Курсовая работа на тему «Степенные ряды»

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. Степенные ряды

1. Формулировка теоремы о подстановки ряда в ряд и умножение абсолютно сходящихся рядов 5

   Общая схема деления одного степенного ряда на другой и отыскание коэффициентов частного 11

   Разложение в степенной ряд и вычисление коэффициентов частного 15

ГЛАВА 2. Числа Бернулли

2. Числа Бернулли и формула для их вычисления 19

   Некоторые применения чисел Бернулли 22

ВЫВОД 25

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Для решения многих практических задач необходимо знать комплекс условий, благодаря которому результат совокупного воздействия большого количества случайных факторов почти не зависит от случая. Данные условия описаны в нескольких теоремах, носящих общее название закона больших чисел, где случайная величина к равна 1 или 0 в зависимости от того, будет ли результатом k-го испытания успех или неудача. Таким образом, Sn является суммой n взаимно независимых случайных величин, каждая из которых принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и q. [4,18]

Простейшая форма закона больших чисел - теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

Теорема Бернулли. Пусть  n - число успехов в n испытаниях Бернулли и p - вероятность успеха в отдельном испытании. Тогда при любом  > 0 справедливо .

Автором данной работы была выбрана тема «Числа Бернулли», так как очень много процессов в нынешнее время решаются с помощью схем Бернулли. Числа Бернулли играют важную роль во многих вопросах анализа и вся поисковая система Интернета основана на этих процессах.

Цель работы: сформировать представление о степенных рядах, правилах умножения и деления сходящихся рядов, принципы использования на практики теоремы Бернулли.

При выполнении данной работы были поставлены такие задачи:

Изучить научно-методическую литературу, что касается данной темы;

Ознакомиться с основными правилами умножения и деления сходящихся рядов;

Подобрать примеры использования теоремы Бернулли.

 

ГЛАВА 1

Степенные ряды

 

 

 

 

1. Формулировка теоремы о подстановки ряда в ряд и умножение абсолютно сходящихся рядов

Действия над степенными рядами.

Рассмотрим два ряда:

Предлагая радиусы сходимости обоих рядов отличными от 0, обозначим через r наименьший из них. Тогда для[ х] r, эти ряды можно почленно складывать, вычитать и перемножать, причем результаты вновь распологаются по степени х:

 

Подстановка ряда в ряд. Рассмотрим функцию у=f(x),которая в промежутке

(-R,R) разлагается в степенной ряд :

Пусть кроме того данная функция φ(у), также разлагающаяся в степенной ряд:

для значений у в промежутке (-ρ,ρ).

Если ǀa0ǀ = ǀf(0)ǀ < ρ, то и при достаточно малом х будет ǀf(х)ǀ < ρ, так что имеет смысл сложная функция .

При единственном условии ǀa0ǀ < ρ, эту функцию в окрестности х = 0 можно разложить в ряд по степеням х, если подставить в

вместо у ряд

И произведя все воздействия в степень, затем объединить потом подобные члены.

Доказательство. Считая ǀхǀ < R,рассмотрим ряд

Для достаточно малых х выполнится неравенство

Так, что ряд

будет сходящимся.[7,485]

Полагая, что степенной ряд сходится внутри промежутка, его можно возводить в степень с любым натуральным показателем m, причем результат представляется также в виде степенного ряда:

поэтому

Предыдущий ряд можно переписать в виде

Так как получается из ǀа0ǀ, ǀа1ǀ, … ǀаnǀ c помощью сложений и умножений совершенно так же, как из а0, а1, … аn, то очевидно ǀǀ≤ Поэтому для упомянутых значений х сходится, и ряд

А тогда к ряду

применимо последнее утверждение свище сказанного, что и доказивает теорему.

Область изменения х , для которой наше рассуждение обеспечивает возможность разложения функции в ряд по степеням х , характеризуется, таким образом, кроме само собою разумеющегося неравенства ǀхǀ< R, еще неравенством

При R = +∞ нет надобности вводить первое ограничение, при отподает второе.

В большинстве приложений теоремы достаточно знать, что разложение имеет место для малых величин ǀхǀ. Если представляет интерес вся область применимости полученного ряда, то это т вопрос требует отдельного исследования.

