Методические указания по выполнению контрольных работ по дисциплине «Математика» (2 курс)

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ

ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

--------------------------------------------

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПРОМЫШЛЕННО-ГУМАНИТАРНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

-

ВОРОНЕЖ

2017

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Богучарский филиал ГБПОУ ВО «ВГПГК»

МЕТОДИЧЕСКИЕ указания

по выполнению Самостоятельных работ по дисциплине

«математика»

Для студентов 2 курсов

по специальности «Автомеханик»

и «Тракторист-машинист с/х производства»

ББК 22.1

Печатается по решению методического совета

Воронежского государственного

промышленно-гуманитарного колледжа

Составитель Косян Анаит Георгиевна

_____________________

Редактор Р. И. Остапенко

Подписано в печать 24.03.2017. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офисная.

Гарнитура Таймс. Цифровая печать. Усл. печ. л. 1,04. Уч-изд. л. 0,57. Тираж 20 экз.

Воронежский государственный промышленно-гуманитарный колледж (ВГПГК)

394036, г. Воронеж, пр. Революции, 20

Цели самостоятельной работы студентов

1.Для овладения и углубления знаний:

- составление различных видов планов и тезисов пот тексту;

- конспектирование текста;

- создание презентации.

2. Для закрепления знаний:

- работа с конспектом лекции;

- повторная работа с учебным материалом;

- составление плана ответа;

- составление различных таблиц.

3. Для систематизации учебного материала:

- подготовка ответов на контрольные вопросы;

- аналитическая обработка текста;

- составление памятки.

4. Для формирования практических и профессиональных умений.

-решение задач и упражнений по образцу;

-решение ситуативных и профессиональных задач;

- проведение анкетирования и исследования.

Средства обучения – основа самостоятельной работы.

Средства обучения, необходимые для организации самостоятельной работы:

1. Дидактические средства (первоисточники, документы, тексты художественных произведений, сборники задач и упражнений, журналы и газеты, учебные фильмы, карты, таблицы);

2. Технические средства, при помощи которых предъявляется учебная информация (компьютеры, аудиовидеотехника, мультимедия);

3. Средства, которые используют для руководства самостоятельной деятельностью студентов (инструктивно-методические указания, карточки с дифференцированными заданиями для организации индивидуальной и групповой работы, карточки с алгоритмами выполнения заданий).

 Перед выполнением самостоятельных работ необходимо ознакомиться с материалом, указанным в рабочей программе, изучить соответствующие разделы рекомендованной учебной литературы. Необходимо учесть, что формулы и основные положения, приведенные в данном пособии, носят справочный характер.

За разъяснением трудно усваиваемых вопросов курса необходимо обратиться к преподавателю, осуществляющую преподавание математики для данной специальности.

Пояснительная записка

Данная методическая разработка составлена преподавателем математических дисциплин Косян А.Г.

Методическое пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов 2 курса по математике: «Алгебра и начала анализа» по учебнику 11 класс авторов Никольский С.М. и др., по геометрии 10-11 класс под редакцией Атанасяна Л.С., а также для осуществления контроля над знаниями, умениями и навыками.

В данное методическое пособие включены проверочные работы, самостоятельные работы, математические диктанты, итоговые самостоятельные работы и вопросы по подготовке к зачетам за 1 и 2 семестры.

Самостоятельные работы, проверочные работы представлены в 2 вариантах по конкретным темам.

Самостоятельные, проверочные работы составлены с учетом индивидуальных особенностей студентов.

Методическое пособие (сборник задач и упражнений) содержит все основные разделы, которые реализуют объем знаний, подлежащих обязательному усвоению студентами, определенные государственными требованиями минимума содержания и уровня подготовки выпускника по специальностям.

Данное пособие предназначено для студентов 2 курса для специальностей «Автомеханик» и «Тракторист-машинист с/х производства», а также для преподавателей математики.

Виды практических работ для самостоятельной работы студентов

1. Составить опорный конспект по теме…

2. Сформулировать вопросы…

3. Сформулировать собственное мнение…

5. Дать определения следующим терминам…

6. Составить опорный конспект своего ответа.

7. Разработать алгоритм последовательности действий…

8. Составить таблицу с целью систематизации материала…

9. Заполнить таблицу, используя…

10. Заполнить блок-схему…

11. Смоделировать конспект урока по теме…

12. Смоделировать домашнее задание.

13. Составить план текста, конспект.

14. Создать презентацию по заданной теме.

15 Составить тематический кроссворд.

Приёмы самостоятельной работы студентов

Работа с учебником.

Для обеспечения максимально возможного усвоения материала и с учётом индивидуальных особенностей Студенов, можно предложить им следующие приёмы обработки информации учебника:

- конспектирование;

- составление плана учебного текста;

- выделение проблемы и нахождение путей её решения;

- самостоятельная постановка проблемы и нахождение в тексте путей её решения;

- определение алгоритма практических действий (план, схема).

