Кейс по математике «Микрорайон мечты»

Обособленное структурное подразделение «Детский технопарк «Кванториум» 

Государственного автономного учреждения дополнительного профессионального образования Липецкой области «Институт развития образования» 

Кейс по математике «Микрорайон мечты»

Авторы:

Светлова Виктория Сергеевна, педагог дополнительного образования Марасанова Елена Вячеславовна, педагог дополнительного образования

Липецк, 2022

Базовый кейс 1. Микрорайон мечты

Описание проблемной ситуации или феномена

Активный и ответственный кванторианец Вася хочет успевать за день сделать много дел. После школы он приходит домой делает уроки и идет забирать сестру из садика, при этом заходит в магазин. Потом, погуляв с собакой, торопится на занятия в Кванториум, находящийся далеко от дома. В итоге, отсутствует время на просмотр мультфильмов.

Вася пытается решить эту проблему, но не очень разбирается в построении моделей микрорайонов. Как бы вы решили эту проблему? Возможно ли построить микрорайон, в котором все вышеописанные локации будут присутствовать?

Категория кейса (уровень сложности)

вводный

Место в структуре модуля

базовый, мотивационный кейс

Количество учебных часов/занятий, на которые рассчитан кейс (может варьироваться в зависимости от уровня подготовки, условий, и т.д.)

Кейс рассчитан на 16 ч/8 занятий

Перечень и содержание занятий

Занятие 1

Цель: Произвести постановку проблемной ситуации и осуществить поиск путей решения.

Что делаем: Представление проблемной ситуации в виде инженерного ограничения (социально-математического) (отклик на существующую потребность). Анализ проблемной ситуации, генерация и обсуждение методов ее решения и возможности достижения идеального конечного результата.

Компетенции: Умение генерировать идеи указанными методами, слушать и слышать собеседника, аргументировано отстаивать свою точку зрения, искать информацию в свободных источниках и структурировать ее. Умение комбинировать, видоизменять и улучшать идеи.

Занятие 2

Цель: Построить графическую информационную модель «микрорайона мечты» в виде связного графа.

Что делаем: Знакомство с теорией графов, их видами и областями применения. Создание карты микрорайона.

Компетенции: Командная работа. Применение знаний об основных понятиях теории графов для решения задач, возникающих в профессиональной сфере. Владение навыками практического использования современного математического инструментария для решения или анализа задач, предусматривающими знания оптимальных алгоритмов.

Занятие 3

Цель: Применить теорию о базовой геометрии для модели «микрорайона мечты».

Что делаем: Знакомство с основными понятиями базовой геометрии (геометрические фигуры, площадь, периметр). Оптимизация расположения объектов на карте с использованием полученных знаний. Доработать эскиз карты микрорайона.

Компетенции: Командная работа. Расчет площади и периметра при решении задач, возникающих в повседневной жизни. Исследование различных вариантов решения задач с использованием геометрических характеристик объектов, выбор наилучшего, принимая во внимание различные критерии.

Занятие 4

Цель: Применить теорию множеств для реализации модели «микрорайона мечты».

Что делаем: Знакомство с теорией множеств (операции над множествами, комбинаторика, математическая логика). Распределить наиболее выгодные коммуникации (например, любители собак располагаются рядом с питомником для собак и подальше от питомника для кошек) внутри микрорайона. Доработать эскиз карты микрорайона.

Компетенции: Командная работа. Умение абстрагироваться от реальных объектов и свести работу с объектами к работе с моделями. Умение разбивать сложную задачу на более простые и выстраивать работу с ними.

Занятие 5

Цель: Применить теорию вероятностей для оптимизации модели «микрорайона мечты».

Что делаем: Знакомство с теорией вероятностей (определение события, вероятности, ее характеристики). Сбор статистики и последующий анализ. На основе полученных данных произвести оптимизацию «микрорайона мечты». Доработать эскиз карты микрорайона.

Компетенции: Командная работа. Использование основных методов теоретико-вероятностных исследований в научном анализе реальных проблем.

Занятие 6

Цель: Построить карту «микрорайона мечты» с учетом полученных навыков и знаний.

