Методические указания и контрольные задания для студентов по специальностям

ГПОУ «Усинский политехнический техникум»

 

МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания для студентов по специальностям:

46.02.01 «Документационное обеспечение управления и архивоведение»

21.02.01 «Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений»

13.02.11 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)»

 

уровень обучения – базовый

Рассмотрено

на методическом совете

Протокол № 16 - от 30.03.17

г. Усинск, 2017

Составлены в соответствии с рабочей программой по учебной дисциплине «Математика»

Методические рекомендации предназначены для студентов очной формы обучения в качестве методического пособия для самостоятельной работы, выполнения домашней контрольной работы и при подготовке к итоговой аттестации по учебной дисциплине.

Раздел 1: Алгебра

Тема 1.1. Основы тригонометрии

Свойства и графики функций y=sin x, y=cos x

Функция y = sin x

Графиком функции является синусоида.

Полную неповторяющуюся часть синусоиды называют волной синусоиды.

Половину волны синусоиды называют полуволной синусоиды (или аркой).

 
Свойства функции y = sin x:

 

Для построения графика функции y = sin x удобно применять следующие масштабы:

- на листе в клетку за единицу отрезка примем длину в две клетки.

- на оси x отмерим длину π. При этом для удобства 3,14 представим в виде 3 – то есть без дроби. Тогда на листе в клетку π составит 6 клеток (трижды по 2 клетки). А каждая клетка получит свое закономерное имя (от первой до шестой): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Это значения x.

- на оси y отметим 1, включающий две клетки.

 

Составим таблицу значений функции, применяя наши значения x:

Далее составим график. Получится полуволна, наивысшая точка которой (π/2; 1). Это график функции y = sin x на отрезке [0; π]. Добавим к построенному графику симметричную полуволну (симметричную относительно начала координат, то есть на отрезке -π). Гребень этой полуволны – под осью x с координатами (-1; -1). В результате получится волна. Это график функции y = sin x на отрезке [-π; π].

Можно продолжить волну, построив ее и на отрезке [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] и т.д. На всех этих отрезках график функции будет выглядеть так же, как на отрезке [-π; π]. Получится непрерывная волнистая линия с одинаковыми волнами.

 

Функция y = cos x.

Графиком функции является синусоида (ее иногда называют косинусоидой).

 

Свойства функции y = cos x:

 

Функция y = mf(x).

Возьмем предыдущую функцию y = cos x. Как вы уже знаете, ее графиком является синусоида. Если мы умножим косинус этой функции на определенное число m, то волна растянется от оси x (либо сожмется, в зависимости от величины m).
Эта новая волна и будет графиком функции y = mf(x), где m – любое действительное число.

Таким образом, функция y = mf(x) – это привычная нам функция y = f(x), умноженная на m.

Если m < 1, то синусоида сжимается к оси x на коэффициент m. Если m > 1, то синусоида растягивается от оси x на коэффициент m.

Выполняя растяжение или сжатие, можно сначала построить лишь одну полуволну синусоиды, а затем уже достроить весь график. 

Функция y = f(kx).

Если функция y = mf(x) приводит к растяжению синусоиды от оси x либо сжатию к оси x, то функция y = f(kx) приводит к растяжению от оси y либо сжатию к оси y.

Причем k – любое действительное число.

При 0 < k < 1 синусоида растягивается от оси y на коэффициент k. Если k > 1, то синусоида сжимается к оси y на коэффициент k. 

Составляя график этой функции, можно сначала построить одну полуволну синусоиды, а по ней достроить затем весь график.

Свойства и графики функций y=tg x, y=ctg x

Функция y = tg x.

Графиком функции y = tg x является тангенсоида.

Достаточно построить часть графика на промежутке от 0 до π/2, а затем можно симметрично продолжить ее на промежутке от 0 до 3π/2.

  

Свойства функции y = tg x:

 

Функция y = ctg x

Графиком функции y = ctg x также является тангенсоида (ее иногда называют котангенсоидой).

 

Свойства функции y = ctg x:

 

Применение основных формул для тождественных преобразований

Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Определение. Выражение, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций, называют тригонометрическим.

Для преобразования выражений используют свойства тригонометрических функций и формулы тригонометрии.

Знаки тригонометрических функций.

Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента

Формулы сложения двух аргументов

Формулы двойного и половинного аргумента

Формулы сложения тригонометрических функций

Формулы преобразования произведения в сумму

Формулы приведения

Значение тригонометрических функций некоторых углов

Пример 1. Вычислить .

Решение. Имеем . Воспользуемся формулой сложения двух аргументов и получим

.

Ответ: .

Пример 2. Известно, что . Найти .

Решение. Из формулы, связывающей одинаковые аргументы тригонометрических функций, получаем . Подставив заданное значение синуса, получим

.

Значит  либо . По условию, , т.е. аргумент принадлежит III четверти. В III четверти косинус отрицателен, значит

.

Ответ: -0,8.

Пример 3. Упростить выражение .

Решение.

.

Ответ: .

Обратные тригонометрические функции

Арксинус (y = arcsin x) – обратная функция к sin (x = sin y), которая имеет область определения  и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его sin.

Арккосинус (y = arccos x) – обратная функция к cos (x = cos y), которая имеет область определения  и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его cos.

Арктангенс (y = arctg x) – обратная функция к tg (x = tg y), которая имеет область определения  и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его tg.

Арккотангенс (y = arcctg x) – обратная функция к ctg (x = ctg y), которая имеет область определения  и множество значений . Другими словами возвращает угол по значению его ctg.

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой   y = x.

 

y = arcsin x

 

 
y = arccos x

 

 
y = arctg x

 

 
y = arcctg x

 

Тригонометрические уравнения и неравенства

Тригонометрические уравнения

Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком  тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида

 ,

,

,

 .

Рассмотрим, при каких значениях  тригонометрические уравнения разрешимы и как правильно находить все решения таких уравнений.

Уравнение .

Так как множество значений функции  - отрезок [-1;1], то данное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда

 .

Далее, из-за периодичности функции , каждому значению  соответствует бесконечное множество решений. Поэтому все решения описываются формулами:

или обобщенной формулой

.

На рисунке 1 члены первой последовательности отмечены кружками, а второй - квадратами.

Рис.1

Заметим, что .

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:

Пример. Решить уравнение .

Решение.  .

Ответ: .

Уравнение .

Данное уравнение имеет тогда и только тогда, когда

 

.

Множество решений записывается в виде

.

Заметим, что .

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:

Пример. Решить уравнение .

Решение. .

Ответ: .

Уравнение .

Данное уравнение разрешимо при любом . Все решения задаются формулой

.

Заметим, что .

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:

Пример. Решить уравнение .

Решение.   .

Ответ: .

Уравнение .

Данное уравнение разрешимо при любом . Все решения задаются формулой

.

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:

Заметим, что .

Пример. Решить уравнение .

Решение.  

Ответ: .

Основные методы решения

Любое тригонометрическое уравнение в процессе решения с помощью надлежащих преобразований должно быть приведено к простейшим. Наиболее часто при решении тригонометрических уравнений применяются следующие методы:

разложение на множители;

способ замены (сведение к алгебраическим уравнениям);

сведение к уравнениям, однородным относительно  и ;

преобразование суммы тригонометрических функций в произведение;

преобразование произведения тригонометрических функций в сумму;

использование формул понижения степени;

равенство одноименных тригонометрических функций;

введение вспомогательного аргумента.

При этом, как правило, в процессе решения тригонометрического уравнения приходится использовать не один, а несколько из указанных выше методов.

Способ замены

Данным методом решаются уравнения вида   , . Они сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям с помощью замены  или . Уравнения  не являются с виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим:  .

При решении уравнений этим методом необходимо знать формулы:

 

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение является квадратным относительно . Поэтому сделаем замену . В результате получим уравнение . Его корни:  , то есть получаем уравнение  или . Первое уравнение дает . Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Так как , то уравнение можно представить в виде ; . Сделаем замену . Получим квадратное уравнение , решая которое, имеем: ,то есть . Таким образом, получим два простейших уравнения  или . Решая их, имеем  или .