Для примера приведем его в простом случае. Рассмотрим функцию

в промежутке (-1,1) [] и, в место у, подставим функцию f(x)=2x – x2 [R = ∞+]. Сложная функция

имеет смысл, лишь если

-1 < 2x – x2 < 1, т.е.

Ее разложение по степеням х равно

Этот ряд сходится для -1 < x < 1. По совокупности , равенство

имеет место при условии, что 1 –

Интересно сопоставить это с тем, что дает наше рассуждение. В согласии с ним надлежало бы потребовать, чтобы было 2ǀхǀ +ǀхǀ2 < 1 или .

Как мы увидели, полученное равенство на деле применимо в более широкой области.

И здесь надлежит отметит возможность дальнейших обобщений теоремы. Пуст, например, дан двойной ряд

Сходящиеся при ǀуǀ<ρ и ǀzǀ<ρ, и два ряда

Сходящиеся при ǀхǀ < R; тогда, при условии ǀа0ǀ < ρ и ǀb0ǀ < ρ, сложную функцию φ(f(x),g(x)) в окресности х = 0 можно разложить в ряд по степеням х, если подставить вместо и соответствующие ряды и, выполнив возведение в степень и умножения, сделать приведение подобных членов.

Пример 1. Найти несколько первых членов разложения функции по степеням х.

Имеем для ǀхǀ < 1

Пример 2. Пусть f(x)будет функция, располагающаяся в ряд по степеням х, без свободного члена:

тогда по общей теореме, для тех же значений х разлогается в ряд и функция g(x) = ef(x),причем свободный член, очевидно, равен 1. Требуется найти это разложение.

Покажем, как для этого может быть исполозован метод неопределенных коэффициентов. Пусть g(x) = ef(x)=1 + b1x + b2x2 + b3x3 +… + bnxn +…

Продифференциировав это равенство, найдем :

ef(x)∙f | (x) = b1 + 2b2x2 + 3b3x3+ …+nbnxn – 1+…,

или, подставляя вместо множителей левой части их разложения ,

(1 + b1x + b2x2 + b3x3 +… )( b1 + 2b2x2 + 3b3x3+ …

Это условие приводит к такой системе уравнений:

a1=b1, 2a2 + a1b1 = 2b2, 3a3 + 2a2b1 + a1b2 = 3b3, …

… nan + (n – 1)an-1b1 + … + 2a2bn-2 + a1bn-1 = nbn …,

Из которой извесные коэффициенты b последовательно и определяется.

 

1. Общая схема деления одного степенного ряда на другой и отыскание коэффициентов частного

Важным примером применения теоремы о подстановки ряда в ряд является вопрос о делении степенных рядов.

Пусть свободный член а0 ряда [6, 395]

Отличен от 0; представим этот ряд в виде

пологая

Тогда

Последний ряд играет роль ряда

причем ρ здесь есть 1. Согласно общей теореме, это выражение может быть разложено по степеням х :

По крайней мере, для достаточно малых значений х, например для тех, которые удовлетворяют неравенству

Рассмотрим второй степенной ряд

С отличным от 0 радиусом сходимости. Тогда частное

Для достаточно малых х может быть заменено произведением

)(

и, следовательно, снова представим в виде некоторого степенного ряда

Коэффициенты этого ряда проще всего определяются по методу неопределенных коэффициентов, исходя

(

)

В которых коэффициенты а и b предпологаются известными. Перемножим ряды слева нпо об щему правилу, мы затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Таким путем получится бесчисленное множество уравнений:

…

Так как коэффициент предположен отличным от 0, то из первого уравнения сразу получим , затем второе даст нам:

= и т.д. В общем случае, если n коэффициентов уже найдены, то (1 + n) уравнение, содержащее единственную неизвестную , позволит установить ее значение. Так, последовательно уравнениями

…

Определяются все коєффициенты частого и притом вполне однозначно.

Пример 1. Найти несколько первых членов частного

и т.д.; отсюда

Итак,

Пример 2. Найти разложение tg x в окресности нуля , рассматривая tg x как частное sin x и cos x.

