12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917
Лицензия на образовательную деятельность №0001058
Пользовательское соглашение     Контактная и правовая информация
 
Педагогическое сообщество
УРОК.РФУРОК
Материал опубликовала
Копецкая Марина Геннадьевна355
Россия, Коми респ., Сыктывкар
Материал размещён в группе «Методические разработки»
1

Методические указания к практическим работам для студентов специальности 08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений» по учебной дисциплине «Математика»

Коми Республикаса велöдан, наука да том йöз политика министерство

Министерство образования, науки и молодежной политики Республики Коми

Государственное профессиональное образовательное учреждение

«Сыктывкарский целлюлозно – бумажный техникум»

Методические указания к практическим работам

для студентов специальности

08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»

по учебной дисциплине «Математика»

Сыктывкар, 2017

Рассмотрено на заседании ПЦК

общеобразовательных дисциплин

Протокол заседания ПЦК № 7 от 15.03. 2017

Председатель ПЦК __________Ветрова Н.Н.

Разработал преподаватель математики

_______________ Копецкая М.Г.

Рецензенты: Бурханов З.Р. методист

Содержание

Пояснительная записка.

Ход выполнения практической работы.

Критерии оценивания практической работы.

Методические указания к выполнению практических работ:

Практическая работа №1 «Действия над векторами».

Практическая работа №2 «Решение практических задач на вычисление площадей поверхностей и объемов призм».

Практическая работа №3 «Вычисление площадей поверхностей и объемов пирамид и усеченных пирамид».

Практическая работа №4 «Решение практических задач на выполнение земляных работ и строительных конструкций».

Практическая работа №5 «Решение задач на вычисление площадей поверхности и объемов цилиндров».

Практическая работа №6 «Решение задач на вычисление площадей поверхности и объемов конусов и усеченных конусов».

Практическая работа №7 «Решение задач на вычисление площадей поверхности и объемов шара»

Практическая работа №8 «Решение задач на элементы комбинаторики»

Практическая работа №9 «Вычисление вероятностей случайных событий».

Практическая работа№10 « Решение задач на вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения».

Список литературы.

Пояснительная записка

Настоящие методические указания по дисциплине ЕН.01 Математика для специальности 08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений составлены в соответствии с требованиями ФГОС третьего поколения. Методические указания для выполнения практических работ составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине ЕН.01 Математика для 2 курса специальностей СПО и является частью учебно-методического комплекса. Всего на практические работы для специальности 08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений отводится 20 часов аудиторного времени.

Содержание практических работ позволяет сформировать следующие умения:

выполнять необходимые измерения и связанные с ними расчеты;

вычислять площади и объемы деталей строительных конструкций,

вычислять объемы земляных работ;

применять математические методы для решения профессиональных задач;
Студент должен знать:

основные понятия о математическом синтезе и анализе,

основные понятия дискретной математики,

основные понятия теории вероятности и математической статистики;

основные формулы для вычисления площадей фигур и объемов тел, используемых в строительстве;

роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.

Практические занятия направлены на формирование учебных и профессиональных практических умений, они составляют важную часть теоретической и профессиональной практической подготовки студентов и способствуют формированию общих компетенций, включающих в себя способность:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Практические занятия по математике направлены на формирование

профессиональных компетенций, соответствующих видам деятельности:

ПК 1.1. Подбирать строительные конструкции и разрабатывать несложные узлы и детали конструктивных элементов зданий.

ПК 1.3.Проектировать строительные конструкции с использованием информационных технологий.

ПК 1.4.Разрабатывать проект производства работ на несложные строительные объекты.

ПК 2.3.Проводить оперативный учет объемов выполняемых работ и расхода материальных ресурсов.

ПК 2.4. Осуществлять мероприятия по контролю качества выполняемых работ.

ПК 3.3.Контролировать и оценивать деятельность структурных подразделений.

ПК 4.1. Принимать участие в диагностике технического состояния конструктивных элементов эксплуатируемых зданий.

ПК 4.2. Организовывать работу по технической эксплуатации зданий и сооружений в соответствии с нормативно-технической документацией.