Ответ: 

 Однородные уравнения

Уравнения:

,

  ,                                     

,

 называются однородными относительно  и . Они обладают тем свойством, что сумма показаний степеней при  и  у всех членов уравнения одинакова. Делением на  соответственно уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям относительно . При этом, конечно, предполагается, что коэффициент . В результате получаем равносильное уравнение, так как разделили на  (если бы , то из исходного уравнения следует, что и , а это невозможно, так как  и  при одном и том же значении х в нуль не обращаются, ибо всегда ).

Уравнение  легко сводится к однородному, если правую часть представить в виде. После очевидных преобразований получаем

.

Пример 1. Решить уравнение:

.

Решение. Это уравнение является однородным относительно  и . Поэтому, разделив его на  , получим . Введем новую переменную  и решим квадратное уравнение .

 Его корни . Получили два простейших тригонометрических уравнения . Решая их, найдем:  или .

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение:

.

Решение. Это уравнение, сводящееся к однородному. Имеем

то есть получили однородное уравнение. Разделив обе части уравнения на  , получим . Решая это уравнение, квадратное относительно , найдем, что  либо . Таким образом,  или .

Ответ: .

 Разложение на множители

При решении уравнений этим методом нужно пользоваться известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Необходимо также знать уже приведенные формулы и дополнительно:

 Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Применяя формулу синуса двойного угла, получим , . Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:.

Решение 1-го уравнения: .

Уравнение  преобразуем к виду , имеющему решение .

Ответ: .

 

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Перенесем все члены уравнения в левую часть и разложим ее на множители:

Отсюда следует, что  или , то есть имеем уравнение  или . Решая их, получим  или .

Ответ: .

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы:

Пример. Решить уравнение .

Решение. По формулам приведения . Получаем уравнение . Пользуясь, выше приведенной формулой, преобразуем разность синусов в произведение:

.

В результате имеем уравнение , откуда  или . Решая эти уравнения, получим ; .

Ответ:  .

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы:

Пример. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем по выше приведенным формулам левую и правую части уравнения. В результате получим:

,

иначе , то есть . Преобразовывая теперь в произведение сумму косинусов, будем иметь , откуда или .

Ответ: .

Использование формул понижения степени

При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы:

Пример. Решить уравнение:

.

Решение. Сразу заметим, что , а , и уравнение принимает вид . Используя, выше приведенные формулы, перепишем его в виде

,

то есть . Преобразуем суммы косинусов в произведения, тогда получим  

 Наконец, преобразовывая разность косинусов в произведение, получим . Задача свелась к решению совокупности трех уравнений:  или или , из которой находим три семейства решений заданного уравнения: . Однако ответ можно записать в виде, поскольку он содержит в себе два других семейства (чтобы убедиться в этом, достаточно положить  или ).

Ответ: .

Равенство одноименных тригонометрических функций

Данным методом решаются уравнения вида .

Теорема 1. Для того чтобы синусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий

.

Теорема 2. Для того чтобы косинусы двух углов были равны, необходимо и достаточно выполнения одного из условий

.

Теорема 3. Для того чтобы тангенсы двух углов были равны, необходимо и достаточно, одновременное выполнение двух условий

.

Пример. Решить уравнение .

Решение. На основании условий равенства двух синусов имеем:

 или .

Ответ: 

Введение вспомогательного аргумента

Метод основан на преобразовании выражения , где a и b – постоянные, не обращающиеся в нуль одновременно.

Введем угол , положив

.

Тогда:

,

где  находится из уравнения .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Так как , то  и  уже являются соответственно косинусом и синусом определенного угла; ясно, что этот угол . Таким образом, получаем

.

Решая это уравнение, имеем .

Ответ: .

Уравнение, рассмотренное в последнем примере, имеет вид  . Однако решить такие уравнения можно и другими методами.

Тема 1.2. Корни, степени и логарифмы.

Показательная функция, ее график

Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.

Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.

Область значений показательной функции: E (y)=R+ - множество всех положительных чисел.

Показательная функция  y=ax возрастает при a>1.

Показательная функция y=ax убывает при 0

Справедливы все свойства степенной функции:

а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

 а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе.

 ax∙ay=ax+y   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

 ax:ay=ax- y  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

(ax)y=axy   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают

 (a∙b)x=ax∙by   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

(a/b)x=ax/by  При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

  а-х=1/ax

 (a/b)-x=(b/a)x.

Примеры.

1) Построить график функции y=2x. Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=20=1;                   Точка А.

x=1, y=21=2;                   Точка В.

x=2, y=22=4;                   Точка С.

x=3, y=23=8;                   Точка D.              

x=-1, y=2-1=1/2=0,5;       Точка K.

x=-2, y=2-2=1/4=0,25;     Точка M.

x=-3, y=2-3=1/8=0,125;   Точка N.

Большему  значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

2) Построить график функции y=(1/2)x. Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=(½)0=1;                  Точка A.

x=1, y=(½)1=½=0,5;          Точка B.

x=2, y=(½)2=¼=0,25;        Точка C.

x=3, y=(½)3=1/8=0,125;    Точка D.

x=-1, y=(½)-1=21=2;          Точка K.

x=-2, y=(½)-2=22=4;          Точка M.

x=-3, y=(½)-3=23=8;          Точка N.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(1/2)x убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции  0<(1/2)<1.

Пример 1.

1) В одной координатной плоскости построить графики функций: 

y=2x, y=3x, y=5x, y=10x. Сделать выводы.

График функции у=2х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля  (E (y)=R+).

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все  данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

2) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x. Сделать выводы.

Смотрите построение графика функции y=(1/2)x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

Чем меньше основание а (при 0

Все  эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Пример 3. Решить графически уравнения:

1) 3x=4-x.

В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3х и у=4-х.

Графики пересеклись в точке А(1; 3).

Ответ: 1.

2) 0,5х=х+3.

 

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5х

(y=(1/2)x )

 и у=х+3.

Графики пересеклись в точке В(-1; 2).

Ответ: -1.

Пример 5. Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5.

Решение.

 1) y=-2x 

Область значений показательной функции y=2x – все положительные числа, т.е.

0<2x<+∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:

— ∞<-2x<0.

Ответ: Е(у)=(-∞; 0).

 2) y=(1/3)x+1;

0<(1/3)x<+∞, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:

0+1<(1/3)x+1<+∞+1;

1<(1/3)x+1<+∞.

Ответ: Е(у)=(1; +∞).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Степень и ее свойства

  

  Степень с иррациональным показателем

Пример: Найти 10√2.

Решение:

10  =  101  < 10√2 < 102 = 100

25,119 ≈ 101,4  < 10√2 < 101,5 ≈ 31,623

25,704 ≈ 101,41 < 10√2 < 101,42 ≈ 26,303

25,942 ≈ 101,414  < 10√2 < 101,415 ≈ 26,002

25,953 ≈ 101,4142 < 10√2 < 101,4143 ≈ 25,960

Ответ: 10√2 = 101,4142 = 25,9

 

Решение показательных уравнений и неравенств.

Решение показательных уравнений

ax = b имеет один единственный корень, при b>0 и положительном a не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = ac.
Тогда очевидно, что с будет являться решением уравнения ax = ac.

Пример 1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей уравнения к степени с одинаковым основанием.

3x = 9x – 2.

Решение:
3x = (32)x – 2;
3x = 32x – 4;
x = 2x –4;
x = 4.

Ответ: 4.

Пример 2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.

3x –  = 24.

Решение:

3x – 3x – 2 = 24
3x – 2(32– 1) = 24
3x – 2 × 8 = 24
3x – 2= 3
x – 2 = 1
x = 3.

Ответ: 3.

Пример 3. 5(x2 - 2*x - 1) = 25.

Представим 25 как 52, получим:

5(x2 - 2*x - 1) = 52.

Или что равносильно :

x2 - 2*x - 1 = 2.

Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

Ответ: 3;-1.

Пример 4. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.

Решим уравнение 4x – 5*2x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2x и получим следующее квадратное уравнение:

t2 - 5*t + 4 = 0.
Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4

Теперь решаем уравнения 2x = 1 и 2x = 4.

Ответ: 0;2.

Решение показательных неравенств

Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел.

Пример 1.

(0.5)(7 - 3*x) < 4.

Заметим, что 4 = (0.5)2. Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 - 3*x) < (0.5)(-2). Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Получим: 7 - 3*x>-2.

