Методические указания и рекомендации «Логико-дидактический анализ понятия «Вектор»»

Рассмотреть содержание темы «Векторы», выделить основные понятия, теоремы, правила, формулы.

В современной школе в связи с появлением, новых подходов к изложению материала, возрастает интерес как к математическому образованию в целом, так и к вопросам преподавания математики, в частности геометрии. Вектор – одно из фундаментальных понятий современной математики и широко используется в различных её областях. В настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, функциональный анализ.

К понятию вектора как направленного отрезка приводят многие задачи механики и других областей физики: теории упругости, теории электромагнитных полей.

 Векторный аппарат используется при доказательстве некоторых теорем и решении многих задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить. Изучение векторов в курсе геометрии основной школы является разделом традиционным и достаточно важным во всех периодах школьного образования. Эта тема важна потому, что, во-первых, позволяет, используя векторы, упростить решение многих задач школьного курса математики, которые другими методами решаются гораздо труднее. Так же векторы в школьном курсе геометрии позволяют сделать доказательства многих теорем не только более понятными ученикам, но и более естественными и наглядными, что способствует обучению поиску доказательств теорем и решения задач. Во-вторых, понятие вектора используется во многих приложениях математики, таких, как современная алгебра и геометрия, теория функций и теория вероятностей. Учебники по таким на первый взгляд далеким от математики предметам как электротехника, радиотехника, теория антенн и др. очень широко используют векторы. В-третьих, понятие вектора является важным понятием школьного курса физики и играет существенную роль в межпредметных связях математики и физики.

Каждому учителю при планировании образовательной деятельности нужно грамотно определять место учебной темы в структуре нормативных документах об образовании, знать логико структурные компоненты темы, а также грамотно распределять учебную нагрузку.

Рассматривая место темы «векторы» в нормативных документах, в примерной образовательной программе основного общего образования было определено следующее содержание на базовом и углубленном уровнях.

 

На базовом уровне в рамках темы «Векторы»

Обучающиеся должны:

Оперировать на базовом уровне понятиями вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, координаты на плоскости;

определять приближенно координаты точки по ее изображению на координатной плоскости.

На базовом и углубленном:

оперировать понятиями вектор, сумма, разность векторов, произведение вектора на число, угол между векторами, скалярное произведение векторов, координаты на плоскости, координаты вектора;

выполнять действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), вычислять скалярное произведение, определять в простейших случаях угол между векторами, выполнять разложение вектора на составляющие, применять полученные знания в физике, пользоваться формулой вычисления расстояния между точками по известным координатам, использовать уравнения фигур для решения задач;

применять векторы и координаты для решения геометрических задач на вычисление длин, углов.

На углубленном уровне:

свободно оперировать понятиями вектор, сумма, разность векторов, произведение вектора на число, скалярное произведение векторов, координаты на плоскости, координаты вектора;

владеть векторным и координатным методом на плоскости для решения задач на вычисление и доказательства;

выполнять с помощью векторов и координат доказательство известных ему геометрических фактов (свойства средних линий, теорем о замечательных точках и т.п.) и получать новые свойства известных фигур;

использовать уравнения фигур для решения задач и самостоятельно составлять уравнения отдельных плоских фигур.

Также был проанализирован базовый документ, необходимый для создания базисных учебных планов, программ, учебно-методических материалов и пособий, где тема «Векторы» также имеет место быть, так как в системе нормативного сопровождения документ определяет теорию области знания, последовательность изложения материала, а значит, является одним из ведущих в системе рассмотрений.

Из перечня рекомендуемых учебников для анализа изложения материала по теме «векторы» были рассмотрены:

Учебник «Геометрия», 7-9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И

В данном учебнике для изучения материала предлагается три параграфа, где системно определяется понятийная база по теме, правило отложения вектора от точки, сумма векторов и разность, умножение вектора на число, рассмотрены правила сложения (параллелограмма, треугольника), представлены задачи для формирования умений применять основные правила, в том числе и в задачах на доказательство.

«Геометрия» Учебник для 7-9 классов. Погорелов А.В. В данном учебнике для изучения темы векторы предлагается один параграф. Здесь также присутствует выстроенная система понятий, теорем и задач по теме.

Также мною были рассмотрены учебники 10-11 классы.

«Геометрия» Учебник для 10-11 классов.  Атанасян Л.С. и др.

«Геометрия» Учебник для 10-11 классов.  Погорелов А.В.