ПК 4.3. Выполнять мероприятия по технической эксплуатации конструкций и инженерного оборудования зданий.

ПК 4.4. Осуществлять мероприятия по оценке технического состояния и реконструкции зданий.

В содержании каждой практической работы указывается цель работы, какие формируются учебные и профессиональные практические умения, порядок выполнения работы, рекомендуемые информационные источники, краткие теоретические сведения или формулы, примеры решения задач, вопросы для самоконтроля, варианты заданий для самостоятельного решения, критерий оценки.

Практические работы необходимо выполнять в тетрадях для практических работ с указанием номера, темы, целей работы.

Критерий оценивания практических работ

Отметка «5» ставиться, если:

- работа выполнена полностью;

- в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

- выполнено 75-90% заданий;

- либо работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны;

- допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являются специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставиться, если:

- выполнено 60-75% заданий;

- допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

- выполнено менее 60% заданий;

- допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.


 


 


 


 

Перечень практических работ

п/п

Название практической работы

Кол-во часов

1

Практическая работа №1. Действия над векторами

2

2

Практическая работа №2. Решение практических задач на вычисление площадей поверхностей и объемов призм.

2

3

Практическая работа №3. Вычисление площадей поверхностей и объемов пирамид и усеченных пирамид.

2

4

Практическая работа №4. Решение практических задач на выполнение земляных работ и строительных конструкций

2

5

Практическая работа №5. Решение задач на вычисление площадей поверхности и объемов цилиндров.

2

6

Практическая работа №6. Решение задач на вычисление площадей поверхности и объемов конусов и усеченных конусов.

2

7

Практическая работа №7. Решение задач на вычисление площадей поверхности и объемов шара

2

8

Практическая работа №8. Решение задач на элементы ком бин бинаторики.

2

9

Практическая работа №9. Вычисление вероятностей случайных событий.

2

10

Практическая работа №10. Решение задач на вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

2

Практическая работа №1

.

Тема: «Выполнение действий над векторами».

Цель работы: сформировать у студентов умение находить координаты вектора; производить действия над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на число), вычислять скалярное произведение; вычислять угол между векторами; находить проекцию вектора на ось.

При выполнении практической работы студент должен знать:

определения: вектора, модуль вектора, равные вектора;

правила работы с векторами;

условия перпендикулярности и коллинеарности векторов;

скалярного произведения векторов.

Студент должен уметь:

находить координаты вектора

вычислять скалярное произведение;

находить угол между векторами;

находить проекцию вектора на ось.

Практические занятия по математике направлены на формирование общих и профессиональных компетенций, соответствующих видам деятельности:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием

ПК 1.3. Выполнять несложные расчеты и конструирование строительных конструкций.

Порядок выполнения работы:

1.Изучить теоретический материал по теме «Вектора в пространстве».

2.Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Выполнить самостоятельную работу.

5. Сдать отчет по проделанной работе.

Перечень справочной литературы:

1.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В.Богомолов, Москва «Высшая школа»,2006г.-495с.

2.Богомолов Н.В. Математика: Учеб. для ссузов / Н.В.Богомолов, П.И Самойленко.- М.: Дрофа, 2002.-400 с.

http://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/vektory-v-prostranstve-9248/poniatie-vektora-v-prostranstve-9286/re-6af61d7b-6a37-43c4-89da-a53ecd204480

Краткие теоретические сведения

Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы своими координатами.

1). Сложение двух векторов производится поэлементно, то есть если , то в координатной форме записывается:

2) Умножение вектора на число.

В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a1 ; a2; ... ; an} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a1; k · a2; ... ; k · an}

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.

Решение: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}.

3). Координаты вектора.

Вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay ; Az) и B(Bx ; By ; Bz) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {Bx - Ax ; By - Ay ; Bz - Az}

Пример 2. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).

Решение: AB = {3 - 1; 1 - 4; 1 - 5} = {2; -3; -4}.

4)Длина вектора.

Если даны две точки пространства  и , то длину отрезка  можно вычислить по формуле 

Пример 3

Даны точки  и . Найти длину отрезка .

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ: 

5. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

6. Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Пример 4. Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и b = {4; 4; 2}.

