Математика и парадоксы

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

Тема:

Математика и

парадоксы

Выполнил: студент гр.2020-12

Чеботарёв И.В.

Руководитель:

Преподаватель: Заварзина В.Г

Липецк 2021 г.

Содержание

Введение

Цель: изучить данную тему, а именно, узнать что такое парадоксы.

Задачи:

классифицировать математические неожиданности;

научиться находить ошибки в готовых решениях математических задач;

определить практическую значимость исследования

В этой работе поговорим не о физике и о космосе, а в большей степени о математике. Но тема все равно интересная и не тривиальная. Все мы со школьной скамьи знаем, что ноль возведенный в нулевую степень равен единице. Но почему так? Давайте разбираться вместе!

Вообще-то говоря то, что ноль в нулевой степени равен единице на первый взгляд противоречит определению степени. Что значит число X в степени Y? Это означает что число X умножено само на себя Y раз.

Т.е. X³ = X × X × X. Как известно при умножении на ноль всегда получается ноль. Т.е. ноль в любой степени больше нуля также будет равен нулю. Например 0⁵ = 0×0×0×0×0 = 0. Откуда же тогда берется единица?

Графическое обоснование

Давайте возьмем последовательность чисел: 4, 3, 2, 1, 0,9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4 ... 0.1, 0.01 и построим график функции y = xˣ. Как в школе вычисляем для каждого х значение y и заносим в табличку.

Легко заметить, что поначалу значения уменьшаются. Чем больше x - тем больше y и наоборот. Но по мере приближения к нулю, примерно в районе 0.3 внезапно значения начинают расти и по мере приближения к 0 значение функции ассимптоматически приближается к единице.

И хотя строго говоря при значении x равным нулю функция y = xˣ претерпевает разрыв в некоторых разделах математики принято соглашение о том, что ноль в нулевой степени равняется единице.

Парадокс «Гранд-отель»

Парадокс «Гранд-отель» — мысленный эксперимент, иллюстрирующий свойства бесконечных множеств. Он демонстрирует отель с бесконечным количеством комнат, в каждой из которых находится постоялец. При этом в гостиницу всегда можно подселить ещё посетителей, даже если их бесконечное множество. Впервые парадокс был сформулирован немецким математиком Давидом Гильбертом в 1924 году и популяризирован в книге Георгия Гамова «Раз, два, три… бесконечность» в 1947 году

Представьте себе отель со счётным множеством комнат, в каждой из которых находится постоялец. На первый взгляд, в отель невозможно подселить новых посетителей, как если бы речь шла об обычной гостинице, с конечным количеством комнат.

Новый посетитель

Для того чтобы подселить нового человека, нам придётся освободить одну комнату. Для этого мы переселим гостя из комнаты № 1 в комнату № 2, гость из комнаты № 2 перейдет в комнату № 3 и так далее. В общем случае, гость из комнаты n переселится в комнату n+1. Таким образом, мы освободим первую комнату, в которую можно будет поселить нового гостя.

Бесконечное количество новых посетителей

В этом случае нам придётся освободить бесконечное количество комнат : постояльца из комнаты х переселим в комнату, номер которой равен 2 в степени х. Новых посетителей подселяем таким-же способом, только возводя в степень не 2, а 3.

Бесконечное количество автобусов с бесконечным количеством пассажиров

Есть несколько способов для того, чтобы расселить бесконечное количество пассажиров из бесконечного количества автобусов. Большинство методов подразумевает, что у каждого пассажира есть номер места, на котором он сидит в своём автобусе. В дальнейшем обозначим номер места переменной n, а номер автобуса, в котором сидит пассажир, переменной c.

Бесконечное число лингвистов с любимым словом из букв русского алфавита

Освобождение комнат происходит тем же образом, как и в том случае, когда нужно подселить бесконечное число посетителей. Затем кодируем любимое слово каждого лингвиста по буквам : а = 1, б = 2, в = 3 .. я = 33. Таким образом лингвист с любимым словом "я" получит код "33". Если коды совпадают, нужно попросить этих 2, или 3, или 4-х лингвистов сказать свои любимые слова, например "я" и "вв", одного из них поселить в ту комнату, в которую он должен был поселиться, а второго поселить в комнату, номер которой равен следующему простому числу в степени кода.

Высшие уровни бесконечности

Допустим, что отель стоит на берегу моря. К берегу прибывает бесконечное количество автомобильных паромов, на каждом из которых бесконечное количество автобусов, каждый с бесконечным количеством пассажиров. Эта ситуация, включающая три «уровня» бесконечности, решается путём расширения любого из представленных выше методов. В этом случае также подразумевается, что паромы имеют порядковые номера.

Далее будет использоваться обозначение адреса пассажира в виде «место-автобус-паром». Например, 768-85-7252 — адрес пассажира на 768-ом месте в 85-ом автобусе на 7252-ом пароме.

Метод факторизации целых чисел можно применить, добавив новое простое число: пассажир, сидящий на месте  в автобусе  на пароме , будет поселён в комнату . Данный метод возвращает очень большие числа для небольших входных данных. Например, пассажир с адресом 10-45-26 займёт комнату 4507923441392263334111022949218750000000000 . Как было отмечено ранее, метод оставляет огромное количество комнат пустыми.

Метод чередования можно использовать, чередуя не по две цифры, а по три. Так, пассажир с адресом 1-2-3 займёт комнату 123, а пассажир с адресом 42609-233-7092 займёт комнату 400207620039932.

Предвидя возможность любого уровня бесконечности, администрация отеля пожелает назначать номера таким образом, чтобы жителям не нужно было переселяться при заселении новых гостей. Одним из возможных решений является присвоение гостям двоичного номера, где единицы разделяют группы нулей, в каждой группе количество нулей равно соответствующему числу из адреса гостя, для каждого уровня бесконечности. Например, гость с адресом 2-5-4-3-1 будет поселён в комнату 10010000010000100010, что соответствует десятичному числу 590882.