Изложение материала в учебнике старшей школы представлена аналогично учебникам с 7-9 классы. Единственное важное отличие в том, что геометрия вектора в старшей школе рассматривается в пространстве, а в 7-9 классах изложена на плоскости. Поэтому для дальнейшего анализа и исследования, мною будут рассмотрены задачи с 7-9 класса, то есть геометрия вектора на плоскости, поскольку основа для изучения темы векторы в пространстве станет изучение вектора вне плоскости.

В обязательном минимуме содержания образования по математике присутствует тема «Векторы». Содержание этой темы определено следующим перечнем понятий: вектор, нулевой вектор, длина вектора, коллинеарные векторы, сонаправленные, противоположно направленные векторы, равные векторы.

Тема «Векторы» выполняет в базовом курсе математики важную педагогическую задачу – развитие абстрактного мышления учащихся, так как работа с геометрическими объектами по данной теме подразумевает определенные способы действия на доказательство, образы, на сравнение и классификацию, установление причинно следственных связей, построение логической цепи рассуждений.

Логико-дидактический анализ содержания темы «Векторы».

Учебник:

Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Поздняк Э.Г., Юдина И.И.—М.: Просвещение,2012.

Материал в учебнике по данной теме представлен в 9 главе «Векторы», которая содержит три параграфа. Каждый параграф содержит теоретический материал, который разбивается на небольшие смысловые порции, что позволяет ученику лучше осознать и выучить теоретический материал по данной теме. После изучения каждого параграфа идёт система задач различной степени трудности на закрепление изученного материала, а после изученной главы идёт система упражнений и вопросов на отработку знаний, умений и навыков. Дан образец решения задач на доказательство (№788,903) и на выражение вектора через данные векторы (№767).Названия пунктов выделены другим цветом. Материал для заучивания (понятия, определения, формулировки теорем) выделен жирным тёмным цветом. Имеются рисунки и чертежи для наглядного представления теоретического материала, дано доказательство всех свойств и теорем.

Изложение материала носит дедуктивный характер. Изучение темы «Векторы» начинается с изучения понятия векторных величин и вектора. Понятие вектора вводится через понятие отрезка, затем рассматривается равенство векторов и откладывание вектора от данной точки. Параграф второй рассматривает простейшие операции над векторами: сложение, вычитание векторов и их свойства. Параграф третий раскрывает понятие умножения вектора на число и его свойства, понятие средней линии трапеции и ее свойство, а также применение векторов к решению задач. Таким образом, изучение векторов в учебнике Л.С.Атанасяна идет по следующей схеме:

Вектор Операции над векторами Применение векторов к решению задач.

Анализ теоретического материала.

1. Определения:

Вектор;

Нулевой вектор;

Длина вектора;

Коллинеарные векторы;

Сонаправленные (противоположно направленные) векторы;

Равные векторы;

Разность векторов;

Произведение вектора на число;

Сумма двух векторов;

Средняя линия трапеции.

2. Теоремы:

Законы сложения векторов;

О разности двух векторов;

О средней линии трапеции.

Утверждения, не выделенные в тексте как теоремы:

От любой точки М можно отложить вектор, равный данному и притом только один;

Сумма двух данных векторов не зависит от выбора точки их откладывания.

Каждое утверждение представлено с доказательством. Утверждения следуют определенной логике, доказательство последующего опирается на ранее доказанные утверждения (теоремы, свойства).

Задачи, которые должны быть усвоены наряду с теоремами:

Задача №1 п. 84;

Задача №2 п.84.

Простейшие операции над векторами:

Сложение (правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника);

Вычитание;

Умножение вектора на число.

Свойства умножения вектора на число:

Сочетательный закон

Первый распределительный закон

Второй распределительный закон

Понятия

Материал в теме орга­низован на дедуктивной основе, так как всем фигурам, вводимым в теме, даются определения. Можно проследить логическую це­почку в конструировании определений фигур.

Название определяемого объекта - Родовое понятие - Видовое отличие

Выстроенная цепочка позволяет решать вопросы раскрытия логического действия – конструирования определений объектов.

Процесс формирования понятий состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определения, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с ранее изученными понятиями.

Рис.1. Пути формирования понятий

Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - классификации.

Например, для понятия «вектор» содержание будет представлено следующими свойствами:

а) отрезок;

б) указано, какая из граничных точек отрезка считается началом, а какая - концом.