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a·= 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

|a| = √32 + 42 + 02 = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √42 + 42 + 22 = √16 + 16 + 4 = √36 = 6

Найдем угол между векторами:

cos α = 

a · b

 

28

 

14

|a| · |b|

5 · 6

15

           

Контрольные вопросы

Как найти сумму векторов заданных координатами?

Как найти разность векторов заданных координатами?

Как найти произведение вектора на число?

Как вычислить координаты середины отрезка?

Как вычислить координаты вектора?

Как найти длину вектора?

Назовите условие равенства двух векторов.

Что такое скалярное произведение векторов?

Как найти косинус угла между векторами?

Назовите условие коллинеарности векторов.

Как проверить перпендикулярность векторов, заданных координатами?

Как найти проекцию вектора на ось?

Задания для самостоятельной работы.

Вариант 1

п/п

Название операции

Формулы

1

Найти сумму векторов

2

Найти разность векторов

3

Найти произведение вектора на число

,

4

Вычислить координаты середины отрезка

Точка A. Точка B (-3;4;-1 .Точка С- середина отрезка АВ. С(;.

5

Найти координаты вектора

Точка A Точка B (-1;4;-7Находим координаты вектора . Из координат конца вычислить координаты начала вектора

6

Найти длину вектора

7

Вычислить скалярное произведение векторов

8

Найти косинус угла между векторами

9

При каких значениях и векторы коллинеарны?

10

Проверьте перпендикулярность векторов

- условие перпендикулярности векторов

Вариант 2

п/п

Название операции

Формулы

1

Найти сумму векторов

2

Найти разность векторов

3

Найти произведение вектора на число

,

4

Вычислить координаты середины отрезка

Точка A Точка B (2;-3;1 Точка С- середина отрезка АВ. С(,

.

5

Найти координаты вектора

Точка A Точка B (1;-4;7.

Находим координаты вектора . Из координат конца вычислить координаты начала вектора

6

Найти длину вектора

7

Вычислить скалярное произведение векторов

8

Найти косинус угла между векторами

9

При каких значениях и векторы коллинеарны?

 

10

Проверьте перпендикулярность векторов

- условие перпендикулярности векторов

Критерий оценки: «5» - 9-10 заданий; «4» -7-8 заданий; «3» -5-6 заданий

Практическая работа №2.

«Решение практических задач на вычисление площадей поверхностей и объемов призм».

Цель занятия: сформировать умение решать задачи на вычисление площадей поверхности и объемов призм.

При выполнении практической работы студент должен знать:

определение призмы, параллелепипеда, куба и их элементы;

виды призм: прямая, наклонная; правильная;

виды параллелепипедов: прямой, наклонный, прямоугольный, куб;

диагональные сечения призмы, параллелепипеда, куба;

формулы нахождения площадей основания, боковой поверхности, полной поверхности и объемов призм.

Студент должен уметь:

Вычислять площадь основания, боковой поверхности, полной поверхности и объем призм.

Практические занятия по математике направлены на формирование общих и

профессиональных компетенций, соответствующих видам деятельности:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием.

ПК 1.3. Выполнять несложные расчеты и конструирование строительных конструкций.

Порядок выполнения работы:

1.Изучить теоретический материал по теме «Решение практических задач на вычисление площадей поверхностей и объемов призм».

2.Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Выполнить самостоятельную работу.

5. Сдать отчет по проделанной работе.

Перечень справочной литературы:

1.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В.Богомолов, Москва «Высшая школа»,2006г.-495с.

2.Богомолов Н.В. Математика: Учеб. для ссузов / Н.В.Богомолов, П.И Самойленко.- М. : Дрофа, 2002.-400 с.

http://elhow.ru/ucheba/geometrija/geometricheskie-ponjatija/chto-takoe-prizma

http://ru.wikihow.com/найти-площадь-поверхности-призмы

Краткие теоретические сведения.

