= ‒2 и х2=3, других действительных корней нет. Тогда 