Что делаем: Подвести итоги полученных знаний и навыков. Доработать эскиз карты микрорайона. Обзор программного обеспечения, необходимого для визуализации модели «микрорайона мечты». Оформление проекта.

Компетенции: Командная работа. Основы работы в программе для создания карты. Критическое мышление и умение объективно оценивать результаты своей работы.

Занятие 7

Цель: Выполнить подготовку к публичной демонстрации и защите результатов кейса.

Что делаем: Подготовка речи выступления и презентации по итогам работы над кейсом. Создание презентации.

Компетенции: Организаторские качества. Умение грамотно формулировать свои мысли как в устной, так и в письменной форме. Критическое мышление и умение объективно оценивать результаты своей работы.

Занятие 8

Цель: Выполнить подготовку к публичной демонстрации и защите результатов кейса.

Что делаем: Подготовка речи выступления и презентации по итогам работы над кейсом. Создание презентации. Рефлексия. Обсуждение результатов кейса.

Компетенции: Основы ораторского искусства. Опыт публичных выступлений. Основы работы в текстовом редакторе и программе для создания презентации.

Метод работы с кейсом (метод проектов, аналитический метод, … - выбор метода определяет содержание руководства для наставников)

Метод проектов

Минимально необходимый уровень входных компетенций:

Требования к минимальному уровню входных компетенций отсутствуют, за исключением знания персонального компьютера на уровне пользователя

Предполагаемые образовательные результаты учащихся (артефакты, решения), формируемые навыки (Soft и Hard Skills)

В результате прохождения данного образовательного модуля обучающийся должен знать следующие ключевые понятия: граф, вершина, ребро, степень вершины, путь, связность, фигура на плоскости, площадь, периметр, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, окружность, множество, комбинаторик, факториал, вероятность, событие, испытание.

Прохождение данного образовательного модуля должно сформировать у обучающихся следующие компетенции. Все выработанные компетенции могут быть применены в ходе реализации последующих образовательных модулей:

умение генерировать идеи указанными методами;

умение слушать и слышать собеседника;

умение аргументировано отстаивать свою точку зрения;

умение искать информацию в свободных источниках и структурировать ее;

умение комбинировать, видоизменять и улучшать идеи;

навыки командной работы;

умение грамотно письменно формулировать свои мысли;

критическое мышление и умение объективно оценивать результаты своей работы;

основы ораторского искусства;

основы работы в текстовом редакторе и программе для создания презентаций;

использование графов для систематизации знаний и наглядного представления информации

поиск оптимального пути с помощью графов и логических рассуждений

расположение объектов с использованием фигур на плоскости

практическое использование формул для расчета площадей и периметров

умение абстрагироваться от реальных объектов и свести работу с объектами к работе с моделями.

умение разбивать сложную задачу на более простые и выстраивать работу с ними.

использование основных методов теоретико-вероятностных исследований в научном анализе реальных проблем.

Процедуры и формы выявления образовательного результата

Промежуточный контроль результата проектной деятельности осуществляется по итогам выполнения групповых и индивидуальных заданий, а также по итогам самостоятельной работы участников команды.

Итоговый контроль состоит в публичной демонстрации результатов проектной деятельность перед экспертной комиссией с ответами на вопросы по содержанию проекта, методам решения и полученным инженерно-техническим и изобретательским результатам.

Необходимые материалы и оборудование

Для успешного выполнения кейса потребуется следующее оборудование, материалы, программное обеспечение и условия. Количество единиц оборудования и материалов приведено из расчета количественного состава группы обучающихся (12 человек). Распределение комплектов оборудования и материалов – 1 комплект на 2-4 обучающихся:

работа над кейсом должна производиться в хорошо освещенном, просторном, проветриваемом помещении;

компьютер (ноутбук) с монитором, клавиатурой и мышкой, на который установлено следующие программное обеспечение: операционная система Windows (версия не ниже 7), Gimp, Blender, Graph Online, пакет офисных программ MS Office – 7 шт.;

компьютеры (ноутбуки) должны быть подключены к единой Wi-Fi-сети с доступом в Интернет;

презентационное оборудование (проектор с экраном/телевизор с большим экраном) с возможностью подключения к компьютеру (ноутбуку) – 1 комплект;

флипчарт с комплектом листов/маркерная доска, соответствующий набор письменных принадлежностей – 1 шт.;

каждый стол для работы над кейсом должен позволять разместить за одним компьютером (ноутбуком) двух обучающихся и предоставлять достаточно места для работы с компонентами создаваемого устройства;

распечатанный материал кейса 1 – 6 шт.;

листы бумаги А4 и А3;

ручки, карандаши;

набор для черчения.