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников A1A2An и B1B2Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой Многоугольники A1A2An и B1B2Bn называются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы

Рис.1

Рис.2 Высотой призмы называется перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на плоскость другого (Рис.2) Если боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то — призма прямая (Рис.3) Рис.3


 

Если нет, то призма наклонная (Рис.4). Если в прямой призме основание — правильный многоугольник — призма правильная. Перпендикулярное сечение призмы — это такое сечение, которое образовано плоскостью перпендикулярной к её боковому ребру.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей её боковых граней

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы

Параллелепипед — это призма, основание которой — параллелограмм. Параллелепипед имеет шесть граней и все они параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Основанием параллелепипеда может быть любая грань.

Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней прямоугольники называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны.

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого - квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны, а площадь поверхности куба равна сумме площадей шести его граней, т.е. площади квадрата со стороной H умноженной на шесть. Площадь поверхности куба равна:

1.

S = 6

 Объем куба равен кубу его ребра V =

Образец решения заданий

Задача1. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Пло­щадь ее по­верх­но­сти равна 288. Най­ди­те вы­со­ту 

Ре­ше­ние.

Ги­по­те­ну­за ос­но­ва­ния равна 10. Вы­со­ту най­дем из вы­ра­же­ния для пло­ща­ди по­верх­но­сти :

 

.

Ответ: 10.

Задача 2. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пря­мой приз­мы, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб с диа­го­на­ля­ми, рав­ны­ми 6 и 8, и бо­ко­вым реб­ром, рав­ным 10.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на ромба  вы­ра­жа­ет­ся через его диа­го­на­ли  и  фор­му­лой

 

.

Най­дем пло­щадь ромба

 

Тогда пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы равна

Ответ: 248.

Задача 3. Най­ди­те бо­ко­вое ребро пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы, если сто­ро­на ее ос­но­ва­ния равна 20, а пло­щадь по­верх­но­сти равна 1760.

Решение.

Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы вы­ра­жа­ет­ся через сто­ро­ну ее ос­но­ва­ния  и бо­ко­вое ребро  как

 

Под­ста­вим зна­че­ния  и :

 

,

от­ку­да на­хо­дим, что 

Ответ: 12.

Задача 4. Сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли 2300  воды и по­гру­зи­ли в воду де­таль. При этом уро­вень воды под­нял­ся с от­мет­ки 25 см до от­мет­ки 27 см. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в 

Решение.

По за­ко­ну Ар­хи­ме­да объем де­та­ли равен объ­е­му вы­тес­нен­ной ею жид­ко­сти. Объем вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен 2/25 ис­ход­но­го объ­е­ма:

 

Ответ: 184. В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли воду. Уро­вень воды до­сти­га­ет 80 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень воды, если ее пе­ре­лить в дру­гой такой же сосуд, у ко­то­ро­го сто­ро­на ос­но­ва­ния в 4 раза боль­ше, чем у пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см.


Контрольные вопросы.

Что такое призма (основания призмы, боковые грани, рёбра)?

Что такое высота призмы?

Что такое диагональ призмы?

Что представляет собой диагональное сечение призмы?

Какая призма называется прямой (наклонной)?

Какая призма называется правильной?

Что такое боковая поверхность призмы (полная поверхность призмы)?

Чему равна боковая поверхность прямой призмы?

Что такое параллелепипед?

Перечислите свойства параллелепипеда.

Какой параллелепипед называется прямоугольным?

Что такое линейные размеры прямоугольного параллелепипеда?

Что такое куб?

Чему равен квадрат диагонали в прямоугольном параллелепипеде?

Как рассчитать объем куба, прямоугольного параллелепипеда?

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

Длина, ширина, высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 3 см, 6 см, 7 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

Найдите сторону основания и высоту правильной четырёхугольной призмы, если площадь полной поверхности равна 40 см2, а площадь боковой поверхности равна 8 см2

Найдите объём прямого параллелепипеда, если его основание имеет стороны 4 см и 5 см, угол между ними 45, а боковые рёбра равны 8 см.

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 4 см и составляет с плоскостью боковой грани угол 30º . Найдите объём призмы.

Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и острым углом в 60º. Меньшее из диагональных сечений является квадратом. Найти объём призмы.

Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Больший катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней. Найти объём призмы.