Объем понятия «вектор» представлен множествами:

1) нулевой вектор;

2) коллинеарные векторы;

3) сонаправленные (противоположно направленные) векторы;

4) равные векторы.

Заключительным этапом формирования понятия является его определение. Определить понятие - это значит перечислить его существенные свойства. Определение понятия - это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т. е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов, принадлежащих определяемому понятию.

Основные понятия:

 

Теоремы:

 

Задачи:

Логический анализ структуры определения

Теоремы

В теме доказывается пять утверждений:

откладывание вектора от данной точки;

независимость суммы векторов от выбора точки откладывания векторов;

законы сложения векторов;

теорема о разности двух векторов;

теорема о средней линии трапеции).

Процесс изучения школьниками теоремы включает следующие этапы:

мотивация изучения теоремы;

ознакомление с фактом, отражённым в теореме;

формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке теоремы;

усвоение содержания теоремы; запоминание формулировки теоремы; ознакомление со способом доказательства;

доказательство теоремы; установление связей с ранее изученными теоремами.

Существует два вида формулирования теоремы:

условная;

категорическая.

Всегда можно из одного вида формулирования теоремы перейти к другому. Если теорема сформулирована в условной форме, то в ней должно быть ясно указано: при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы) и что в этом объекте утверждается (заключение теоремы).

При изучении теорем необходимо придерживаться следующей схемы:

Постановка вопроса (создание проблемной ситуации).

Обращение к опыту учащихся.

Высказывание предположения.

Поиск возможных путей решения.

Доказательство найденного факта.

Проведение доказательства в максимально простой форме.

Установление зависимости доказанной теоремы от ранее известных.

Методы доказательства, используемые в школьном курсе математики, можно выделить по двум основаниям: по пути обоснования тезиса (прямое и косвенное); по математическому аппарату, используемому в доказательстве.

К прямым приемам доказательства относятся: прием преобразования условия суждения (синтетический), прием преобразования заключения суждения:

а) отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ);

б) отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ), прием последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.

К косвенным приемам поиска доказательств относятся: метод «от противного» (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждения); разделительный метод или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе этот метод называют методом исключения.

Для того чтобы учащиеся овладели прямым и косвенным доказательствами, необходимо сформировать у них определенную последовательность умений: умение искать доказательство, умение проводить доказательство, умение оформлять доказательство теоремы.

При доказательстве теорем ученики, как показывает опыт, часто путают, признаки, свойства определения, неверно строят логические цепочки, умозаключения. Поэтому при работе с понятиями необходимо уже на этой теме формировать дедуктивное мышление, учить построению схем, таблиц, выявлять зависимости; делать правильные классификации. При работе с теоремами формируются логические умения и навыки: прием анализа формулировки теоремы, прием записи доказательства теоремы, прием выведения следствий из условия теоремы, прием построения чертежа и д

Логический анализ структуры теоремы

Задачи

При решении математических задач учащиеся усваивают многие математические понятия, овладевают математической символикой, обучаются проведению доказательств и т. д., т.е. обучаются математике. Математические задачи могут иметь своей дидактической целью подготовку к изучению теоретических вопросов математики (новых понятий, методов, теорем), закрепление только что приобретенных теоретических знаний.

Это могут быть задачи для усвоения математических понятий и их определений, для формирования умений, для закрепления формулировок, аксиом и теорем, для закрепления методов доказательств и т. д. Такие задачи следуют за изучением теоретических сведений.

Дидактической целью задач и упражнений может быть формирование умений и навыков.

1) Цель формирования умений обычно ставится при решении первых задач, выполнении первых упражнений по овладению новым приемом, алгоритмом, методом решения некоторого класса задач,

2) Формирование математических навыков может быть дидактической целью не отдельной задачи, а системы задач и упражнений. Умение оперировать многими приемами, способами и методами решения математических задач должно быть автоматизировано.

Навыки формируются на основе осмысленных знаний и умений путем многократного повторения операций, действий, приемов, алгоритмов, составляющих предмет изучения. Поэтому для формирования навыков нужна тщательно продуманная система упражнений и задач. В такой системе должна быть правильно установлена последовательность упражнений с учетом индивидуальных особенностей и возможностей учащихся и принципа «от простого к сложному».

При решении большинства задач учащиеся применяют ранее полученные знания, умения, навыки. Такова особенность математики, заключающаяся в тесной взаимосвязи и взаимообусловленности ее разделов.