Отсюда: х<3.

Ответ: х<3.

Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

При­мер 2.

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть со­глас­но свой­ствам сте­пе­ни:

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни боль­ше еди­ни­цы, зна­чит, знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся:

При­мер 3.

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть со­глас­но свой­ствам сте­пе­ни:

Ос­но­ва­ние сте­пе­ни мень­ше еди­ни­цы, знак нера­вен­ства необ­хо­ди­мо по­ме­нять на про­ти­во­по­лож­ный:

Для ре­ше­ния квад­рат­но­го нера­вен­ства решим со­от­вет­ству­ю­щее квад­рат­ное урав­не­ние:

По тео­ре­ме Виета на­хо­дим корни:

Ветви па­ра­бо­лы на­прав­ле­ны вверх.

Таким об­ра­зом, имеем ре­ше­ние нера­вен­ства:

Логарифмическая функция. Свойства и график функции

Функцию вида y = loga(x), где a любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием а. Здесь и далее для обозначения логарифма мы будем использовать следующую нотацию: loga(b) - данная запись будет обозначать логарифм b по основанию а.

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1.

6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0

7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вида.

8. Функция не имеет точек максимума и минимума.

5. Логарифмические уравнения

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком логарифма или в его основании.

При решении логарифмических уравнений обязательно учитывается ОДЗ логарифма. Если ОДЗ найти сложно, то можно только выписать условия, а затем проверить полученные корни подстановкой в ОДЗ (можно проверять подстановкой в уравнение, не выписывая ОДЗ).

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.

Пример 1. Решить уравнения:

a) log2 x = 3,       b) log3 x = -1,       c) 

Решение. Используя утверждение 1, получим 
a) x = 23 или x = 8;     b) x = 3-1 или x = 1/3;     c)  или x = 1.

Пример 2. lg (x2  -17) = lg (x+ 3)  Если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа. 

x2 - 17 = x + 3,

x1= 5, x2=-4.

Осуществим подстановку для проверки при х = 5

lg (x2-17) = lg 8и lg (x+ 3) = lg 8.

Следовательно, х= 5 - корень выбранного уравнения.

При х = -4 левая и правая части данного уравнения не существуют, поскольку x2 - 17= - 1 < 0 и x + 3 = -1 < 0. Из этого делаем вывод, х = -4 не может быть корнем уравнения. Ответ: х = 5.

Пример 3. Отдельные логарифмические уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям с помощью ввода новой неизвестной величины. Так, к примеру, в уравнении: log32x - 3log3x - 10 = 0. Если log3x приравнять к у, то уравнение станет квадратным:

 у 2- 3у - 10 = 0,

 решив его получим:

y1 = - 2, y2 = 5.

Далее вернемся к у = log3x, получим: если log3x= - 2, то x=1/9; если же log3x=5, то х = 243.

Выполнив проверку видим, что эти две величины будут решением выбранного уравнения.

Ответ. x1=1/9; x2 = 243.

Логарифмические неравенства

Рас­смот­рим ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма .

Нера­вен­ство необ­хо­ди­мо ре­шать, при­ме­няя эк­ви­ва­лент­ные, рав­но­силь­ные пре­об­ра­зо­ва­ния. Рас­смот­рим схему. По­сколь­ку мы рас­смат­ри­ва­ем ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию с ос­но­ва­ни­ем, боль­шим еди­ни­цы, пом­ним, что функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет. От­сю­да:

При этом необ­хо­ди­мо не за­быть про ОДЗ, т. к. под ло­га­риф­мом могут сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ные вы­ра­же­ния. ОДЗ пред­став­ле­но си­сте­мой:

Ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство , по­это­му для со­блю­де­ния ОДЗ до­ста­точ­но за­щи­тить мень­шее из чисел. По­лу­ча­ем си­сте­му нера­венств, ко­то­рая со­от­вет­ству­ет ис­ход­но­му нера­вен­ству:

На­при­мер:

Ответ: 

Рас­смот­рим ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма .

По­сколь­ку мы рас­смат­ри­ва­ем ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию с ос­но­ва­ни­ем, ле­жа­щим в пре­де­лах от нуля до еди­ни­цы, пом­ним, что функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет. От­сю­да:

При этом необ­хо­ди­мо не за­быть про ОДЗ, т. к. под ло­га­риф­мом могут сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ные вы­ра­же­ния. ОДЗ пред­став­ле­но си­сте­мой:

Ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство , по­это­му для со­блю­де­ния ОДЗ до­ста­точ­но за­щи­тить мень­шее из чисел. По­лу­ча­ем си­сте­му нера­венств, ко­то­рая со­от­вет­ству­ет ис­ход­но­му нера­вен­ству:

На­при­мер:

Ответ: нет ре­ше­ний

 Вы­пол­ним обоб­ще­ние. Мы рас­смат­ри­ва­ем про­стей­шие ло­га­риф­ми­че­ские нера­вен­ства, т. е. нера­вен­ства вида:

Все осталь­ные более слож­ные ло­га­риф­ми­че­ские нера­вен­ства сво­дят­ся к про­стей­шим.

Ме­то­ди­ка ре­ше­ния:

1. Урав­нять ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов;

2. Срав­нить под­ло­га­риф­ми­че­ские вы­ра­же­ния:

- при  со­хра­нить знак нера­вен­ства;

- при  из­ме­нить знак нера­вен­ства на про­ти­во­по­лож­ный;

3. Учесть ОДЗ;

 При­мер 1.

Урав­ня­ем ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов. Для этого число в пра­вой части пред­ста­вим в виде ло­га­риф­ма с нуж­ным ос­но­ва­ни­ем:

Итак, имеем нера­вен­ство:

Ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма мень­ше еди­ни­цы, имеем эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му:

Ответ: 

При­мер 2.

Урав­ня­ем ос­но­ва­ния:

Имеем нера­вен­ство:

Ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма мень­ше еди­ни­цы, имеем эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му:

Имеем си­сте­му двух про­стей­ших ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств. Урав­ня­ем ос­но­ва­ния в каж­дом из них:

В обоих слу­ча­ях ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма боль­ше еди­ни­цы, за­пи­шем эк­ви­ва­лент­ные си­сте­мы:

Ответ: 

Тема 1.3. Матрицы и Системы уравнений

• Понятие квадратной матрицы. Понятие определителя.

Понятие определителя.

Определение Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядка n), n>1, называется число, равное

где  — определитель квадратной матрицы полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j-го столбца.

Для определителей 2-го и 3-го порядка легко получить простые выражения через элементы матрицы.

Определитель 2-го порядка:

.

Определитель 3-го порядка:

По правилу треугольника:

По правилу Саррюса:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

 

Пример 1.

Вычислить определитель второго порядка

Решение

Ответ:

Пример 2.

Вычислить определитель  с помощью правила Саррюса.

Решение. 

Ответ. 

Понятие матрицы.

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Квадратная матрица — это матрица, у которой число строк и столбцов совпадают, и это число называется порядком матрицы. Любые две квадратные матрицы одинакового порядка можно складывать и умножать.

Диагональ квадратной матрицы, проходящая через нижний левый и верхний правый углы, называется побочной.

Если все элементы вне главной диагонали нулевые, A называется диагональной. Если все элементы над (под) главной диагональю нулевые, A называется нижней (верхней) треугольной матрицей.

Диагональная матрица:

Нижняя треугольная матрица:

Верхняя треугольная матрица:

Операции над матрицами:

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Пример.   . Найти матрицу .

Решение. 

Ответ. 

Суммой матриц  и  одного размера называется матрица  такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Пример. Найти , если , 

Решение. 

Ответ. 

Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица  такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы  на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .

Пример. Найти , если 

Решение. Так как , а , то в результате получим матрицу размера , т.е. матрицу вида  . Найдем элементы данной матрицы:

Таким образом, получаем, что:

Все вычисления можно было сделать в более компактном виде:

Ответ. 

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой на  главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы равны нулю. Например: ,  и т.д.

если произвольную матрицу  умножить слева или справа на единичную матрицу подходящих размеров, то в результате получится исходная матрица:

Квадратная матрица В есть обратная матрица для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Обратная матрица матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1 и вычисляется по формуле:

Пример. Для матрицы  найти A-1.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А 
  значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле:  , где Аi j (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов аi j исходной матрицы.                   