Сколько кг краски потребуется для покраски (с учетом пола и потолка) помещения размерами 12 х 5 х 3 метра, если расход краски на 1 м2 составляет 250 г? 2 вариант

Длина, ширина, высота прямоугольного параллелепипеда соответственно равны 1 см, 4 см, 5 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

Найдите сторону основания и высоту правильной четырёхугольной призмы, если площадь полной поверхности равна 52 см2, а площадь боковой поверхности равна 44 см2.

Найдите объём прямого параллелепипеда, если его основание имеет стороны 3 см и 4 см, угол между ними 30, а боковые рёбра равны 6 см..

Найти объём прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны 12 см и 16 см, а диагональ параллелепипеда составляет 45º с плоскостью основания. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны 12 см и 16 см, а диагональ параллелепипеда составляет 45º с плоскостью основания.

Основанием прямой призмы является ромб со стороной 6 см и острым углом в 60º. Меньшее из диагональных сечений является квадратом. Найти объём призмы.

Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 8 см. Меньший катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней. Найти объём призмы.

Критерий оценок по заданиям самостоятельной работы:

«5» -6 заданий; «4» -5 заданий; «3» -4 задания;


 

Практическая работа №3

«Вычисление площадей поверхностей и объемов пирамид и усеченных пирамид».

Цель занятия: сформировать умение решать задачи на вычисление площадей поверхности и объемов пирамид и усеченных пирамид.

При выполнении практической работы студент должен знать:

определение пирамиды, усеченной пирамиды (основание пирамиды, боковые грани, рёбра, высота);

виды пирамид (правильная, неправильная);

формулы для расчета площадей и объемов пирамид, усеченных пирамид;

связь между стороной основания правильной треугольной пирамиды и радиусами вписанной и описанной окружности;

двугранный угол при основании правильной пирамиды;

Студент должен уметь:

производить расчет площадей поверхности т объемы пирамиды и усеченной пирамиды;

решать простые задачи на применение пирамиды в строительстве Практические занятия по математике направлены на формирование общих и профессиональных компетенций, соответствующих видам деятельности:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ПК 2.3. Проводить оперативный учет объемов выполняемых работ и расхода материальных ресурсов.

Порядок выполнения работы:

1.Изучить теоретический материал по теме «Пирамида. Усеченная пирамида»

2.Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Выполнить самостоятельную работу.

5. Сдать отчет по проделанной работе.

Перечень справочной литературы:

1.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В.Богомолов, Москва «Высшая школа»,2006г.-495с.

2.Богомолов Н.В. Математика: Учеб. для ссузов / Н.В.Богомолов, П.И Самойленко.- М. : Дрофа, 2002.-400 с.

Краткие теоретические сведения

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.

Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр. Четырехугольная — пятигранник и т.д

.


 

Если основание пирамиды — правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания, то — пирамида правильная. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется — апофема правильной пирамиды.

Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, была правильной. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды


 

Образцы решения задач

Задача №1. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де  ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка  равна 2; объем пи­ра­ми­ды равен 6. Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние. От­ре­зок  вы­со­та тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды , ее объем вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой 

Таким об­ра­зом, 

Ответ: 9.

 

Задача 2. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де  ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния  пе­ре­се­ка­ют­ся в точке . Пло­щадь тре­уголь­ни­ка  равна 9; объем пи­ра­ми­ды равен 6. Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

от­ре­зок  вы­со­той тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды , ее объем вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

Таким об­ра­зом, 

Ответ: 2.


 

Задача 3. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де  точка  – центр ос­но­ва­ния,  – вер­ши­на,   Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

в пра­виль­ной пи­ра­ми­де вер­ши­на про­еци­ру­ет­ся в центр ос­но­ва­ния, сле­до­ва­тель­но  яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра 

Ответ: 5.

Задача 4.  В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де  точка  – се­ре­ди­на ребра ,  – вер­ши­на. Из­вест­но, что =3, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 45. Най­ди­те длину от­рез­ка .


 

Ре­ше­ние.

Най­дем пло­щадь грани :

 

От­ре­зок  яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка , а зна­чит, его вы­со­той. Тогда

 

Ответ: 10.