В ходе работы предлагается следующее распределение участников в группе:

• участники работают все вместе в ходе обсуждения проблемной ситуации, рефлексии и подготовки к защите проекта;

• участники работают в подгруппах по 2-4 человек в ходе построения графической модели и выполнения самостоятельных заданий.

Источники

Ануфриенко С.А. Введение в теорию множеств и комбинаторику. 1998;

Березина Л. Ю. Графы и их применение: пособие для учителей. 1979;

Лютикас В.С. Школьнику о теории вероятностей. 1983;

Смирнов В.А. и др. Наглядная геометрия. 2013;

Третьяк И.В. Геометрия в схемах и таблицах. 2016.

Педагогический сценарий (руководство для наставника)

В ходе данного кейса вводятся математические модели, позволяющие рационально планировать расположение объектов социальной инфраструктуры с учётом самых разных факторов (размеры и форма зданий, назначение зданий и т.д.). Участники кейса построят «микрорайон мечты», расположив все социальные объекты наиболее оптимально.

Сценарий кейса включает в себя:

• введение в проблему посредством беседы с группой обучающихся (приведение конкретных жизненных примеров, в которых проблемная ситуация раскрывается; приведение неоспоримых фактов того, что решение проблемной ситуации не может быть отложено на неопределенный срок);

• изучение проблемы (групповое обсуждение; анализ материалов в свободном доступе, выявление существующих готовых технических решений для данной или похожих проблемных ситуаций; выявление достоинств и недостатков найденных решений);

• распределение ролей в проектной группе по результатам предыдущих шагов сценария с учетом предпочтений участников;

• поиск технического решения проблемы (в зависимости от возрастного состава участников группы и уровня их подготовки рекомендуется использовать: мозговой штурм; методы теории решения изобретательских задач и методы поиска технических решений; метод инженерных ограничений);

• составление минимального технического задания на разработку технического решения с указанием продолжительности выполнения каждого этапа технического задания;

• непосредственно выполнение этапов технического задания, создание модели микрорайона;

• тестирования для проверки работоспособности модели микрорайона (поиска и устранения недочетов в работе);

• итоговая доработка модели микрорайона;

• подготовка выступления и представление итогов работы над кейсом в виде презентации с демонстрацией графической модели микрорайона;

• подведение итогов, групповая рефлексия.

Теоретический материал и задания к занятию 2

Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. В математике существует целый раздел – теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Мы же обсудим только самые основные понятия, свойства графов и некоторые способы решения задач.

Термин «граф» впервые появился в книге венгерского математика Д.Кенига в 1936 году, хотя важнейшие теоремы о графах восходят к Леонарду Эйлеру (1707 – 1783). Графом называется совокупность конечного числа точек, называемых вершинами графа, и попарно соединяющих некоторые из этих вершин линий, называемых ребрами или дугами графа.

Дугой называется ребро с указанным направлением. Дуга (ребро) может начинаться и заканчиваться в одной и той же вершине, в этом случае соответствующая дуга (ребро) называется петлей.

Вершины графа, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными.

Граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром, называется полным.

Граф, который можно представить на плоскости в таком виде, когда его ребра пересекаются только в вершинах, называется плоским.

Количество ребер, выходящих из данной вершины, называется степенью (валентностью) этой вершины.

Путь – последовательность ребер, каждое следующее из которых начинается в конце предыдущего.

Висячей вершиной называется вершина, из которой выходит ровно одно ребро.

Циклом называется путь, в котором совпадают начальная и конечная точка.

Длиной пути, проложенного на цикле, называется число ребер этого пути.

Граф называется связным, если каждые две его вершины соединены путем; если же в графе найдется хотя бы одна пара несвязных вершин, то граф называется несвязным.

Деревом называется связный граф, не содержащий циклов. В дереве вершин всегда на одну больше, чем ребер.