                    

                   

                  

 откуда   .

 

2. Решение систем методом Крамера.

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

 

Определители:

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Решение:

Пример.

Определители:

.

Решение систем матричным методом.

 

Раздел 2. Геометрия.

Тема 2.1. Прямые и плоскости в пространстве.

1. Стереометрия. Аксиомы стереометрии

Стереометрия — раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными (простейшими) фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии:

А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью ABC. Отметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т.е. опирается на три "точки", а конец четвертой ножки (четвертая "точка") не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Свойство, выраженное в аксиоме А2, используется для проверки "ровности" чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет.

Из аксиомы А2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

2. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b или b∥a.

Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.

Доказательство:

1. Так как прямые a и b параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость α.

2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой a обозначаем точки B и C, а на прямой b точку A.

3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость (2 аксиома), то α является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые a и b.

Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну.

Доказательство:

1. Через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость α.

2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

3. А в плоскости α через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна прямой a.

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Рис. 1

Рис. 2

Доказательство:

Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M (1. рис.).

Из 1-ой теоремы известно, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β.

Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β (2. рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая c, которая является прямой пересечения этих плоскостей.

Прямые a, b и c находятся в плоскости β.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую c, то вторая прямая a тоже пересекает c.

Точку пересечения прямых a и c обозначим за K.

Так как точка K находится на прямой c, то K находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.

Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке K.

Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

\

Дано: a∥c и b∥c

Доказать: a∥b

Доказательство:

Выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.

Пусть прямая b пересекает плоскость α.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным.

Значит, прямая b находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

Теорема 5. Признак параллельности прямой и плоскости”.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство:

Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит прямая a должна быть параллельна плоскости α.

 

 

 

 

3. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми

Теорема "Признак скрещивающихся прямых"

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство:

Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB.

1. Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости.

2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α.

3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её.

Теорема доказана.

В пространстве прямые расположены следующим образом:

1. Параллельны

2. Пересекающиеся

3. Скрещивающиеся

 

 

Теорема.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство

Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB.

2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α

3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.

Теорема доказана.

Углы между прямыми

1. Если прямые параллельны, то угол между ними 0.

2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол 90).

3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися прямым.

4. Признак параллельности плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β - данные плоскости, a1 и a2 – пересекающиеся прямые в плоскости α, а b1 и b2 соответственно параллельные им прямые в плоскости β.

 

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой  плоскости β.

Прямая a2 параллельна прямой b2,  значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

 

Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a1 или a2 пересекает  прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β,  значит, пересекая прямую c, прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны. 

Свойства параллельных плоскостей.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β - параллельные плоскости, а γ- плоскость, пересекающая их.

Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой a.  

Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой b. 

 

Линии пересечения a и b лежат  в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Доказательство.

Пусть α и β - параллельные плоскости, а a и b – параллельные прямые, пересекающие их.

Через прямые a и b можно провести плоскость - эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причём только одну.

Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AB, а с плоскостью β по прямой CD. 

По предыдущей  теореме прямые AB и CD параллельны. Четырехугольник ABCD есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть BC=AD.

5. Перпендикулярность прямой и плоскости

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

В пространстве перпендикулярными называют не только пересекающиеся прямые, но и скрещивающиеся прямые, так как мы говорим об угле, который могут образовать эти прямые, если их поместить в одной плоскости.

Так же как и в плоскости, в пространстве перпендикулярные прямые a и b обозначают a⊥b.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая перпендикулярна к этой прямой.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается как a⊥α.

Через любую точку пространства проходит прямая перпендикулярно данной плоскости, притом только одна.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство:

 
Пусть a — прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости. Проведём прямую a через точку A пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая a перпендикулярна плоскости, то есть каждой прямой в этой плоскости.

1. Проведём произвольную прямую x через точку A в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой a. Проведём в плоскости  произвольную прямую, не проходящую через точку A и пересекающую прямые b, c и x. Пусть точками пересечения будут B, C и X.

 

2. Отложим на прямой a от точки A в разные стороны равные отрезки AM и AN.

 

3. Треугольник MCN равнобедренный, так как отрезок AC является высотой по условию теоремы и медианой по построению (AM=AN). По той же причине треугольник MBN тоже равнобедренный.

 

4. Следовательно, треугольники MBC и NBC равны по трём сторонам.

5. Из равенства треугольников MBC и NBC следует равенство углов MBX и NBX и, следовательно, равенство треугольников MBX и NBX по двум сторонам и углу между ними.

 

6. Из равенства сторон MX и NX этих треугольников заключаем, что треугольник MXN равнобедренный. Поэтому его медиана XA является также высотой. А это и значит, что прямая x перпендикулярна a. По определению прямая a перпендикулярна плоскости.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

 

2. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

 

6. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

AB -наклонная.
B - основание наклонной.

 

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

AC - перпендикуляр.

C - основание перпендикуляра.

 

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

 

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

CB - проекция наклонной AB на плоскость α.

Треугольник ABC прямоугольный.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.

∢ CBA - угол между наклонной AB и плоскостью α.

Если AD>AB, то DC>BC

 

Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.

∢DAB - угол между наклонными
∢DCB - угол между проекциями
Отрезок DB - расстояние между основаниями наклонных.

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Справедлива также обратная теорема:

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Из вершины S к плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр BS и наклонные SA, SC и SD.

Назови все прямоугольные треугольники с вершиной S, обоснуй свой ответ.

Рисунок:

ABCD квадрат, все углы которого равны по 90 градусов.

1. Грань ASB - прямоугольный треугольник,

2. Грань BSC - прямоугольный треугольник,

т.к. BS - перпендикуляр к плоскости.

3. Грань DSC - прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах:

CD⊥BC,т.к.ABCD− квадрат.

SB⊥BC,т.к.перпендикуляр}⇒CD⊥SC

значит, ∢SCD=90

4. Грань ASD - прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах:

AD⊥AB,т.к.ABCD− квадрат

SB⊥AB,т.к.перпендикуляр}⇒AD⊥SA

значит, ∢SAD=90.

 

 

 

 

 

Тема 2.2 Координаты и векторы.

1. Понятие вектора

Вектор — в простейшем случае математический объект, характеризующийся величиной и направлением.

В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке и концом в точке принято обозначать как . Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда — чёрточкой) над ними, например .

Модуль вектора.

Модулем вектора называется число, равное длине отрезка . Обозначается, как .Через координаты вычисляется, как:

Операции над векторами:

Сложение векторов.

В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:

Для геометрического построения вектора суммы используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

Правило треугольника.

Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов и некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило многоугольника.

Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и так далее, сумма же векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом -го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.

Правило параллелограмма.

Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала. (Легко видеть, что эта диагональ совпадает с третьей стороной треугольника при использовании правила треугольника).

Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых — то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

Модуль суммы векторов.

Модуль суммы двух векторов можно вычислить, используя теорему косинусов:

, где косинус угла между векторами и .

Если векторы изображены в соответствии с правилом треугольника и берется угол по рисунку — между сторонами треугольника — что не совпадает с обычным определением угла между векторами, а значит и с углом в приведенной формуле, то последний член приобретает знак минус, что соответствует теореме косинусов в её прямой формулировке.

Для суммы произвольного количества векторов применима аналогичная формула, в которой членов с косинусом больше: по одному такому члену существует для каждой пары векторов из суммируемого набора. Например, для трех векторов формула выглядит так:

Вычитание векторов.

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов: .

Для получения вектора разности начала векторов соединяются и началом вектора будет конец , а концом — конец . Если записать, используя точки векторов, то .

Модуль разности векторов.

Три вектора , как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным:

Где — косинус угла между векторами и

Отличие от формулы модуля суммы в знаке перед косинусом, при этом надо хорошо следить, какой именно угол берется (вариант формулы модуля суммы с углом между сторонами треугольника при суммировании по правилу треугольника по виду не отличается от данной формулы для модуля разности, но надо иметь в виду, что тут берутся разные углы: в случае суммы берётся угол, когда вектор переносится к концу вектора , когда же ищется модель разности, берётся угол между векторами, приложенными к одной точке; выражение для модуля суммы с использованием того же угла, что в данном выражении для модуля разности, отличается знаком перед косинусом).