Задача5.В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка L — се­ре­ди­на ребра AC, S — вер­ши­на. Из­вест­но, что BC = 6, а SL = 5. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

От­ре­зок SL яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка SAC, а зна­чит, и его вы­со­той. Бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды равны, по­это­му

Ответ: 45.

Задача 6. Дана правильная четырехугольная пирамида.

Стороны основания a = 3 см, все боковые ребра b = 4 см. Найдите объем пирамиды.

Решение:


Для начала вспомним, что для расчета объема потребуется высота пирамиды. Мы можем найти ее по теореме Пифагора. Для этого нам потребуется длина диагонали, а точнее – ее половина. Тогда зная две из сторон прямоугольного треугольника, мы сможем найти высоту. Для начала находим диагональ:

Подставим значения в формулу:


Высоту h мы найдем с помощью d и ребра b:


Теперь найдем площадь квадрата, который лежит в основании правильной пирамиды:

Подставим найденные значения в формулу расчета объема:
Ответ:13,5

Контрольные вопросы.

Что такое пирамида (основание пирамиды, боковые грани, рёбра, высота)?

Что представляет собой сечения пирамиды плоскостями, проходящимися через её вершину?

Что такое диагональное сечение пирамиды?

Объясните, что такое усечённая пирамида?

Какая пирамида называется правильной?

Что такое апофема правильной пирамиды?

Чему равна боковая поверхность правильной пирамиды?

Как найти объем пирамиды?

Как найти объем усеченной пирамиды?

Какое применение нашли пирамиды в строительстве


 

Задания для самостоятельной работы

1 вариант

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 4 см, а сторона основания равна 6 см. Найдите объём пирамиды.

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а высота 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см, плоский угол при вершине 60º. Найти объём пирамиды.

Дана четырёхугольная пирамида, высота которой 6 см. На расстоянии 4 см от вершины пирамиды проведена плоскость параллельная основанию. Найти площадь поверхности и объём пирамиды, если площадь поверхности полученной пирамиды равна 25 см2 , а объём равен 53 см3 .

По стороне основания и высоте h найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной

2 вариант

1. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45º . Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найти объём пирамиды.

2.В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 10 дм, а высота равна 8 дм. Найдите объём пирамиды.

3.В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а высота 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

4.По стороне основания и высоте h найдите боковое ребро правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.

Сколько литров воды вмещает яма, вырытая в виде усечённой пирамиды, если высота ямы 1,5м, сторона нижнего основания 0,8м, верхнего – 1,2м?

Критерий оценок по заданиям самостоятельной работы:

«5» -5 заданий «4» -4 заданий; «3» -3 задания; «2» - меньше 3 заданий


 

Практическая работа №4

«Решение практических задач на выполнение земляных работ и строительных конструкций».

Цель работы: сформировать умение вычислять объём котлована, объём обратной засыпки котлована, если внутри котлована установлен фундамент. Уметь выполнять деление чисел с остатком и находить количество промежутков между поперечными стержнями конструкций.

При выполнении практической работы студент должен знать:

Формулу расчета объема земляных работ при отрывке котлована;

Формулу расчета объёма обратной засыпки котлована;

Формулу расчета Объем земляных работ при отрыве траншеи:

Студент должен уметь:

вычислять объем земляных работ при отрывке котлована;

вычислять объёма обратной засыпки котлована.

Практические занятия по математике направлены на формирование общих и профессиональных компетенций, соответствующих видам деятельности:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием

ПК 1.3. Выполнять несложные расчеты и конструирование строительных конструкций.

ПК 2.3. Проводить оперативный учет объемов выполняемых работ и расхода материальных ресурсов.


 

Порядок выполнения работы:

1.Изучить теоретический материал по теме.

2.Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

3. Ответить на контрольные вопросы.

4. Выполнить самостоятельную работу.

5. Сдать отчет по проделанной работе.

Перечень справочной литературы:

http://www.studfiles.ru/preview/2656286


 

Краткие теоретические сведения

Решение задач на выполнение земляных работ.

В общем случае объем земляных работ при отрывке котлована будет:

,

где hср – средняя глубина котлована, м;

F1, F2, F0 – площадь котлована соответственно понизу, поверху и посередине, м2.

 

 

hmax1 = hmin +il = 1,5 + 0,020 × 15,50 = 1,86 м.