Существование такого разложения известно на перед – по общей теореме. Так как tg x есть нечетная функция, то это разложение содержит только нечетные степени х . коэффициент при х2n-1 в искомом разложении удобно взять в форме . Итак, имеем

и

Очевидно T1=1. Для определения остальных чисел , приравнивая коэффициенты при слева и справа, получим последовательность уравнений вида:

Или, по умножению на ,

Так как все числа суть целое, то последовательно убеждаемся, что и коэффициенты все целые. Вот значения нескольких первых из них:

Таким образом,

1. Розложение в степенной ряд и вычисление коэффициентов частного [7,492]

Рассмотрим еще один пример деления, который будет иметь важные приложения:

Это частное для достаточно малых значений х, представляется в виде степенного ряда

Коэффициенты мы взяли в форме: , что сделает более удобным их последовательное определение.

Исходя из соотношения:

прировняем к нулю коэффициенты при различных степенях

Мы получим уравнение вида

Или – по умножению на (n+1)! –

Использовав сходство с биномом Ньютона, можна эти уравнения символически записать так:

после возвышения двучлена в степень по обычному правилу и сокращение старшего члена, степени βk должны быть заменены коэффициентами βk. Итак, для определения чисел βn (n =1,2,3,…) будем иметь бесконечную систему уравнений:

2β1 + 1 = 0, 3β2 + 3β1 + 1= 0, 4β3 + 6β2 + 4β1 +1 = 0,

5β4 + 10 β2 + 5β1 + 1 = 0, … , из которых последовательно находим :

β1 = β2 = β3 = 0, β4 = β5 = 0, β6 = β7 = 0,

β8 = β9 = 0, β10 = β11 = 0, β12 = β13 = 0, β14 = β15 = 0, β16 = β17 = , β18 = β19 = , β20 = …

так как числа β определяются из линейных уравнений с целыми коэффициентами , то все они являются рациональными. Легко установить, в общем виде, что числа β с нечетными значками (кроме первого) – нули. Действительно, перенося в равенство

член налево, будем иметь в левой части равенства, очевидно, четную функцию

[7,495]

В таком случае ее разложение

не может содержать нечетных степеней х, что и требовалось доказать.

Для чисел β с четными значками введем более привычное обозначение

так, что β1 = β2 = β3 = β4 = β5 = β6 = β7 =

Эти именно числа Вn и называют числами Бернулли, по имени Якова Бернулли, который впервые пришел к ним при изучении сумм степенейпоследовательных натуральных чисел с натуральными же показателями. Числа Бернулли играют важную роль во многих вопросах анализа.

Итак, заменяя для удобства х на 2х, окончательно имеем разложение

действительно для достаточно малых значений х.

Рассмотрев разложение

где через была обозначена сума

Действительно для достаточно малых значений х. Заменив в равенстве, которое выше х на πх, перепишем его так:

оба разложения, разумеется. Должны быть тождественны; отсюда

так, что все числа Вn оказываются положительными. Так как при n , очевидно, , то из полученной формулы явствует, что числа Бернулли бесконечно возрастают при возрастании их номера.

Отметим попутно полезные выражения, получающиеся для сумм :

в частности

Вспомним теперь, что и для πх ∙ сtg πх мы имели розложение, коэффициенты которого также зависели от сумм

Заменяя здесь на х и подставляя вместо найденные их выражения через бернуллиевы числа, получим:

Так как про разложение

Мы знаем, что оно имеет место при ǀхǀ < 1, то разложение

действительно при ǀхǀ < π. Но при левая часть равенства бесконечно возрастает, следовательно, ряд справа не может сходится ни при х=, ни тем более при ǀхǀ > π; его радиус сходимости в точности равен π.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 2.

Числа Бернулли

 

 

 

 

 

2.1. Числа Бернулли и формула для их вычисления

 

Теорема 1 (формула Бернулли). При любом имеет место равенство:

 

[2,280]

 

Доказательство. Событие означает, что в испытаниях схемы Бернулли произошло ровно успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию элементарных исходов:

 

 

когда первые испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна . Другие благоприятствующие событию элементарные исходы отличаются лишь расположением успехов на местах. Есть ровно способов расположить успехов на местах. Поэтому событие состоит из элементарных исходов, вероятность каждого из которых также равна .

Определение 2. Набор чисел называется биномиальным распределением вероятностей.

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании. Введем величину со значениями равную номеру первого успешного испытания.

Теорема 2. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером равна

 

.

 

Доказательство. Вероятность первым испытаниям завершиться неудачей, а последнему - успехом, равна

 

 

Определение 3. Набор чисел называется геометрическим распределением вероятностей.

Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством "нестарения".

Теорема 3. Пусть для любого . Тогда для любых неотрицательных целых и имеет место равенство:

 

Если, например, считать величину временем безотказной работы (измеряемым целым числом часов) некоторого устройства, то данному равенству можно придать следующее звучание: вероятность работающему устройству проработать еще сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчет времени, или от того, сколько уже работает устройство. Общепринятое название этого свойства - свойство отсутствия последействия.

Доказательство. По определению условной вероятности,

 

Последнее равенство следует из того, что событие влечет событие поэтому пересечение этих событий есть . Найдем для целого вероятность :

 

 

Можно получить еще проще: событие означает в точности, что в схеме Бернулли первые испытаний завершились неудачами, т.е. его вероятность равна . Возвращаясь к (1), получим

 

Теорема 3 доказана.

Рассмотрим схему независимых испытаний уже не с двумя, а с большим количеством возможных результатов в каждом испытании.

Пример 1. Игральная кость подбрасывается 15 раз. Найти вероятность того, что выпадет ровно десять троек и три единицы.[1,22]

Здесь каждое испытание имеет три, а не два исхода: выпадение тройки, выпадение единицы, выпадение любой другой грани. Поэтому воспользоваться формулой для числа успехов в схеме Бернулли не удаcтся.

Попробуем вывести подходящую формулу. Пусть в одном испытании возможны исходов: , и -й исход в одном испытании случается с вероятностью , где .

Обозначим через вероятность того, что в независимых испытаниях первый исход случится раз, второй исход - раз, и т.д., наконец, -й исход - раз.

Теорема 4 (Обобщенная формула Бернулли). Для любого и любых неотрицательных целых чисел сумма которых равна верна формула

 

 

Доказательство. Рассмотрим

один элементарный исход, благоприятствующий выпадению единиц, двоек и т.д.:

 

 

Это результат экспериментов, когда все нужные исходы появились в некотором заранее заданном порядке. Вероятность такого результата равна произведению вероятностей . Остальные благоприятные исходы отличаются лишь расположением чисел на местах. Число таких исходов равно числу способов расположить на местах единиц, двоек, и т.д. Это число равно

 

 

Теперь мы можем вернуться к примеру 1 и выписать ответ: вероятность получить десять троек, три единицы и еще два других очка равна

 

 

так как вероятности выпадения тройки и единицы равны по , а вероятность третьего исхода (выпала любая другая грань) равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Некоторые применения чисел Бернулли

 

В приложении к работе о рядах (1694 г.) Я. Бернулли сформулировал несколько тезисов.[2,301]

1. Существуют спирали, которые совершают бесконечное число витков вокруг полюса, но имеют конечную длину.

2. Существуют кривые, которые, подобно эллипсу, замкнуты и, подобно параболе, уходят в бесконечность, например ay2=х2(b+х).

3. Существуют кривые, состоящие из двух ветвей, например ау2=х(а2—х2),

4. Существуют неограниченные поверхности с конечной площадью.

5. Существуют неограниченные поверхности с бесконечной площадью, но такие, что соответствующие им тела вращения обладают конечным объемом.

Я. Бернулли увлекался также и изопериметрическими задачами. Древнейшая из них—задача легендарной основательницы Карфагена и его первой царицы Дидоны. Легенда такова. Дидона бежала от отца, тирского царя, и достигла Африки, где купила у туземцев участок земли на берегу моря «не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Она разрезала шкуру на узкие полоски и связала из них длинную ленту. Спрашивается, какой формы должна быть фигура, оцепленная лентой данной длины, чтобы площадь фигуры была наибольшей?

Ван-дер-Варден пишет, что Зенодор, живший вскоре после Архимеда, высказал 14 предложений относительно изопериметрических фигур. Он утверждал, что из всех фигур (кругов и многоугольников), имеющих одинаковый периметр, круг будет наибольшим, а также и то, что из всех пространственных тел с одинаковой поверхностью наибольшим будет шар.