Контроль за усвоением математических знаний - одна из дидактических целей математических задач и упражнений. Каждая задача практически имеет своим назначением текущий контроль или самоконтроль.

Анализ и синтез находят широкое применение при решении задач в геометрии. Анализ - это метод рассуждений от искомых к данным. Синтез - метод рассуждений, ведущий от данных к искомым. Оба эти метода обычно применяются во взаимосвязи.

Анализ и синтез являются самыми общими методами решения задач.

Одна из основных целей решения задач в школьном курсе математики и состоит в том, чтобы обеспечить действенное усвоение каждым учеником основных методов (анализ, синтез, метод исчерпывающих проб, моделирование, метод сведения) и приемов решения учебных математических задач.

Общие приемы саморегуляции при решении задач

 

Какие из выделенных фактов, на Ваш взгляд, учащиеся должны знать на уровне представлений, а какие из них должны формулировать, устанавливать их справедливость с помощью рассуждений.

 

 

На примере одного из понятий данной темы провести логико-дидактический анализ теоремы.

Логико-дидактический анализ теоремы.

Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

1) Формулировка теоремы: Категорическая (или безусловная): «А есть В»

2) Сформулируем ее в условной форме, выделив явно разъяснительную часть: в любой трапеции, если в ней есть средняя линия, то она параллельная основаниям и равна их полусумме.

Итак, структура теоремы такова:

Разъяснительная часть: - в любой трапеции;

Условие: - отрезок - есть средняя линия трапеции;

Заключение: 1) отрезок параллелен основаниям; 2) отрезок равен полусумме оснований.

Теорема содержит два заключения, значит она сложная по структуре, но не обязательно сложным должно быть ее доказательство).

Этапы обучения доказательству теоремы ( в основе лежит проблемное обучение, метод эксперимента.)

Методический анализ теоремы

I этап: Подготовительный этап к доказательству теоремы.

Определение фигуры трапеции, ее видов и свойств.

Видовое отличие имеет конструктивный характер, поэтому определение средней линии трапеции желательно ввести на основе задач на построение.

Задание для обучающихся:

1. Построить трапецию;

2. С помощью масштабной линейки отметьте середину боковой стороны трапеции и обозначьте ее буквой М;

3.Отметьте и обозначьте середину друго й боковой стороны буквой N;

4. постройте отрезок MN, концами которого являются середины боковых сторон трапеции.

На основе выполненного задания вводится определение средней линии трапеции, ее обозначение на чертеже и запись MN - средняя линия трапеции.

Другой путь - дедуктивное введение определения средней линии трапеции. Формулировка определения дается сразу после мотива рассмотрения еще одного элемента трапеции, который называется «Средняя линия трапеции». Проанализировав определение, т.е. выделив в нем род и видовые отличия, учащиеся переходят от определения к построению средних линий для конкретных трапеций.

В рамках 1 этапа обучающимся предлагается:

На этапе представления:

Обучающимся предлагается рассмотеть представленные фигуры и сделать вывод о том, что объединяет данные фигуры, что в них есть общего.

Предполагаемый ответ обучающихся: на рисунках представлены различные фигуры, но объединяет их одно, каждая из представленных фигур имеет среднюю линию или несколько средних линий. Средняя линия треугольника, средняя линия окружности, средняя линия прямоугольника, средняя линия трапеции.

Далее учитель делает акцент на такой фигуре как трапеция и предлагает обучающимся построить фигуру «Трапеция», по следующему алгоритму:

Задание для обучающихся:

1. Построить трапецию;

2. с помощью масштабной линейки отметьте середину боковой стороны трапеции и обозначьте ее буквой М;

3. отметьте и обозначьте середину другой боковой стороны буквой N;

4. постройте отрезок MN, концами которого являются середины боковых сторон трапеции.

После учитель предлагает обучающимся предположить какая будет тема сегодняшнего разговора на уроке.

Усвоение определения.

Так как определение конъюнктивное, то усвоение определения средней линии трапеции проведем по следующим этапам:

1) построение средней линии трапеции для равнобокой и прямоугольной трапеции;

2) рассмотрение контрпримеров и примера на одном рисунке, причем расположение трапеции изменено;

Будут ли отрезки МN, КN, KE, KP средними линиями трапеции? Почему?