Умножение вектора на число.

Умножение вектора на число , даёт сонаправленный вектор с длиной в раз больше.

Умножение вектора на число , даёт противоположно направленный вектор с длиной в раз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число: .

Исходя из определения получается выражение для модуля вектора, умноженного на число: .

Аналогично, как и числами, операции сложение вектора с самим с собой можно записать через умножение на число:

А вычитание векторов можно переписать через сложение и умножение: .

Исходя из того, что умножение на не меняет длины вектора, а меняет только направление и учитывая определение вектора, получаем:

Скалярное произведение векторов.

Для геометрических векторов скалярное произведение определяется через их геометрические характеристики и вводится следующим образом:

Здесь для вычисления косинуса берётся угол между векторами, который определяется как величина угла, образованного векторами, если приложить их к одной точке (совместить их начала).

Это выражение можно переписать через координаты (здесь формула для трехмерного пространства): .

Пример 1.

Найти скалярное произведение векторов  и , если 

Решение: Используем формулу . В данном случае:

Ответ: 

Скалярным квадратом вектора называется его скалярное произведение само на себя и может быть вычислено через модуль вектора:

.

Векторное произведение векторов.

Векторным произведением двух векторов и называется такой вектор , который ортогонален плоскости векторов и , его длина равняется площади параллелограмма, образованного векторами, а направление определяется по правилу правой руки.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов  и  есть вектор , где  - координатные векторы.

Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора , а в третьей – координаты вектора  в заданной прямоугольной системе координат:

Пример.

В прямоугольной системе координат заданы два вектора . Найдите их векторное произведение.

По второму определению векторное произведение двух векторов в координатах записывается как:

К такому же результату мы бы пришли, если бы векторное произведение записали через определитель

Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением трёх векторов называется число, определяемое следующим образом: .

Модуль этой величины даёт объём параллелепипеда, построенного на векторах .

Пример.

Даны координаты трех векторов в прямоугольной системе координат . Найдите смешанное произведение .

Решение.

смешанное произведение векторов может быть вычислено через определитель матрицы третьего порядка, строками которой являются координаты векторов, то есть,

2. Разложение векторов по координатным осям. Нахождение координаты векторов.

Для любого вектора  , который лежит в плоскости  , имеет место следующее разложение:

Если вектор  расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид: 

Пример 1. Зная разложение  по базисной системе векторов: , записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что .

Пример 2.

В трехмерном евклидовом пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz. Известно, что точка А имеет координаты , а вектор . Найдите координаты конца вектора .

Решение.

Так как координаты вектора  равны разности соответствующих координат точек конца и начала вектора, то справедливо . Подставим координаты точки А: .

С другой стороны из условия задачи .

Нам известно, что в прямоугольной системе координат векторы равны тогда, когда равны их соответствующие координаты. Тогда, приравнивая соответствующие координаты, приходим к системе уравнений
 
откуда находим координаты точки В, то есть, конца вектора :

 

3. Решение задач методом координат на нахождение координат середины отрезка

Середина отрезка - это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

Координаты середины отрезка 

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и заданы две точки  и . Получим формулы для нахождения координат точки С, которая является серединой отрезка АВ.

Рассмотрим общий случай.

Пусть  и  - проекции точек А, В и С на координатные оси Оx, Оу и Oz соответственно.

По теореме Фалеса , следовательно, точки  есть середины отрезков  соответственно. Тогда  

4. Скалярное произведение векторов

Определение: Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Обозначение: скалярное произведение обозначается через  или просто .

Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов  – это числа, косинус угла – число, то их произведение  тоже будет числом.

Пример 1.

Найти скалярное произведение векторов  и , если 

Решение: Используем формулу . В данном случае:

Ответ: 

2.3Многогранники. Тела вращения. Измерения в геометрии.

1. Понятие многогранника

Многогранник – это тело, граница которого состоит из кусков плоскостей ( многоугольников ). Эти многоугольники называются гранями, их стороны – рёбрами, их вершины – вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие две вершины и не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник – выпуклый, если все его диагонали расположены внутри него.

Призма

Призма — многогранник, 2 грани это (равные) многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а оставшиеся грани — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками. Либо (что тоже самое) — это многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, а боковыми гранями — параллелограммы.

2. Вычисление площадей и объема прямоугольного параллелепипеда, прямой и наклонной призмы

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней этого параллелепипеда: S= 2(Sa+Sb+Sc)= 2(ab+ bc+ ac)

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: V= SH= abc

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания и высоты.

Sбок = p * h

где:
Sбок — площадь боковой поверхности

p — периметр основания призмы (многоугольника, лежащего в основании);
h — высота призмы (для прямоугольной — это длина бокового ребра призмы).

Полная площадь поверхности призмы равна сумме площадей боковой поверхности и площадей оснований. Sполн= Sбок+ 2Sосн

Объем прямой призмы равен произведению площади основания н длины бокового ребра.

V = Sбок * l

где:
V — объем призмы;
Sбок — площадь основания призмы (многоугольника, лежащего в основании призмы);

l — длина бокового ребра призмы.

Наклонная призма — это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию.

ABCD;KLMN — основания призмы.

AKLB;BLMC;DNMC;AKND — бoковые грани. Вcе бoковые грани наклонной призмы являются параллелограммами.

AK;BL;CM;DN — боковые рёбра. Боковые рёбра параллельны между собой и равны.

KF=h — высота наклонной призмы ( перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания ).Часто перпендикуляр проводят с одной из вершин верхнего основания.

∠KAF=α — угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Площадью полной поверхности наклонной призмы называется сумма площадей всех её граней.

Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту

V=S(ABCD)⋅h

Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра. S=Pп*l

Объём наклонной призмы равен площади перпендикулярного сечения на боковое ребро. V=Sп*l

Перпендикулярное сечение — пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру.

3. Правильная и усеченная пирамида. Объем наклонной пирамиды.

Пирамида — многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани являются треугольниками, которые имеют общую вершину.

Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Формулы для усечённой пирамиды:

Объём пирамиды , где — площади оснований, — высота усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней усечённой пирамиды.

Правильная усечённая пирамида — многогранник, образованный правильной пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Формулы:

 (Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы)

, где  — площади оснований, а  — двугранный угол при основании пирамиды.

Объем наклонной пирамиды:

4. Понятие цилиндра. Объем цилиндра. Вычисление площади поверхности цилиндра

Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Объём цилиндра

Для наклонного цилиндра существуют две формулы:

Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

,

Объём равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):

,

где  — длина образующей, а  — угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра .

Для прямого цилиндра ,  и , и объём равен:

Для кругового цилиндра:

где d — диаметр основания.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой  и длиной , равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

В частности, для прямого кругового цилиндра:

, и 

Для наклонного цилиндра площадь боковой поверхности равна длине образующей, умноженной на периметр сечения, перпендикулярного образующей:

Простой формулы, выражающей площадь боковой поверхности косого цилиндра через параметры основания и высоту, в отличие от объёма, к сожалению, не существует. Для наклонного кругового цилиндра можно воспользоваться приближёнными формулами для периметра эллипса, а затем умножить полученное значение на длину образующей.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.

Для прямого кругового цилиндра: 

5. Понятие конуса. Объем конуса. Вычисление площади поверхности конуса

Конус — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Элементы конуса:

Свойства:

Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.

Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

где α — угол раствора конуса.

Площадь боковой поверхности такого конуса равна

а полная площадь поверхности (т. е. сумма площадей боковой поверхности и основания)

где R — радиус основания, l — длина образующей.

Объём кругового конуса равен

Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

где S1 и S2 — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

6. Сфера и шар. Объем шара и площадь сферы

Сфера — это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы).

Основные геометрические формулы:

Площадь поверхности сферы

Объём шара, ограниченного сферой

Раздел 3. Начала математического анализа.

Тема 3.1. Последовательности.

1. Числовая функция и ее график.