Решение задачи содержится в записных книжках Я. Бернулли и помещено в майском номере «Acta Eruditorum» за 1701 г. Я. Бернулли и здесь применил высказанный ранее принцип: поскольку площадь должна быть экстремальной, этим же свойством должна обладать и любая ее элементарная часть. Он получил дифференциальное уравнение третьего порядка и впоследствии проинтегрировал его.[6,386]

К.А. Рыбников пишет: «Таким образом, решение изопериметрической задачи означало очень важный, принципиально новый этап в истории вариационного исчисления; оно дало возможность решать более сложные вариационные задачи, им был сделан важный шаг на пути решения вариационных задач».

При изучении свойств сочетаний и фигурных чисел Я. Бернулли встретился с суммированием степеней натуральных чисел Sm = å km

Эти вопросы интересовали математиков и ранее. Я. Бернулли составил таблицу фигурных чисел, указал их свойства и на основании отмеченных свойств нашел формулы для сумм степеней натуральных чисел. Он привел формулы сумм от S(n) до S(n10):

 

S (n) = n2/2 +n/2

S (n2) = n3/3 + n2/2+ n/6

S (n3) = n4/4 + n3/2 + n2/4

S (n4) = n5/5 + n4/2 + n3/3 – n/30

S (n5) = n6/6 + n5/2 + 5n4/12 - n2/12

S (n6) = n7/7 + n6/2 + n5/2 - n3/6 + n/42

S (n7) = n8/8 + n7/2 + 7n6/12 - 7n4/24 + n2/12

S (n8) = n9/9 + n8/2 + 2n7/3 - 7n5/15 + 2n3/9 – n/30

S (n9) = n10/10 + n9/2 + 3n8/4 - 7n6/10 + n4/2 - n2/12

S (n10) = n11/11 + n10/2 + 5n9/9 – n7 + n5 - n3/2 + 5n/66

Затем Я. Бернулли указал общую формулу

S(nc) = nc+1/c+1 + 1/2*nc + 1/2*( )Anc-1 + 1/4*( )Bnc-3 + 1/6*( )Cnc-5 +

+1/8*( )Dnc-7+ …

 

Здесь ( ), ( ) … - числа сочетаний; показатели степени n убывают, последний член в правой части содержит n или n2.

Числа A, B, C, D … - коэффициенты при n в выражениях S(n2), S(n4), S(n6), …

Именно: А=1/6, В=-1/30, С=1/42, D=-1/30,

Бернулли формулирует общее правило для вычисления этих чисел: сумма коэффициентов в выражениях S(n), S(n2), S(n3), … равна единице. Например, 1/9+1/2+2/3-7/15+2/9+D=1. Отсюда D=-1/30.

Я. Бернулли подчеркивает удобство таблицы фигурных чисел и заявляет, что с ее помощью в течение «половины четверти часа» нашел сумму десятых степеней первой тысячи натуральных чисел. Она оказалась равной

 

91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВЫВОД

Автором была выполнена курсовая работа на тему « Числа Бернулли». Выполняя работу потребовались не только знания автора, но и работа с дополнительной литературой.

Числа Бернулли играют важную роль во многих вопросах анализа и вся поисковая система Интернета основана на этих процессах.

Для решения многих практических задач необходимо знать комплекс условий, благодаря которому результат совокупного воздействия большого количества случайных факторов почти не зависит от случая.

Теорема Бернулли простейшая форма закона больших чисел, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

При работе над рядами были сформулированы такие тезисы:

Существуют спирали, которые совершают бесконечное число витков вокруг полюса, но имеют конечную длину.

2. Существуют кривые, которые, подобно эллипсу, замкнуты и, подобно параболе, уходят в бесконечность, например ay2=х2(b+х).

3. Существуют кривые, состоящие из двух ветвей, например ау2=х(а2—х2),

4. Существуют неограниченные поверхности с конечной площадью.

5. Существуют неограниченные поверхности с бесконечной площадью, но такие, что соответствующие им тела вращения обладают конечным объемом.

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

А.В. Гончар «Практикум по теории функций» - Нижний Новгород, 2005. – 53с.

Дороговцев А.Я. математический анализ.- Киев. «Факт», 2004,- 560с.

Курс современного анализа. Э.Т.Уиттекер. – 341с.

Мхитарян В.С. Теория вероятностей и математическая статистика, Москва,2003

Смирнов В.И. курс высшей математики, т 3,2

Фадеева Л.Н., Лебедев А.В. теория вероятностей и математическая статистика, Москва,(Рид Групп),2011

Фихтенгольц Г.М. курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.,1969,т.2. – 800с.