Подготовка обучающихся к доказательству теоремы:

II этап: Мотивация необходимости изучения данной теоремы: решение небольшой практической задачи, проблемная ситуация.

III этап: Актуализация опорных знаний (расчленить теорему на ряд элементарных шагов и выявить опорные знания, необходимые для понимания доказательства). Формы организации: кратковременная самостоятельная работа, решение обобщающей задачи.

Проанализировав доказательство теоремы, следует выделить опорные знания и повторить их на этапе актуализации. В данном случае уместно повторить свойство средней линии треугольника и решить следующую задачу.

Дано: ABO и DCO, АВ||CD, BO=CO.

Доказать: ABO=DCO.

IV этап. Введение теоремы

Возможно дедуктивное введение теоремы и синтетический способ ее доказательства.

Однако активизации познавательной деятельности учащихся будет способствовать метод эксперимента. Свойства средней линии трапеции можно «открыть» параллельно с процессом построения средней линии в произвольных трапециях. Учащимся предлагается:

Сравнить визуально взаимное расположение средней линии и оснований трапеции;

Построить отрезок, длина которого равна сумме длин оснований трапеции. Сколько раз средняя линия укладывается на этом отрезке?

На основе выполнения задания выдвигается гипотеза о том, что средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна ее половине.

Далее формулируется теорема, делается чертеж, записывается, что дано и требуется доказать.

IV этап. Анализ. Поиск путей доказательства. Использование векторного метода доказательства теоремы.

Дайте определение понятия вектор, длина вектора, правило сложения векторов, вычитание векторов, сумма нескольких векторов, правило умножения вектора на число, понятие нулевого вектора? Какие прямые в нашем случае параллельны, как они называются? Требуется доказать, что средняя линия параллельна двум основаниям, то есть двум параллельным прямым. Как упростить путь доказательства этого факта? Достаточно доказать параллельность одному из оснований. Как можно доказать данную теорему, используя некоторые знания по теме «Векторы»?

Основные теоретические моменты, необходимые для доказательства теоремы:

Чем можно воспользоваться? Для какой фигуры, кроме трапеции определено понятие средней линии? Нельзя ли использовать теорему о средней линии треугольника для доказательства? Можно ли отыскать или провести дополнительные построения, чтобы получить треугольник, средняя линия которого совпадает со средней линией трапеции?

VI этап. Составление плана доказательства. Доказательство теоремы

Нарисуем трапецию ABCD;

определим середины отрезков АВ и CD;

соединим середины отрезков прямой MN;

Среднюю линию MN определим как вектор , равный сумме векторов: (по правилу суммы нескольких векторов);

Соответственно по аналогии проведем те же действия, только в обратную сторону и выразим вектор через другие векторы: .

Имеем следующие равенства:

Видим, что левые части равны значит и правые части также равны. Сложим оба равенства.

Так как M, N - являются серединами сторон AB и CD соответственно, то сумма векторов +=0 и +=0 ( так как складываются два противоположных вектора)

Значит остается: ;

Если выразить вектор , то получим:

Векторы - сонаправлены, а также векторы и - сонаправлены, значит длина векторов = AD+ВС, значит MN и . Теорема доказана.

Другие доказательства теоремы:

Доказательство № 1

Теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD - трапеция,

MN - средняя линия трапеции.

Доказать: МN || AD;

MN || BC; MN = ( AD + BС)

 

Доказательство.

1. Для доказательства из вершины B через точку N проведём прямую BN до пересечения этой прямой с продолжением основания AD в точке B1.

2. Рассмотрим ∆ BCN и ∆ B1DN.

1=2 (как вертикальные); 3=4 (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BC и АB1 секущей CD); CN= ND (по построению)

3. ∆BCN = ∆B1DN ( по второму признаку равенства треугольников( по стороне и двум прилежащим к ней углам) => BC = B1D и BN = B1N.

4. По построению MB = AM. Значит, средняя линия трапеции MN является средней линией ∆ ABB1. По теореме о средней линии треугольника MN AB1. => MN II AD, а AD II BC (по определению трапеции), то MN || BC ( следствие 2 из аксиомы параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны) и отрезок MN= AB1=(AD+BC). Теорема доказана.

Доказательство № 2

Теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

 

Дано: ABCD - трапеция,

MN - средняя линия трапеции.

Доказать: МN || AD;

MN || BC; MN = ( AD + BС)

Доказательство.