Вершины, соединенные ребром или дугой, называются смежными. Ребра, имеющие одну и ту же вершину, также называют смежными.

Многоугольник плоского графа, не содержащий внутри себя никаких вершин или ребер, называется гранью.

Двудольный (четный) граф или биграф — это граф, множество вершин которого можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро графа соединяет какую-то вершину из одной части с какой-то вершиной другой части, то есть не существует ребра, соединяющего две вершины из одной и той же части.

Формула Эйлера. Для всякого связного плоского графа верно равенство: n-m+f=2, где n – число вершин, m – число ребер, f – число граней графа.

Лемма о рукопожатиях. Для любого связного графа верно утверждение: сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству ребер.

При решении многих олимпиадных задач используются следующие утверждения, относящиеся к обходу ребер графа:

если в графе больше двух нечетных вершин, то его правильный обход (т.е. обход, при котором каждое ребро проходится один раз) невозможен;

для всякого четного связного графа существует правильный обход, который можно начать с любой вершины и который обязательно кончается в той же вершине, с которой начался;

если в связном графе ровно две нечетные вершины, то существует правильный обход, причем в одной из них он начинается, а в другой кончается;

в любом графе количество нечетных вершин четно.

Задачи.

1. Разумные муравьи живут в колониях. Колонии состоят из ячеек, которые муравьи строят, которые соединяются в концах при помощи специального раствора. В одной ячейке живет один муравей. Колония состоит из 58 палочек, которые скрепили в 30 местах. Сколько муравьев живет в колонии?

Решение. Представим схему колоний как плоский граф. Граф имеет 30 вершин, 58 ребер. С помощью формулы Эйлера найдем число граней в нем f=2-n+m=2-30+58=30. Так как каждая грань графа, за исключением внешней, соответствует ячейке, то в колонии живут 29 муравьев.

2. В турнире принимает участие 15 шахматистов. Может ли быть, чтобы в некоторый момент каждый из них сыграл ровно 7 партий?

Решение. Нет, так как 15 нечетных вершин у графа быть не может.

3. В соревновании по круговой системе с двенадцатью участниками провели все встречи. Сколько встреч было сыграно?

Решение. Построим граф встреч игроков так. Поскольку каждая пара игроков встретилась между собой, то в графе каждая пара вершин будет соединена ребром. Данный граф будет являться полным. Найдем число ребер данного графа. В произведении каждое ребро учтено дважды, поэтому граф имеет ребер.

4. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно три дороги, быть ровно 100 дорог между городами?

Решение. Построим граф, в котором вершины изображают города, а ребра – дороги. Из условий задачи следует, что степень каждой вершины равна трем. Пусть граф имеет n вершин. Из леммы о рукопожатиях вытекает, что . Последнее равенство при целых n невозможно.

5. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться (возможны пересадки) с Земли до Марса?

Решение. Нарисуем схему: планетам будут соответствовать точки, а соединяющим их маршрутам – непересекающиеся между собой линии.

Мы составили граф, соответствующий условию задачи. Видно, что все планеты Солнечной системы разделились на две не связанных между собой группы. Земля принадлежит одной группе, а Марс – в =торой. Долететь с Земли до Марса нельзя.

6. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией тогда и только тогда, когда двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли из города 1 добраться в город 9?

Решение. Покажем возможные маршруты, нарисовав граф. И в этой задаче 1 и 9 попали в две разных части графа. Ясно, что в правой части графа сгруппировались города-цифры нацело делящиеся на 3, а в левой части графа ребра соединяют две цифры: одну — делящуюся на 3 с остатком 1, а другую — делящуюся на 3 с остатком 2.

7. В государстве 100 городов. Из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.

Решение. Подсчитаем общее количество выходящих городов дорог – . Однако при таком подсчете каждая дорога посчитана 2 раза – она выходит из одного города и входит в другой. Значит всего дорог в два раза меньше, т.е. 200.