Средний размер сторон котлована:

a11 = 15,50 м. a12 = a11 +2hср×m = 15,5 + 2 × 1,68 × 0.67 = 17,76 м.

Котлован под здание


 

Средний размер сторон котлована:

b11 = 54,50 м; b12 = b11 +2hср×m = 54,50 + 2 ×1,68 × 0.67 = 56,76 м;


 

Рисунок 6 Котлован под здание

F11 = а11b11 = 15,50 ×54,50 = 845 м2;

F12 = а12b12 = 17,76 × 55,63 = 988 м2;

F0 = а0b0 = 16,63 × 55,63 = 926 м2;

Vк1 = 

hmax1 = hmin +il = 1,86 + 0,020 × 18,00 = 2,28 м.

 

       
   

i =0,020

 

 
       
 

 

 

Рисунок 7 Котлован под здание

   

Средний размер сторон котлована:

a11 = 18,00 м. a12 = a11 +2hср×m = 18,0 + 2 ×2,07 × 0.67 = 20,78 м.

Средний размер сторон котлована:

b11 = 18,50 м; b12 = b11 +2hср×m = 18,50 + 2 ×2,07 × 0.67 = 21,28 м;

Рисунок 9 Котлован под здание

F11 = а11b11 = 18,00 × 18,50 = 333 м2;

F12 = а12b12 = 20,78 ×21,28 = 443 м2;

F0 = а0b0 = 19,39 × 19,89 = 386 м2;

Vк2 = 

V=V1+V2=1551+801=2352 м3;

Объем земляных работ при отрыве траншеи:

где F1, F2 – площади поперечного сечения траншеи на её концах в м2,

L – длина траншеи в м.(L=50 м.);

Ширину траншеи по дну принимаем b1 = 0,7 м;

Глубину траншеи(hтр) принимаем равной 3,00 м;

Крутизну откоса(m) устанавливаем в зависимости от вида грунта и глубины траншеи (m = 0,75);

b2 = b1 +2h × m = 0,7 + 2 · 3,00 · 0,75 = 4,12 м. ;

F1 = h(b1+ b2)/2 = 3,00 . (0.7+4.12)/2 = 7,23м;

hmax1 = hmin +il = 3 + 0,010 × 50 = 3,50м.

b3 = b1 +2h max1 × m = 0,7 + 2 · 3,50 · 0,75 = 5.95 м. ;

F2 = h max1 (b1+ b3)/2 = 3,50 . (0.7+5.95)/2 = 11.64 м;

VТ1 = F1 × L = 7,23 · 50 = 361.5 м;

VТ2 = F2 × L = 11,64 · 50 = 582 м;

V= (VТ1 + VТ2)/2=(361.5+582)/2=471.75 м;

Задания для самостоятельного решения:

ЗАДАЧА 1. Определить объём котлована, имеющего вид (смотрите рисунок). b2=5,7


 

2=6,3м Fср

1=4,3м

Н=2м

b1=3,7


 


 

Решение:

V = Fср · Н ; Fср = ;

1)Fср = = 4,7 · 5,3 = 24,91 м2 ;

2)V = 24,91 · 2 = 49,82 м3 ;

Ответ: 50м3 .

Задача 2. Определить объём обратной засыпки котлована, если внутри установлен фундамент в форме правильной призмы. Данные смотреть на рисунке, изображенном в разрезе.

1,8V


 


 

1,5м


 


 

0.2 1,0 0,2

Решение: Котлован –это правильная усечённая пирамида.

Vкотл. = Fср · Н. Fср =

Фундамент – это правильная четырёхугольная призма

Vпр. =Sосн. · h. Vобр.засыпки = Vкотлов. – Vфундамента.

Fср. =

Vкотл. = Fср. · Н = 2,52 · 2 = 5,04 (м3).

Vфунд. = 1 · 1 · 1,5 = 1,5 (м3) .

Vобр.засыпки = 5,04 – 1,5 = 3,54 (м3).

ОТВЕТ: 3,54 м3 .

Задача 3.

Дано:

200

= 6700

 

Опубликовано в группе «Методические разработки»


Комментарии (0)

Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.