1. Для доказательства возьмём на основании AD точку Е. Из точки Е через точки М и N проведём прямые EM и EN до пересечения этих прямых с продолжением основания BC в точках О и Р соответственно.

2. Рассмотрим ∆BOM и ∆MAE. AM = MB (по построению); 1=2 (как вертикальные); 3=4 ( как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых OP и AD секущей АВ) => ∆BOM = ∆MAE (по второму признаку равенства треугольников) (по стороне и двум прилежащим к ней углам) => OB=AE и OM=ME. Аналогично доказывается равенство треугольников PNC и DEN => PC = DE; PN = NE.

3. Значит MN также является средней линией треугольника POE. По теореме о средней линии треугольника: MN || OP, а BC || AD (по определению трапеции). => MN || AD ( по следствию 2 из аксиомы параллельных прямых ( если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны ). И отрезок MN = OP = (AD+BC). Теорема доказана.

Доказательство № 3

Теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция;

MN – средняя линия трапеции;

Доказать: MN || AD; MN || BC;

MN= (AD+BC).

 

Доказательство:

1. На основании BC возьмём произвольную точку Е. Из точки Е через точки М и N проведём прямые EM и EN до пересечения этих прямых с продолжением основания AD в точках O и Р соответственно.

2. Рассмотрим ∆МВЕ и ∆АОМ. 1=2 (как вертикальные); 3=4 (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и ОР секущей АВ); АМ=МВ (по построению). => ∆МВЕ =∆АОМ (по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) => ВЕ=ОА и ЕМ = ОМ. Аналогично доказывается равенство треугольников СЕN и PND => EN=NP и EC=PD.

3. Значит MN также является средней линией треугольника POE. По теореме о средней линии треугольника MN || OP => MN || AD, а AD || BC (по определению трапеции) => MN || BC (по следствию 2 из аксиомы параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны) и отрезок MN = (OA+AD+DP) = OP = (AD+BC). Теорема доказана.

 

Доказательство № 4

Теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция;

MN – средняя линия трапеции;

Доказать: MN || AD; MN || BC;

МN= (AD+BC).

 

 

Доказательствo.

1. Для доказательства на продолжении основания АD откладываем отрезок DE=BC. Точку В соединяем с точкой Е. Прямая ВЕ проходит через точку N. В противном случае получается две середины: точки N и N1, а этого быть не может.

2. Рассмотрим ∆BCN и ∆DNE. BC=DE (по построению); 1=2, 3=4 (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и АЕ секущими СD и ВЕ соответственно) => ∆BCN = ∆DNE по 2-му признаку равенства треугольников => CN=ND и BN=NE.

3. Рассмотрим ∆АВЕ. Т.к. BN=NE и АМ=МВ, то MN также является средней линией треугольника АВЕ. По теореме о средней линии треугольника (средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине) MN || AE, => MN || AD, а AD || BC (по определению трапеции) => MN || BC (следствие 2 из аксиомы параллельных прямых) (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны) и MN= AE=(AD+DE)= (AD+BC). Теорема доказана.

Доказательство № 5

Теорема : средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

 

Дано: ABCD – трапеция;

MN – средняя линия трапеции;

Доказать: MN || AD; MN || BC;

МN= (AD+BC)

Доказательство.

1. Для доказательства на продолжении основания ВС отложим A1C=AD, а на AD отложим B1D=BC.Соединим точку А1 с точкой В1. А также продолжим MN до пересечения этой прямой с прямой A1В1 в точке М1.

2. Докажем, что точка M1 является серединой A1В1.Соединим вершину В с В1 и докажем, что BВ1 проходит через точку N.

Рассмотрим ∆ВСN и ∆B1ND. 1=2; 3=4 (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BA1 и АВ1 секущими CD и ВВ1 соответственно). ВС= B1D (по построению ). => ∆BCN=∆B1ND (по второму признаку равенства треугольников) (по стороне и двум прилежащим к ней углам). => BN=B1N, CN=ND=> BВ1 проходит через точку N.

Рассмотрим ∆MBN и ∆M1 B1N. 5=6 (как вертикальные); 7=8 ( как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А1В1 секущей ВВ1); BN= В1N( по доказанному) => ∆MBN=∆M1В1N (по второму признаку равенства треугольников) (по стороне и двум прилежащим к ней углам). =>M1 В1 =MB. Так как AM=MB, то M1В1=AM.=> M1 - середина стороны A1В1.