Числовая функция  — функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество). Числовые множества — это множества натуральных (), рациональных (), вещественных () и комплексных чисел () вместе с определёнными над соответствующими множествами алгебраическими операциями и с заданным на каждом множестве отношении линейным порядком. Числовые пространства — это числовые множества вместе с функцией расстояния, заданной на соответствующем множестве.

Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу x из множества X определённое число y, то говорят, что задана функция y=f(x) с областью определения X.

Областью определения функции y=f(x)  называют множество всех значений x , для которых функция имеет смысл.

 

Множество всех значений функции y=f(x), x∈X называют областью значений функции.

Пишут: y=f(x),x∈X

x - независимая переменная (аргумент)

y - зависимая переменная

D(f) - область определения функции

E(f) - область значения функции

Задать функцию - это значит указать правило, которое позволяет по произвольно выбранному значению  x∈D(f) вычислить соответствующие значение y.

Способы задания функции:

 - Табличный способ наиболее широко распространен (таблицы логарифмов, квадратных корней), основное его достоинство – возможность получения числового значения функции, недостатки заключаются в том, что таблица может быть трудно читаема и иногда не содержит промежуточных значений аргумента.

Например:

Аргумент х принимает заданные в таблице значения, а у определяется соответственно этому аргументу х.

- Графический способ заключается в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Часто для наглядности масштабы на осях принимают разными.

 

 

Например: для нахождения по графику у, которому соответствует х =  2,5 необходимо провести перпендикуляр к оси х на отметке 2,5. Отметку можно довольно точно сделать с помощью линейки. Тогда найдем, что при х = 2,5 у равно 7,5, однако если нам необходимо найти значение у при х равном 2,76, то графический способ задания функции не будет достаточно точным, т.к. линейка не дает возможности для столь точного замера.

Достоинства этого способа задания функций заключаются в легкости и целостности восприятия, в непрерывности изменения аргумента; недостатком является уменьшение степени точности и сложность получения точных значений.

 - Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими формулами. Основным достоинством этого способа является высокая точность определения функции от интересующего аргумента, а недостатком является затрата времени на проведение дополнительных математических операций.

Например:

Функцию можно задать с помощью математической формулы y=x2, тогда если х = 2, то у = 4, возводим х в квадрат.

- Словесный способ состоит в задании функции обычным языком, т.е. словами. При этом необходимо дать входные, выходные значения и соответствие между ними.

Например:

Написать последовательность всех неотрицательных чисел, кратных числу 5.

Решение. Так как на 5 делятся все числа, оканчивающиеся на 0 или на 5, то последовательность запишется так:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

 - Рекуррентный  Последовательность также задается формулой, но не формулой общего члена, зависящей только от номера члена. Задается формула, по которой каждый следующий член находят через предыдущие члены. В случае рекуррентного способа задания функции всегда дополнительно задается один или несколько первых членов последовательности.

Например:  Выписать первые четыре члена последовательности {an},

если a1=7; an+1 = 5+an.

Решение.

a2 =5+a1=5+7=12;

a3 =5+a2=5+12=17;

a4 =5+a3=5+17=22. Ответ: 7; 12; 17; 22; ... .

2. Последовательности. Предел последовательности

Последовательность — это набор элементов некоторого множества:

для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;

это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;

для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Последовательность по своей природе — отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.

В математике рассматривается множество различных последовательностей:

числовые последовательности;

временные ряды как числовой, так и не числовой природы;

последовательности элементов метрического пространства

последовательности элементов функционального пространства

последовательности состояний систем управления и автоматов.

Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементов топологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространстве окрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятие предела числовой последовательности, возникающее в математическом анализе, где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построении дифференциального и интегрального исчислений.

Обозначение: 

3. Предел функции.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Если в точке  у функции  существует предел, равный , то говорят, что функция  стремится к  при стремлении  к , и пишут одним из следующих способов:

, или

.

Если у функции  существует предел на бесконечности, равный , то говорят, что функция  стремится к  при стремлении  к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

, или

.

Если у функции  существует предел на плюс бесконечности, равный , то говорят, что функция  стремится к  при стремлении  к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

, или

.

Если у функции  существует предел на минус бесконечности, равный , то говорят, что функция  стремится к  при стремлении  к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

, или

.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Пример 1.

Вычислить предел 

Подставляем значение:

Пример 2.

Вычислить предел 

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.

Пример 3.

Вычислить предел 

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1, то если разложить на множители эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Наш предел примет вид:

Пример 4.

Вычислить предел 

 
Степень числителя равна семи, то есть m=7. Степень знаменателя также равна семи n=7. Разделим и числитель и знаменатель на . 

4. Первый и второй замечательный предел.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Пример 1.

Пример 2.

Тема 3.2 Производная.

1.Производная функции (геометрический и физический смысл). Правила вычисления производных.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Геометрический и физический смысл производной:

Скорость изменения функции.

Пусть  — закон прямолинейного движения. Тогда  выражает мгновенную скорость движения в момент времени  Вторая производная  выражает мгновенное ускорение в момент времени 

Вообще производная функции  в точке  выражает скорость изменения функции в точке , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью 

Пример 1.

Материальная точка движется прямолинейно по закону  , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени  .

Решение.

1. Найдем производную функции :

2. Найдем значение производной в точке :

Ответ: 60 м/с.

Пример 2.

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где  — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение.

Найдем производную функции  :

По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 2.

Получаем уравнение:

Решим его:

,  - не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.

Геометрический смысл производной:

На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x — x0устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0.

Тангенс угла наклона касательной прямой.

Если функция  имеет конечную производную в точке  то в окрестности  её можно приблизить линейной функцией

Функция  называется касательной к  в точке  Число  является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсом угла наклона касательной прямой.

При­мер 1.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние

В за­да­че речь идёт о зна­че­ни­ях про­из­вод­ной функ­ции. Кроме того, изоб­ра­же­ны ка­са­тель­ные к гра­фи­ку и углы их на­кло­на к оси Ох. Зна­чит, необ­хо­ди­мо вос­поль­зо­вать­ся гео­мет­ри­че­ским смыс­лом про­из­вод­ной. В точке  ка­са­тель­ная к гра­фи­ку про­хо­дит под углом , зна­чит, . Ана­ло­гич­но, . По­лу­ча­ем 

При­мер 2.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Ре­ше­ние

Най­дем про­из­вод­ную в точке . В этой точке ка­са­тель­ная па­рал­лель­на оси абс­цисс, по­это­му . В точке  угол на­кло­на ка­са­тель­ной , зна­чит, . По­лу­ча­ем .

При­мер 3.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции  и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой . Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции  в точке .

Ре­ше­ние

Зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции  в точке  равно тан­ген­су на­кло­на ка­са­тель­ной к по­ло­жи­тель­но­му на­прав­ле­нию оси . Зна­чит, нам необ­хо­ди­мо найти тан­генс этого угла.

Най­дем тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной по опре­де­ле­нию. Для этого най­дем тан­генс угла , смеж­но­го с ис­ко­мым. Найти это зна­че­ние из тре­уголь­ни­ка  не по­лу­чит­ся, так как мы не можем по ри­сун­ку опре­де­лить длины его сто­рон, по­это­му най­дем по­доб­ный ему тре­уголь­ник, ко­то­рый про­хо­дит через точки с из­вест­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми. На­при­мер, тре­уголь­ник , в нем . Ис­поль­зуя опре­де­ле­ние три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке, по­лу­ча­ем, что . Зна­чит, . .Зна­чит, .

Таблица производных:

Правила вычисления производных.

Пусть функции  и  имеют производные в точке . Тогда:

1. Константу можно выносить за знак производной.

Пример

2. Производная суммы/разности.

Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

Пример

3. Производная произведения.

Пример

4. Производная частного.

Пример

5. Производная сложной функции.

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргумента  по основному аргументу .

 и  имеют производные соответственно в точках  и  . Тогда

2. Производная сложной функции.

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке , то сложная функция  также имеет производную в точке .

Пример

Задание. Найти производную сложной функции 

Решение. Используем правила дифференцирования и таблицу производных сложных функций:

Ответ. 

Таблица производных сложных функций

3. Производная тригонометрической функции.

Найти производную функции 

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция. 
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

4. Применение производной к решению задач по физике.