-решение задач из учебника по образцу

Самостоятельная работа №1

Функции и их графики

Вариант 1

1. Найдите D(f) – области определения функции ( 1-4 ):

а) б) 

в)  г) 

2. Найдите E(f) – области изменения функции ( 1-4 ):

а)  в)

б)  г) 

3. Исследуйте на четность функцию:

а)  б) 

в)  г) 

4. Докажите, что функция  является и четной, и нечетной.

5. Постройте график функции ( 1-2 ):

1. ; б) 

в)  г) 

2. а)  б) 

в)  г) 

Вариант 2

1. Найдите D(f) - область определения функции ( 1-4 ):

а)  б)

в)  г)

2. Найдите E(f) - области изменения функции ( 1-4 ):

а) б)

в) г) 

3. Исследуйте на четность функцию:

а)  б) 

в)  г) 

4. Докажите, что функция  является и четной, и нечетной.

5. Постройте график функции ( 1-2 ):

1. ; б) 

в)  г) 

2. а)  б) 

в)  г) 

Самостоятельная работа №2

Производная

Вариант 1

1. Вычислите пределы:

а)  б)  в) 

г)  д) 

2. Найдите: а)  б) , если 

3. Найдите: а)  б) , если 

4. Найдите: а)  б) , если .

5. Найдите: а)  б) , если 

6. Найдите производную сложной функции:

а) б в)

г)  д) е) 

 з) и) 

Вариант 2

1. а)  б)  в) 

г)  д) 

2. Найдите: а)  б) , если 

3. Найдите: а)  б) , если 

4. Найдите: а)  б) , если .

5. Найдите: а)  б) , если 

6. Найдите производную сложной функции :

а) .  в)  г) 

д) е)  ж)  з)  и) 

Вариант 3

1. а)  б)  в) 

г)  д) 

2. Найдите: а)  б) , если 

3. Найдите: а)  б) , если 

4. Найдите: а)  б) , если .

5. Найдите: а)  б) , если 

6. Найдите производную сложной функции:

а)  в) 

г)  ; е) ж) 

з)  и) 

Самостоятельная работа №3

Применение производной

Вариант 1

1. Дана функция  Найдите:

а) критические точки функции f(x) на отрезке 

б) наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке 

2. Дана функция  Напишите уравнение касательной к графику функции  проходящей через точку A (-1; -5).

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

 на отрезке 

4. Дана функция  Найдите значение параметра а, при котором наибольшее значение функции f(x) на отрезке  равно 5.

Вариант 2

1. Дана функция  Найдите:

а) критические точки функции f(x) на отрезке 

б) наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке 

2. Дана функция  Напишите уравнение касательной к графику функции  проходящей через точку A (0; -5).

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

 на отрезке 

4. Дана функция  Найдите значение параметра а, при котором наименьшее значение функции f(x) на отрезке  равно 6.

Вариант 3

1. Дана функция  Найдите:

а) критические точки функции f(x) на отрезке 

б) наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке 

2. Дана функция  Напишите уравнение касательной к графику функции  проходящей через точку A (0; -6).

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

 на отрезке 

4. Дана функция  Найдите значение параметра а, при котором наименьшее значение функции f(x) на отрезке  равно 7.

Вариант 4

1. Дана функция  Найдите:

а) критические точки функции f(x) на отрезке 

б) наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке 

2. Дана функция  Напишите уравнение касательной к графику функции  проходящей через точку A (1; -4).

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

 на отрезке 

4. Дана функция  Найдите значение параметра а, при котором наименьшее значение функции f(x) на отрезке  равно 8.

Самостоятельная работа №4

Первообразная и интеграл

Вариант 1

1. Найдите первообразную для функции 

а) 

б) 

2. Найдите ту первообразную для функции  график которой проходит через точку А, если:

а)  б) 

3. Найдите: а)  б) 

4. Вычислите с помощью формулы Ньютона – Лейбница определенный интеграл:

а)  б)  в) 

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) 

б)  в) 

6. Вычислите:

a) 

б) 

Самостоятельная работа №4

Первообразная и интеграл

Вариант 2

1. Найдите первообразную для функции 

а) 

б) 

2. Найдите ту первообразную для функции  график которой проходит через точку А, если:

а)  

3. Найдите: а)  б) 

4. Вычислите с помощью формулы Ньютона – Лейбница определенный интеграл:

а)  б)  в) 

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) 

б)  в) 

6. Вычислите:

a) 

б) 

Самостоятельная работа №5

Текстовые задачи на движения

Вариант 1

1. Первый турист проехал 2 ч на велосипеде со скоростью 16 км/ч. Отдохнув 2 ч, он отравился дальше с прежней скоростью. Спустя 4 ч после старта велосипедиста ему вдогонку выехал второй турист на мотоцикле со скоростью 56 км/ч. На каком расстоянии от места старта мотоциклист догонит велосипедиста?