Как дополнение к этому методу, из каждой группы нулей удаляется один нуль. Таким образом, гость с адресом 2-5-4-3-1 будет заселён в комнату 101000010001001, что соответствует десятичному 10308. Это дополнение гарантирует, что каждая комната будет заселена гостями.

Ахиллес и черепаха

Ахилле́с и черепа́ха — одна из апорий древнегреческого философа Зенона.

Содержание

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху

Ахиллес и черепаха — стадии погони

Диоген Лаэртский считал автором этой знаменитой апории Парменида, учителя Зенона[1]. Черепаха как персонаж вставлена позднейшим комментатором, в тексте апории, приведенном в «Физике» Аристотеля, быстроногий Ахиллес догоняет другого бегуна.

Образ Ахиллеса (Ахилла) в апории взят из «Илиады», где герой Ахиллес неоднократно именуется «быстроногим». Сюжет апории напоминает безуспешную погоню Ахилла за Гектором (глава 22):

188. Гектора ж, в бегстве преследуя, гнал Ахиллес непрестанно.

Словно как пёс по горам молодого гонит оленя.<…>

199. Словно во сне человек изловить человека не может,

Сей убежать, а другой уловить напрягается тщетно, —

Так и герои, ни сей не догонит, ни тот не уходит.

Разрешение апории

Одно из возможных объяснений парадокса: ложность представления о бесконечной делимости расстояния и времени.

Апория в литературе и искусстве

Льюис Кэрролл написал диалог с логическими загадками под названием «Что Черепаха сказала Ахиллесу?».

Лев Толстой в III томе эпопеи «Война и мир» (начало 3-й части) пересказывает парадокс про Ахиллеса и черепаху и предлагает своё толкование: нельзя разделять непрерывное движение на «отдельные единицы» (вероятно, имеются в виду точки). Далее Толстой, по аналогии, рассуждает о роли отдельной личности в истории.

Поль Валери в поэме «Кладбище у моря» (Le Cimetière Marin, 1920) писал:

Зенон Элейский, мыслию разящий,

Пронзил меня насквозь стрелой дрожащей,

Хоть сам её полётом пренебрег.

Рождён я звуком, поражён стрелою.

Ужель тень черепахи мне закроет

Недвижного Ахилла быстрый бег!

Апория про Ахиллеса неоднократно упоминается в произведениях Борхеса. Парадоксальная ситуация, описанная в ней, отражена в юмористических стихах и даже в анекдотах.

Такэси Китано в 2008 году снял фильм «Ахиллес и черепаха».

Указанные персонажи встречаются в Диалогах книги Дугласа Хофштадтера «Гедель, Эшер, Бах — эта бесконечная гирлянда».

В 2003 году поэт, эссеист и журналист Линор Горалик написала произведение «Ахилл говорит черепахе», позже опубликованное в «Книге одиночеств» Макса Фрая.

Дихотомия (апория)

Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так дo бесконечности.

Ещё один парадокс от Зенона Элейского, демонстрирующий некорректность идеализированной математической модели движения. Проблему можно поставить так — скажем, вы задались целью пройти какую-нибудь улицу вашего города от начала и до конца. Для этого вам необходимо преодолеть первую её половину, затем половину оставшейся половины, далее половину следующего отрезка и так далее. Иначе говоря — вы проходите половину всего расстояния, затем четверть, одну восьмую, одну шестнадцатую — количество уменьшающихся отрезков пути стремится к бесконечности, так как любую оставшуюся часть можно разделить надвое, значит пройти весь путь целиком невозможно. Формулируя несколько надуманный на первый взгляд парадокс, Зенон хотел показать, что математические законы противоречат реальности, ведь на самом деле вы можете без труда пройти всё расстояние без остатка.

Задача о 18 точках

Формулировка

Поместим на отрезок точку с номером 1. Затем добавим ещё одну с номером 2 таким образом, чтобы они оказались в разных половинах отрезка Третью точку добавим таким образом, чтобы все три находились в разных третях отрезка Далее, для точки с номером N должно выполняться условие, что все точки от первой до N -й находились в различных частях отрезка длиной не более 1 / N его общей длины

Для каких N можно построить такую последовательность x 1 , x 2 , , x N ,x_,,x_}

Ответ

Может показаться, что должна существовать последовательность вещественных чисел x 1 , x 2 , , x N ,x_,,x_} , такая, что для каждого целого N ≥ 1 То есть для каждого целого k ∈ } найдётся i ∈ } , что выполняется неравенство

k − 1 n ≤ x i < k n }\leq x_<}} ,

Однако, доказано, что таким образом можно поместить на отрезок максимум 17 точек, причём число различных порядков ограничено и равно 768

Одно из 768 возможных решений:

Заключение

Я проклассифицировал математические неожиданности в соответствии с разделами математики, к которым они принадлежат;

И рассмотрел основные виды геометрических парадоксов, которые вызвали у меня особый интерес, так как нашли своё отражение в имп-арт – искусстве парадоксальных картин.

Список используемых источников

https://ru.wikipedia.org/wiki/Ноль_в_нулевой_степени

https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_«Гранд-отель»

https://ru.wikipedia.org/wiki/Ахиллес_и_черепаха

https://ru.wikipedia.org/wiki/Дихотомия_(апория)

https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_18_точках

https://ru.wikipedia.org/wiki/Феномен_Уилла_Роджерса

https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Монти_Холла

Лямин А.А. «Математические парадоксы и интересные задачи».

Перельман Я.И. «Занимательная математика».