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

В физике производная применяется  в основном для вычисления наибольших или наименьших значений каких-либо величин

Пример 1.

В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по закону , где  – длина стержня, отсчитавшая от его начала. Найти линейную плотность в точке:

отстоящей от начала стержня на 3см;

в конце стержня.

Решение.

Ответ: 15г/см; 103г/см.

Пример 2. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента , задается формулой . Найдите силу тока в момент времени .

 

Решение.

Ответ: 19А.

Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону , где  - перемещение в сантиметрах,  - время в секундах. В какой момент времени скорость точки будет равна 33см/с?

Решение.

Ответ:

5. Исследование функции с помощью производной. Монотонность. Экстремумы функции.

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция  f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция  f(x) убывает на этом интервале.

Определение:

x0 называется критической точкой функции  f(x), если

1) x0 – внутренняя точка области определения  f(x) ;

2) f'(x0)=0 или f'(x0) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x0– точка экстремума функции  f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x0 производная функции меняет знак, то x0 – точка экстремума функции  f(x).

Примеры экстремумов:

Монотонная функция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

При­мер 1.

Найти про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния и убы­ва­ния функ­ции .

Ре­ше­ние

Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции: . Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: . Те­перь най­дем кри­ти­че­ские точки, то есть точки, в ко­то­рых про­из­вод­ная равна 0 или не опре­де­ле­на. Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции  не огра­ни­че­на, по­это­му пе­рей­дем к по­ис­ку точек, в ко­то­рых она равна нулю.

Кри­ти­че­ские точки раз­би­ва­ют об­ласть опре­де­ле­ния про­из­вод­ной на три про­ме­жут­ка, най­дем ее знак на каж­дом про­ме­жут­ке.

  

Функ­ция воз­рас­та­ет на тех про­ме­жут­ках, на ко­то­рых ее про­из­вод­ная неот­ри­ца­тель­на, то есть  воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ках .

Функ­ция убы­ва­ет на тех про­ме­жут­ках, на ко­то­рых ее про­из­вод­ная непо­ло­жи­тель­ная, то есть  убы­ва­ет на про­ме­жут­ке .

При­мер 2.

Найти про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния и убы­ва­ния функ­ции .

Ре­ше­ние

Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции: .

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: .

Те­перь най­дем кри­ти­че­ские точки, то есть точки, в ко­то­рых про­из­вод­ная равна 0 или не опре­де­ле­на. Функ­ция  не опре­де­ле­на в точке .

Те­перь най­дем нули функ­ции .

Кри­ти­че­ские точки раз­би­ва­ют об­ласть опре­де­ле­ния про­из­вод­ной на три про­ме­жут­ка, най­дем ее знак на каж­дом про­ме­жут­ке.

 

 воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ках .

 убы­ва­ет на про­ме­жут­ке .

6. Наибольшее и наименьшее значение функции.

Если функция  определена и непрерывна на отрезке  , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение  функция  принимает в точке , то будет локальным максимумом функции , так как в этом случае существует окрестность точки , такая, что .

Однако свое наибольшее значение  функция  может принимать и на концах отрезка  . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение  непрерывной на отрезке  функции , надо найти все максимумы функции на интервале и значения  на концах отрезка , то есть  и , и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.

Наименьшим значением  непрерывной на отрезке  функции  будет наименьший минимум среди всех минимумов функции  на интервале  и значений  и .

Пример

Задание. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке  .

Решение. Находим производную функции:

Находим точки, в которых производная равна нулю:

Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку  . Оба значения лежат в этом промежутке.

Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка:

Таким образом,

Ответ. 

7. Касательная к графику функции.

Рассмотрим рисунок.

На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.

Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.

При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f - это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).

Уравнение касательной

Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:

y = k*x + b.

Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0), то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0)*x + b.

Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) – f’(x0)*x0.

Подставляем полученное значение в уравнение касательной:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) – f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Пример.

Найдем уравнение касательной к графику функции f(x) = x3 – 2x2 + 1 в точке с абсциссой 2.

Решение.

Следуем алгоритму.

1) Точка касания xо равна 2. Вычислим f(xо):

 f(xо) = f(2) = 23 – 2 ∙ 22 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Находим f ′(x). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х2 = 2х, а х3 = 3х2. Значит:

f ′(x) = 3х2 – 2 ∙ 2х = 3х2 – 4х.

Теперь, используя полученное значение f ′(x), вычислим f ′(xо):

f ′(xо) = f ′(2) = 3 ∙ 22 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Итак, у нас есть все необходимые данные: xо = 2, f(xо) = 1, f ′(xо) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение:

у = f(xо) + f ′(xо) (x – xо) = 1 + 4 ∙ (х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7.

Ответ: у = 4х – 7.

Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Определить х0.

2. Вычислить f(x0).

3. Вычислить f’(x)

4. Вычислить f’(x0)

5. Подставить полученные значения в уравнение касательной y= f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

8. Построение графиков функции. Асимптоты.

Горизонтальные асимптоты

Определение 1. Прямая называется горизонтальной асимптотой, если или .

Пример 1. Нетрудно найти, что . Следовательно, — горизонтальная асимптота. Аналогично, .

Бесконечные пределы в бесконечности

Определение 2. Если значения можно сделать как угодно большими, беря иксы достаточно большими, то пишут , и говорят что предел функции при ,

стремящемся к бесконечности, равен бесконечности.

Аналогичные смыслы несут в себе следующие три записи: , ,

и .

Пример 2. и .

Пример 3. . Здесь числитель и знаменатель данной дроби

поделили на , старшую степень в знаменателе. Числитель получившейся дроби стремится к , а знаменатель — к .

Наклонные асимптоты

Некоторые кривые имеют асимптоты, которые ни горизонтальны, ни вертикальны.

Более конкретно, если или , то прямая

при называется наклонной асимптотой. Геометрический смысл наклонной асимптоты состоит в том, что вертикальное расстояние между графиком

и прямой стремится к . Для рациональных функций наклонные

асимптоты имеют место, когда степень числителя на единицу больше степени знаменателя.

Общий план исследования функции

Нахождение области определения функции.

Это очень важный шаг исследования функции, так как все дальнейшие действия будут проводиться на области определения.

В нашем примере нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел.

(В других примерах могут быть корни, логарифмы и т.п. Напомним, что в этих случаях область определения ищется следующим образом:
для корня четной степени, например,  - область определения находится из неравенства ;
для логарифма  - область определения находится из неравенства ).

Перейти к подробному описанию как найти область определения функции...

Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.

На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты, если односторонние пределы функции в этих граничных точках бесконечны.

В нашем примере граничными точками области определения являются .

Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы:

Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые  являются вертикальными асимптотами графика.

Исследование функции на четность или нечетность.

Функция является четной, если . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.

Функция является нечетной, если . Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.

Если же ни одно из равенств не выполняется, то перед нами функция общего вида.

В нашем примере выполняется равенство , следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси oy.

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств  и  соответственно.

Точки, в которых производная обращается в ноль, называютстационарными.

Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Находим производную на области:

Находим критические точки, для этого:

-Находим стационарные точки (они же нули числителя): в нашем примере;

-Находим нули знаменателя: .

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Как вариант, можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим плюс над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим минус и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим плюс.

Делаем вывод:

-функция возрастает на промежутке  и на промежутке ;

-функция убывает на промежутке  и на промежутке .

Схематично плюсами / минусами отмечены промежутки где производная положительна / отрицательна. Возрастающие / убывающие стрелочки показывают направление возрастания / убывания.

Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена и проходя через которые производная меняет знак.

В нашем примере точкой экстремума является точка х=0 . Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку х=0 , то (0; 0) является точкой локального максимума. (Если бы производная меняла знак с минуса на плюс, то мы имели бы точку локального минимума).

Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решениями неравенств  и  соответственно.

Иногда вогнутость называют выпуклостью вниз, а выпуклость – выпуклостью вверх.

Здесь также справедливы замечания, подобные замечаниям из пункта про промежутки возрастания и убывания.

Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции :

-находим вторую производную;

-находим нули числителя и знаменателя второй производной;

-разбиваем область определения полученными точками на интервалы;

-определяем знак второй производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку вогнутости, знак «минус» - промежутку выпуклости.

Находим вторую производную на области определения.

Далее ищем нули числителя и знаменателя.