3. Рассмотрим четырёхугольник ABA1В1. BA1= AВ1 (по построению); BA1 || AВ1 (так как BC || AD по определению трапеции). => AB A1 В1 – параллелограмм. (по признаку параллелограмма 1° (если в четырёх угольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм).

Рассмотрим трапецию ABCD и A1В1DC.Они равны по построению. Значит MN=M1N => MN=.

4. По построению AB || A1В1 => AM || B1M1 и MB || A1M1. Т.к. трапеции ABCD и A1В1DC равны, то => MB=M1B1 и AM=A1M1,а так как АМ=МВ и А1М1= M1B1 (по построению), то АМ=МВ= A1M1=M1B1. Значит четырёхугольники МВA1M1 и АМM1B1 – параллелограммы (по признаку параллелограмма 1° (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм).=> BА1||MM1 и BА1=MM1; MM1=AВ1 и MM1 || AВ1 ( как противоположные стороны параллелограмма). =>MN || BC; BC||AD => MN || AD( по следствию два из аксиомы параллельных прямых (если две прямые параллельны третье прямой, то они параллельны).

5. Т.к. BA1=MM1, то MN=, т.е. MN= BA1. А т.к. BA1=ВС+СA1, а CA1 =AD (по построению), то BA1=ВС+AD. Значит MN= BA1= (AD+BC).

Теорема доказана.

Доказательство № 6

Теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция;

MN – средняя линия трапеции;

Доказать: MN || AD; MN || BC;

МN= (AD+BC)

 

 

Доказательство.

1. Для доказательства на продолжении основания AD отложим отрезок DE=BC. А также на продолжении средней линии MN трапеции ABCD отложим отрезок NK=MN. Трапеции MBCN и KNDE будут равны (по построению).

2. Т.к. MBCN = KNDE , то КЕ=МВ, МВ=АМ => АМ=КЕ. КЕ||MB => KE||AM. Значит по признаку параллелограмма 1° (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм) четырёхугольник АМКЕ – параллелограмм. => MK=AE и MK||AE (как противоположные стороны параллелограмма) => MN || AD, а AD||BC (по определению трапеции) => MN || BC (по следствию два из аксиомы параллельных прямых)(если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны).

3. Рассмотрим параллелограмм АМКЕ. MN=NK, а так как MK=MN+NK=2MN, то MN=. Т.к. MK= AE, то MN = . А т.к. AE=AD+DE и DE=BC (по построению), то AE=AD+BC => MN=, т.е. MN=(AD+BC). Теорема доказана.

Доказательство № 7

Теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD – трапеция;

MN – средняя линия трапеции;

Доказать: MN || AD; MN || BC;

МN= (AD+BC)

 

Доказательство.

1. Для доказательства через точку N проведём прямую EK || AB до пересечения этой прямой с продолжением основания ВС в точке Е и с основанием AD в точке К.

2. Рассмотрим ∆NEC и ∆NKD; CN=ND (по построению), 1=2 (как вертикальные); 3=4 (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BE и AD секущей CD). =>∆NEC=∆NKD (по второму признаку равенства треугольников( по стороне и двум прилежащим к ней углам). => CE=KD и EN=NK.

3. Рассмотрим четырёхугольник ABEK. AB || EK (по построению), BC || AD , => BE||AD (по определению трапеции) => четырёхугольник АВЕК – параллелограмм (по определению параллелограмма).=> AB=EK и AB || EK (как противоположные стороны параллелограмма). И EN=NK (из равенства треугольников NEC и NKD (по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а AM=MB (по построению).

4.Рассмотрим четырёхугольники MBEN и AMNK. MB = EN и MB|| EN. Значит по первому признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм) четырёхугольник MBEN – параллелограмм. AM=NK и AM||NK => по первому признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм) четырёхугольник AMNK – параллелограмм. => MN=BE и MN=AK; MN||BE и MN||AK (как противоположные стороны параллелограмма) => MN|| BC и MN|| AD.

5. Т.к. MN= BE, MN=AK , то MN=BC+CE. Сложив эти равенства, получаем: AD=AK + KD , а т.к. KD=CE, то AD=AK+CE => 2MN= AD+BC

МN= (AD+BC). Теорема доказана.

Задачи для нахождения средней линии трапеции:

Логико-дидактический анализ понятия.