Теоретический материал и задания к занятию 3:

Геометрические задачи

Открывая учебник геометрии, вы даже не предполагали, что эта книга является упрощенной переработкой книги, созданной более 2000 лет назад. Название этой древней книги – «Начала». Создание ее обычно связывают с именем греческого математика Евклида, жившего в III в. до н.э. в Александрии – центре научной мысли греков. А зачатки геометрических знаний теряются в глубине тысячелетий. Древнейшие из памятников культуры – египетские папирусы и вавилонские глиняные таблички с клинописными записями говорят о том, что уже за 4000 – 5000 лет до нашего времени люди знали многое из того, что мы сейчас изучаем в школе. Сегодня, решая геометрические задачи, мы прикоснемся с вами к этой великой науке.

1. Можно ли в тетрадном листке вырезать такую дырку, через которую пролез бы человек?

Решение. Нужно сложить лист вдвое, вырезать вдоль линии сгиба узкое отверстие, а затем сделать много прямолинейных разрезов так, как показано на рисунке. Первый разрез делает «дырку», а остальные увеличивают длину «краёв» этой дырки.

2. а) Вспомните, как найти площадь прямоугольника, зная длины его сторон.

б) Как найти площадь прямоугольного треугольника, зная длины двух его сторон, прилегающих к прямому углу?

Решение: а) ab; б) ab⁄2. Приложим к гипотенузе такой же треугольник, чтобы получился прямоугольник со сторонами a и b. Тогда площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, т.е. ab⁄2.

3. Найдите площади многоугольников, изображенных на рисунке (сторона клетки равна 1).

Решение: Чтобы найти эти площади нужно разбить фигуры на прямоугольные треугольники и квадратики. Площадь и тех и других мы умеем вычислять по первой задаче.

Ответ. 13; 12; 39,5.

4. (Квантик-2016) Барон Мюнxгаузен утверждает, что может нарисовать две пересекающиеся прямые и 15-угольник так, что каждая вершина 15-угольника будет лежать на одной из этих прямых. Не хвастает ли барон? 
(Ответ обоснуйте: либо нарисуйте пример, либо докажите, что такого примера нет.) (Павел Кожевников) 

Решение. Пример.

5. Как посадить 9 деревьев так, чтобы получилось 10 прямых рядов по три дерева в каждом?

6. Приведите пример карты, на которой четыре треугольные страны граничат каждая с каждой.

Р ешение.

Теоретический материал и задания к занятию 4

Множества. Операции над множествами

Множество – первичное понятие в математике и поэтому неопределяемое через другие. Математическое понятие множество постепенно выделилось из привычных интуитивных представлений о совокупности, наборе, собрании, коллекции, классе, семействе и т.д. Георг Кантор, создатель теории множеств, дает такое пояснительное определение множества, как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслей». В определении требуется, чтобы объекты были различны между собой. Элементами множества могут быть объекты различной природы: числа, буквы, точки, углы, предметы, люди и т.п. Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, а множества, состоящие из бесконечного числа элементов, - бесконечными. Элементы, составляющие множество обычно обозначаются строчными латинскими буквами; сами множества – прописными латинскими. Множества задают либо перечислением его элементов, либо описанием характеристического свойства множества, которое четко определяет совокупность его элементов.

Отношения между множествами

1. Если каждый элемент множества A принадлежит множеству B, то множество A является подмножеством множества B (включено в B)( ).

2. Если и , то .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым (Ø).

Множество, подмножествами которого являются все остальные множества из этой теории, называется универсальным (U).

Любое множество есть подмножество самого себя.

Операции над множествами.

1. Объединением двух множеств называется такое множество, которое содержит всевозможные элементы, входящие хотя бы в одно из данных множеств ( ).

2. Пересечением двух множеств называется такое множество, которое состоит из элементов, входящих в каждое из данных множеств ( ).

3. Дополнением множества до универсального называют множество всех тех элементов U , которые не принадлежат исходному множеству.

4. Разностью двух множеств называется такое множество, которое состоит из элементов, входящих в первое из данных множеств, и не входящих во второе из данных множеств ( ).

Диаграммы Эйлера – Венна.

В элементарной теории множеств для интерпретаций результатов операций над множествами используются диаграммы Эйлера – Венна. Диаграммой Эйлера называют фигуры, изображающие множества и наглядно демонстрирующие некоторые свойства булевых операций. Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества изображают кругами.

Задачи.

1. Все мои друзья заботятся в своих квартирах о домашних животных. Шестеро из них разводят хомячков, а пятеро – рыбок. И только у двоих есть и хомячки, и рыбки. Сколько у меня друзей?