В нашем примере нулей числителя нет, нули знаменателя .

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак второй производной внутри каждого полученного промежутка.

Делаем вывод:

-функция выпуклая на промежутке ;

-функция вогнутая на промежутке  и на промежутке .

Точка  называется точкой перегиба , если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через .

Другими словами, точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции.

В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак проходя через точки , а они не входят в область определения функции.

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.

Горизонтальные или наклонные асимптоты следует искать лишь тогда, когда функция определена на бесконечности.

Наклонные асимптоты ищутся в виде прямых , где  и .

Если k=0 и b не равно бесконечности, то наклонная асимптота станет горизонтальной.

 - горизонтальная асимптота.

На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика.

Вычисляем значения функции в промежуточных точках.

Для более точного построения графика рекомендуем найти несколько значений функции в промежуточных точках (то есть в любых точках из области определения функции).

Для нашего примера найдем значения функции в точках х=-2 , х=-1 , х=-3/4 ,х=-1/4 . В силу четности функции, эти значения будут совпадать со значениями в точках х=2 , х=1 , х=3/4 , х=1/4. 

Построение графика.

Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =).

Осталось провести линии графика через отмеченные точки, приближая к асимптотам и следуя стрелочкам.

Пример . 
Построить график функции .

График имеет вертикальную асимптоту .
Нули функции ; ось ординат кривая пересекает в точке .
Горизонтальных асимптот нет: на бесконечности функция стремится к бесконечности.
Ищем наклонные асимптоты:
,
т.е. асимптота .

Производная функции:
.
Стационарные точки . По промежуткам знакопостоянства производной определяем промежутки монотонности функции:
на интервалах  функция монотонно возрастает, на промежутке  монотонно убывает.
Следовательно, локальный максимум .

Вторая производная функции:
.
Таким образом, точка  - точка перегиба. Левее неё функция выпуклая, правее - вогнутая. Информации достаточно для построения графика.

Тема 3.3 Первообразная и интеграл.

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла его свойства

Первообразной или примитивной функцией данной функции  называют такую , производная которой (на всей области определения) равна , то есть . Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция  является первообразной . Так как производная константы равна нулю,  будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как  или  и т.д.; таким образом, семейство первообразных функции  можно обозначить как , где  — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения .

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если  — первообразная интегрируемой функции , то:

Свойства первообразной:

Первообразная суммы равна сумме первообразных

Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции  является непрерывность  на этом отрезке

Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции  первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу

У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Неопределённый интеграл для функции  — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция  определена и непрерывна на промежутке  и  — её первообразная, то есть  при , то

 ,

где С — произвольная постоянная.

Таблица основных неопределённых интегралов:

 

 

: 

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа  такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Пример

2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

Пример

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Пример

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла

Пример

5. Неопределенный интеграл от суммы/разности двух и больше функций равен сумме/разности неопределенных интегралов от этих функций

Пример

6. Если , то и , где функция  - произвольная функция с непрерывной производной.

Пример

Известно, что , а тогда

2. Вычисление неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования

Определение

Метод интегрирования, при котором интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Таким образом, алгоритм действий следующий:

тождественное преобразование подынтегральной функции;

применение свойств неопределенного интеграла: вынесение константы за знак интеграла, представление интеграла от суммы функций в вид суммы интегралов;

использование таблицы интегралов.

В простейших примерах для применения непосредственного интегрирования достаточно разложить подынтегральную функцию на слагаемые и постоянные величины вынести за знак интеграла.

При определенной практике интегрирования обычно эти действия проводят устно, записывая лишь результат интегрирования.

Примеры решения интегралов данным методом

Пример.

Найти интеграл 

Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к нескольким табличным.

3. Вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.

Интегрирование заменой переменной:

Суть данного метода заключается в том, что в рассмотрение вводится новая переменная интегрирования или, что тоже самое, делается подстановка. После этого заданный в условии интеграл сводится либо к табличному интегралу, либо к нему сводящемуся.

Если в неопределенном интеграле  сделать подстановку , где функция  - функция с непрерывной первой производной, то тогда  и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что:

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание

После нахождения интеграла по новой переменной  необходимо вернуться к первоначальной переменной .

Замечание

В некоторых случаях целесообразно делать подстановку , тогда

Примеры решения интегралов данным методом

Пример

Задание. Найти интеграл 

Решение. Сделаем замену переменной: , далее приведем интеграл к табличному виду и решим его. В конце решения делаем обратную замену.

Ответ. 

4. Вычисление неопределенного интеграла по частям.

Рассмотрим функции  и , которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

Полученное равенство перепишем в виде:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл  можно свести к нахождению интеграла , который может быть более простым.

Замечание

В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.

Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:

1)   ;     ;   

Здесь  - многочлен степени ,  - некоторая константа. В данном случае в качестве функции  берется многочлен, а в качестве  - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется  раз.

Примеры решения интегралов данным методом:

Пример

Задание. Найти интеграл 

Решение. В исходном интеграле выделим функции  и , затем выполним интегрирование по частям.

Ответ. 

5. Определенный интеграл и его геометрический смысл.

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ,определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. какF(b) - F(a)).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

          

Равенство называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

                  

Примеры вычислений:

Далее приведены примеры взятий определенных интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

 

 

 

6. Основные свойства определенного интеграла.

Свойства определенных интегралов

7. Способы вычисления определенного интеграла

Основные методы вычисления определенного интеграла:

Непосредственное применение формулы Ньютона-Лейбница

 Метод заключается в вычислении первообразной для подынтегральной функции (т.е. в вычислении неопределенного интеграла) и применении затем формулы Ньютона-Лейбница.

Пример.

Замена переменной в определенном интеграле

 Метод заключается в переходе к новому аргументу интегрирования путем преобразования подынтегрального выражения по некоторой формуле, при этом пределы интегрирования изменяются, и при вычислении интеграла возврат к старому аргументу не проводится.

 

Пример 1.

.

Пример 2.

Вычислить 

Интегрирование по частям для определенного интеграла

 Метод заключается в применении формулы интегрирования по частям для определенного интеграла:

 

Пример

 

8. Вычисление площадей плоских фигур.

Разность F (b)– F (a) называется интегралом от функции f (x) на отрезке [ a ; b ] и обозначается так: = F (b)– F (a) – формула Ньютона-Лейбница.

Геометрический смысл интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:

.

Вычисление площадей с помощью интеграла.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x),  и прямыми х=а, х= b :

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x),  и осью Ох:

 Допустим, что на плоскости Oxy дана фигура, которую ограничивает отрезок [a,b], принадлежащий прямой Ox, прямые x=a, x=b и график неотрицательной функции f(x) в отрезке [a,b]

 

Площадь этой фигуры можно вычислить, используя формулу  S=F(b)−F(a), где F(x) является первообразной функции f(x) (т.е., F'(x)=f(x))

Пример 1.

Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми 

Ре­ше­ние.

Вот ис­ко­мая пло­щадь:

Пре­де­лы ин­те­гри­ро­ва­ния .

 

=.

Вы­чис­ли­ли пло­щадь кри­во­ли­ней­ной фи­гу­ры.

Ответ: 

Пример 2.

Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми 

Ре­ше­ние.

Фи­гу­ра, огра­ни­чен­ная ли­ни­я­ми 

В нашем слу­чае .

=-(-1)+1=1+1=2.

Ответ: 2

Пример 3.

Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

Ре­ше­ние.

Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

 

.

.

Ответ: 

Пример 4.

Найти пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми 

Ре­ше­ние.

Схе­ма­ти­че­ски изоб­ра­зим па­ра­бо­лу  Корни 

Рис. 6. Па­ра­бо­ла 

И при­ме­ним ее для дан­ной функ­ции  и пре­де­лов ин­те­гри­ро­ва­ния

 

.

Ис­ко­мая пло­щадь най­де­на. 

Ответ:

Литература:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 -11 классы. В 2ч. (базовый уровень) . М.: Мнемозина, 2013

2. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 -11 классы М.: ОАО «Московские учебники», по лицензии ОАО «Издательство «Просвещение», 2011

3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 11 кл.: базовый и профильный уровни . М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2010
методические указания и контрольные задания
DOC / 3.68 Мб