Логико-математический анализ

Определение: Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Содержание понятия:

Определяемое понятие: «Длина вектора» - А(х);

Определяющие понятия (существенные свойства): определение дано через род и видовые отличия:

Род – вектор В(х)

Видовые отличия - длина отрезка, задающего вектор. Р(х)

Несущественные свойства: обозначение вершин.

Вид определения: через ближайший род и видовые отличия:

A(x) B(x) и P(x)

Структура определения: конъюнктивная.

Связь с другими понятиями: вектор.

Методика формирования математических понятий включает следующие этапы:

1) введение определения;

2) усвоение определения;

3) закрепление понятия.

Введение определения может осуществляться двумя ме­тодами: конкретно-индуктивным (на основе рассмотрения кон­кретных примеров или задач приходим к новому понятию и его определению) или абстрактно-дедуктивным (определение поня­тия формулируется сразу после объявления нового термина). Желательно мотивировать введение понятия и полепить проис­хождение термина. При конкретно-индуктивном введении поня­тия следует рассматривать пример, который носит общин, а не частный характер.

На этапе усвоения реализуются две цели: запомнить оп­ределение и научиться проверять, подходит объект под рассмат­риваемое понятие или лет. Этот этап осуществляется на специ­ально составленных упражнениях - упражнениях на «да» и «нет», которые формулируются, начиная со слов «Является ли..,». Аргументируя свой ответ, ученики осваивают признаки понятия и выучивают определение. При составлении примеров на «да», учитель варьирует несущественные признаки (включает частные случаи, изменяет размеры, расположение фигур), при составлении примеров на «нет» отвергаем один или несколько существенных признаков. Этап усвоения требует подведения итогов, где повторяется определение понятия> его существенные признаки, а также некоторые несущественные признаки (распо­ложение, размеры, частные случаи).

На этапе закрепления решаются более сложные задачи, где используются как определение понятия, так и его свойства, В процессе закрепления регулярно подводятся итоги, где обсу­ждается, что нового узнали о понятии, что научились делать в рассматриваемых понятиях, какие виды задач научились решать. Поэтому процесс закрепления понятия называют его обогащением.

Методический анализ

I этап. Введение понятия вектора. Нулевого вектора. Сонаправленного, противоположно направленного вектора. Длины вектора.

Учитель предлагает ознакомиться с иллюстрациями и сказать, что объединяет эти изображения. Какова тема сегодняшнего урока?

Предполагаемый ответ: сегодня на уроке мы разберем векторы

Учитель предлагает ознакомиться с иллюстрациями и сказать, что объединяет эти изображения. Что можно сказать об отношении двух или нескольких векторов?

Векторы - направленные отрезки. Они могут быть одинаково направленными и противоположно направленными.

II этап. Введение нового материала.

Начертим какой-либо отрезок AB. Один конец A назовём начальной точкой, а второй B — конечной точкой. Направление отрезка AB из точки A в точку B укажем с помощью стрелки. Таким образом, получается направленный отрезок.

III этап. Усвоение. Решение геометрических задач. Использование сервиса «Математический конструктор». Возможно построение вручную.

Использование наглядных средств, программных продуктов позволит обучающимся освоить понятие «Длина вектора».

1 задание. Обучающимся предлагается попарно поделиться и в среде под четким руководством учителя, организовать ввод двух точек в программе. Используя инструмент «Расстояние между точками», обучающиеся могут видеть справа реализацию и результат вычислений.

2 задание. Измерить длину вектора на координатной плоскости.

Обучающиеся знакомы с теоремой Пифагора и с координатной плоскостью, поэтому при вычислении длины вектора в декартовой системе, под четким руководством учителя ведется работа в парах по подсчету длины.

Так, например, вектор

3 задание. Работа с тестовым заданием (на интерактивной доске).

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

Обучающиеся выполняют решение на доске, консультируюсь с педагогом по ходу решения и заносят результат в ячейку (тот, кто решает у доски). Задание представлено на интерактивной доске, все могут работать в своем режиме.

IV этап. Закрепление изученного материала. На этапе рефлексии учитель проводит устный опрос по результатам урока.

Что называют вектором?

Какие векторы называют сонаправленными?

Какие векторы называют противоположно направленными?

Что называют длиной вектора?

Как обозначается длина вектора?

Какой вектор называется нулевым?

Какие векторы называются равными?

VI этап. Домашняя работа. Учебник «Геометрия», 7-9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И

№738, № 739, № 740. Подготовить ментальную карту по теме.