2. Из пункта A в пункт B отправились три машины друг за другом с интервалом в 1 ч. Скорость первой машины равна 50 км/ч, а второй — 60 км/ч. Найти скорость третьей машины, если известно, что она догнала первые две машины одновременно.

3. Между пунктами А и В 510 км. 1/3 часть этого расстояния путешественник ехал на велосипеде, а остальной путь на автомобиле. Сколько денег он должен заплатить за бензин, если 1 литр бензина стоит 1400 рублей? Расход топлива составляет 2 л на 17 км.

4. Автомобилист отправился в путешествие и первую остановку сделал через 580 км, а вторую через 420 км после первой остановки. При этом было истрачено по 7 кг бензина на каждые 100 км пути. Сколько топлива было потрачено?

5. Поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.

6. Два автомобиля равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку дорог. Один из автомобилей движется со скоростью 40км/ч и находится на расстоянии 400 м от перекрестка. С какой скоростью (в км/ч) должен двигаться второй автомобиль, находящийся на расстоянии 700 м от этого перекрестка, чтобы подъехать к нему одновременно с первым?

Самостоятельная работа №5

Текстовые задачи на движения

Вариант 2

1. Из пункта A в пункт B отправились три велосипедиста. Первый из них ехал со скоростью 12 км/ч. Второй отправился на 0,5 ч позже первого и ехал со скоростью 10 км/ч. Какова скорость третьего велосипедиста, который отправился на 0,5 ч позже второго, если известно, что он догнал первого через 3 ч после того как догнал второго?

2.Поезд проходит мимо платформы за 32 с. За сколько секунд поезд проедет мимо неподвижного наблюдателя, если длина поезда равна длине платформы?

3. Во время поездки автомобиль на каждые 100 км пути тратит на 2 л бензина меньше, чем в городе. Водитель выехал с полным баком, проехал 120 км по городу и 210 по загородному шоссе до заправки. Заправив машину, он обнаружил, что в бак вошло 42 литра бензина. Сколько литров бензина расходует автомобиль на 100 км. пробега в городе?

4.От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз на 96 км, потом повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути расстоянии 24 км от А.

5. Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

6. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть — со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть — со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Самостоятельная работа №6

Тела и поверхности вращения

Вариант 1

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72 π, а диаметр основания - 9. Найдите высоту цилиндра.

2. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4, вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности тела вращения.

4. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

5. Площадь боковой поверхности конуса в четыре раза больше площади основания. Чему равен косинус угла между образующей конуса и плоскостью основания.

6. Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

7. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16 π см2. Найти площадь поверхности цилиндра.

Вариант 2

 1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 64 π , а высота – 8. Найдите диаметр основания.

2. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π.

3. Равнобедренный треугольник, у которого основание равно 4√3,а угол при вершине 120°, вращается вокруг прямой, содержащей основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

4. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз, а радиус основания останется прежним?

5. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на π .

6. Площадь полной поверхности конуса равна 108. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

7. Образующая конуса равна 6 см. В осевом сечении угол между образующими равен 120°. Найти радиус основания и высоту конуса.

Самостоятельная работа №7

Уравнения. Неравенства. Системы.

Вариант 1

Решите уравнение:

1.  2. 

3.  4. 

5.  6. 

Решите неравенство

1.  2. 

3.  4. 

5.  6. 

7.  8. 

9. 

Решите уравнение

1.  2. 

3.  4. 

5. 

7.  8. 

Самостоятельная работа №7

Уравнения. Неравенства. Системы.

Вариант 2

Решите уравнение

1.  2. 

3.  4. 

5.  6. 

Решите неравенство

1.  2. 

3.  4. 

5.  6. 

7.  8. 

9. 

Решите уравнение

1.  2. 

3.  4. 

5.  6. 

7.  8. 

Самостоятельная работа №8

Объемы тел

Вариант 1

1. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 2:3:4. Диагональ параллелепипеда равна √29. Найдите его объём.

2. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Через большую сторону нижнего основания и середину противоположного бокового ребра проведена плоскость под углом 60° к плоскости основания. Найдите объём призмы.

3. В правильной треугольной пирамиде высота основания равна h, боковые рёбра наклонены к основанию под углом a. Найдите объём пирамиды.

4. В правильную четырёхугольную пирамиду вписан конус. Найдите отношение объёмов конуса и пирамиды.

5. Площадь поверхности полу-шара равна 48п. Найдите его объём.

6. Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см2.

7. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем ко­ну­са, если ра­ди­ус его ос­но­ва­ния уве­ли­чит­ся в 1,5 раза, а вы­со­та оста­нет­ся преж­ней?

8. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отстоит от неё на расстояние, равное 15. Диагональ получившегося сечения равна 20, а радиус основания цилиндра 17. Найдите объём цилиндра.

Самостоятельная работа №8

Объемы тел

Вариант 2

1. Стороны оснований и диагональ прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3. Длина бокового ребра равна 4. Найдите объём параллелепипеда.

2. В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоугольный треугольник. Диагональ большей боковой грани равна 12 и составляет с плоскость. Основания угол в 45°. Найдите объём призмы.

3. В правильной четырёхугольной пирамиде диагональ основания равна d. Боковые грани наклонены к основания под углом а. Найдите объём пирамиды.

4. Вокруг правильной четырёхугольной пирамиды описан конус. Найдите отношение объёмов конуса и пирамиды.

5. Объём шара равен . Найдите площади поверхности полу-шара.

6. Объем ко­ну­са равен 16. Через се­ре­ди­ну вы­со­ты па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем мень­ше­го ко­ну­са с той же вер­ши­ной. Най­ди­те объем мень­ше­го ко­ну­са.

7. Во сколь­ко раз умень­шит­ся объем ко­ну­са, если его вы­со­та умень­шит­ся в 3 раза, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния оста­нет­ся преж­ним?

8. Вокруг конуса, у которого осевым сечением служит правильный треугольник, описан шар. Найдите отношение их объёмов.

Итоговый тест для самоконтроля
Вариант 1

А1. Найдите значение выражения 

1) 

А2. Упростите выражение 

1)  3) 

А3. Упростите выражение 

1) 

А4. Определите, какому из указанных промежутков принадлежит корень

уравнения 

1)  2)  4) 

A5. Определите, какому из указанных промежутков принадлежит корень

уравнения 

1) 

A6. Решите неравенство 

1)  4) 

А7. Упростите выражение



1) 

А8. Решите неравенство 

1) 

A9. Решите уравнение 

1)  2) , 

3) 

А10. Найдите области определения функции 

1)  2)  3)  4) 

А11. Найдите производную функции 

1)  2) 

3)  4) 

А12. Пользуясь графиком функции , к которому в точке с абсциссой  проведена касательная (рис.64), найдите 

1)  2)  3)  4) 

А13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

1) 

В1. Вычислите 

B2. Найдите точку локального максимума функции 

B3. Вычислите 

В4. Найдите значение выражения 

В5. Решите уравнение  В ответе укажите корень уравнения или сумму всех корней, если их несколько.

В6. Найдите число целых решений неравенства 

B7. Найдите произведение корней уравнения 

ЧАСТЬ 3

К каждому из заданий С1-С3 приведите полное решение.

С1. Решите неравенство 

C2. Для каждого значения параметра  решите неравенство



C3. Решите уравнение 

Итоговый тест для самоконтроля
Вариант 2

А1. Найдите значение выражения 

1) 

А2. Упростите выражение 

1)  3) 

А3. Упростите выражение 

1) 

А4. Определите, какому из указанных промежутков принадлежит корень

уравнения 

1)  2)  4) 

A5. Определите, какому из указанных промежутков принадлежит корень

уравнения 

1) 

A6. Решите неравенство

1)  4) 

А7. Упростите выражение 

1)  3) .

А8. Решите неравенство 

1) 

A9. Решите уравнение 

1) 2) 

3) 

А10. Найдите области определения функции 

1)  2) 

3)  4) 

А11. Найдите производную функции 

1)  2) 

3) 4) 

А12. Пользуясь графиком функции , к которому в точке с абсциссой  проведена касательная (рис.65), найдите 

1)  2)  3)  4) 

А13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями



1) 

В1. Вычислите 

B2. Найдите точку локального минимума функции 

B3. Вычислите 

В4. Найдите значение выражения 

В5. Решите уравнение  В ответе укажите корень уравнения или сумму всех корней, если их несколько.

В6. Найдите число целых решений неравенства 

B7. Найдите произведение корней уравнения 

ЧАСТЬ 3

К каждому из заданий С1-С3 приведите полное решение.

С1. Решите неравенство 

C2. Для каждого значения параметра  решите неравенство



C3. Решите уравнение 

 

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Никольский С.М. и др. Алгебра и начала анализа. 11 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2014.

Атанасян Л.С. Геометрия 10-11. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2014.

Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. – М.: Просвещение, 2012.

Потапов М.К., Шевкин А.В. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 11 класс. – М.: Просвещение, 2014.

Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии 11 кл. – М. Просвещение, 2014.