Решение. Обратимся к кругам Эйлера:

Изобразим два круга, так как у нас два вида питомцев. В одном будем фиксировать владельцев хомячков, в другом – рыбок. Поскольку у некоторых друзей есть и те, и другие животные, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как хомячки и рыбки у двоих. В оставшейся части «хомячкового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «рыбного» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 друзей.

2. В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Решение.

18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит, вратарей будет 30-28=2.

3. Когда после зимних каникул одна из групп центра «Стратегия» вернулась к занятиям, преподаватель спросил, ходили ли они в это время в кино, в театр и в боулинг. Стало известно, что из 36 человек только двое не были ни в кино, ни в театре, ни в боулинге. В кино побывало 25 человек, в театре – 11, в боулинге – 17, в кино и в театре – 6, в кино и в боулинге – 10, а в театре и в боулинге – 4. Однако сколько человек посетили все три места осталось загадкой. Разгадайте ее.

Решение. Составим к задаче диаграмму Эйлера – Венна.

Имеем, 2 + (9 + x) + (1 + x) + (3 + x) + (6 – x) + (10 – x) + (4 – x) + x = 36, x = 1.

4. На полу площадью 12 м2 лежат три ковра. Площадь одного ковра 5 м2, другого – 4 м2, третьего – 3 м2. Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5 м2. Все три ковра перекрываются на площади 0,5 м2.

а) Какова площадь пола, не покрытая коврами?

б) Какова площадь, покрытая только первым ковром?

Ответ: а) 12 – (5+4+3-1.5∙3+0.5) = 4; б) 5 – 1 – 1 – 0.5 = 2.5.

5. Среди математиков каждый седьмой – философ, а среди философов каждый девятый – математик. Кого больше: философов или математиков?

Ответ: философов больше.

Задача1.1.Дано: а)A,B⊆Z, A = {1;3;4;5;9}, B = {2;4;5;10}. б)A,B⊆R, A = [-3;3), B = (2;10].

Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B.

Решение.

a) A∩B = {4;5}, A∪B = {1;2;3;4;5;9;10}, A \ B = {1;3;9}, B \ A = {2;10}, B = Z \ B;

б) A∩B = (2;3), A∪B = [-3;10] , A\B = [-3,2], B\A = [3,10],B Z\B = (-∞,2]∪(10,+∞).

Задача 1.3. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал книги A, B, C. Результаты опроса оказались таковы: книгу A читали 25 учеников; книгу B читали 22 ученика; книгу C читали 22 ученика; книги A или B читали 33 ученика; книги A или C читали 32 ученика; книги B или C читали 31 ученик; все книги читали 10 учеников. Определите: 1) Сколько учеников прочли только книгу A?

2) Сколько учеников прочли только книгу B?

3) Сколько учеников прочли только книгу C?

4) Сколько учеников прочли только по одной книге?

5) Сколько учеников прочли хотя бы одну книгу?

6) Сколько учеников не прочитали ни одной книги?

 

Решение.

Пусть U - множество учеников в классе. Тогда

|U| = 40,   |A| = 25,  |B| = 22, |C| = 22,   |A ∪ B| = 33,   |A ∪ C| = 32,  |B ∪ C| = 31,  |A ∩ B ∩ C| = 10

Попробуем проиллюстрировать задачу.

Разобьём множество учеников, прочитавших хотя бы одну книгу, на семь подмножеств k1, k2, k3, k4, k5, k6, k7, где

k1 - множество учеников, прочитавших только книгу A;

k3 - множество учеников, прочитавших только книгу B;

k7 - множество учеников, прочитавших только книгу C;

k2 - множество учеников, прочитавших книги A и B и не читавших книгу C;

k4 - множество учеников, прочитавших книги A и C и не читавших книгу B;

k6 - множество учеников, прочитавших книги B и C и не читавших книгу A;

k5 - множество учеников, прочитавших книги A, B и C.

Вычислим мощность каждого из этих подмножеств.

|k2| = |A ∩ B|-|A ∩ B ∩ C|; |k4| = |A ∩ C|-|A ∩ B ∩ C|;

|k6| = |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|; |k5| = |A ∩ B ∩ C|.

Тогда |k1| = |A| - |k2| - |k4| - |k5|, |k3| = |B| - |k2| - |k6| - |k5|, |k7| = |C| - |k6| - |k| - |k5|.

Найдём |A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C|.

|A ∩ B| = | A| +| B| - |A ∩ B| = 25 + 22 - 33 = 14 ,

|A ∩ C| = |A| + |C| - |A ∩ C| = 25 + 22 - 32 = 15 ,

|B ∩ C| = |B| + |C| - |B ∩ C| = 22 + 22 - 31 = 13 .

Тогда k1 = 25-4-5-10 = 6; k3 = 22-4-3-10 = 5; k7 = 22-5-3-10 = 4;

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |C| - |(A ∪ B ) ∪ C| .

Из рисунка ясно, что |C| - |( A ∪ B ) ∪ C| = |k7| = 4, тогда |A ∪ B ∪ C| = 33+4 = 37 – число учеников, прочитавших хотя бы одну книгу.

Так как в классе 40 учеников, то 3 ученика не прочитали ни одной книги.

Ответ:

6 учеников прочли только книгу A.

5 учеников прочли только книгу B.

4 ученика прочли только книгу C.

15 учеников прочли только по одной книге.

37 учеников прочли хотя бы одну книгу из A, B, C.

3 ученика не прочитали ни одной книги.

Теоретический материал и задания к занятию 5

Классическое определение вероятности. Пусть производится некоторое испытание, которое может иметь ровно n различных исходов. Будем считать, что все эти исходы несовместны (не могут произойти одновременно) и равновероятны (данное понятие лежит за рамками математической теории и понимается в интуитивном смысле). Каждому событию A, являющемуся подмножеством пространства элементарных событий проводимого испытания, поставим в соответствие число

p(A)=m/n,

где m – число исходов испытания, благоприятствующих событию A. Число p(A) называют вероятностью события A при данном испытании.

Анализ и решение задач. Анализ и решение задач могут быть выполнены по следующей схеме:

Уясните, в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче.

Установите, являются ли исходы испытания несовместными и равновероятными.

Подсчитайте число n всех возможных исходов испытания.

Сформулируйте событие, вероятность наступления которого необходимо найти.

Подсчитайте число m исходов испытания, благоприятствующих рассматриваемому событию.

Вычислите по предложенной формуле вероятность появления рассматриваемого события.

Элементарные события опыта – простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт.

Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1.

Вероятность события A (обозначается P(A)) равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.

Объединение событий A∪B – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий A или B.

Пересечение событий A∩B – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям A и B.

Событие A¯, состоящее из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в A, называется противоположным событию A.

События A и B называются независимыми, если P(A∩B)=P(A)⋅P(B).

Несовместными называются события, которые не наступают одновременно ни в одном опыте.

Например, противоположные события несовместны.

Условная вероятность P(B|A) – это вероятность наступления события B при условии, что событие A наступило.

Формула противоположного события:

P(A¯)=1−P(A).

Формула сложения вероятностей:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).

Формула сложения вероятностей для несовместных событий:

P(A∪B)=P(A)+P(B).

Формула умножения вероятностей:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B|A).

1. Василий Петров выполняет задание по английскому языку. В этом задании есть 10 английских выражений и их переводы на русский в случайном порядке. Нужно установить верные соответствия между выражениями и их переводами. За каждое правильно установленное соответствие даётся 1 балл. Таким образом, можно получить от 0 до 10 баллов. Вася ничего не знает, поэтому выбирает варианты наугад. Найдите вероятность того, что он получит ровно 9 баллов.

Решение: если угадано девять верных ответов, то десятый ответ тоже будет верным. Значит, искомая вероятность равна нулю.

2. Тетрадь в клеточку показывает, как можно замостить плоскость равными квадратами. А как замостить плоскость:

а) равными шестиугольниками;

б) равными треугольниками, причём у каждого из них должна быть хотя бы одна точка, которая граничит ещё с хотя бы 10 треугольниками?

3. В строящемся доме в каждом подъезде одинаковое число квартир. В первом подъезде расположены 1/5 всех проданных квартир и 1/7 непроданных. Сколько подъездов у дома?