Методическое пособие "Простейшие показательные уравнения"

Определение

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида:

a x = b, где a > 0, a ≠ 1.

Такое уравнение не имеет корней при b ≤ 0, а при b > 0 имеет единственный корень. Более сложные показательные уравнения решаются по следующей схеме:

Перевести все степени к одинаковому основанию. Желательно, чтобы оно было целым и минимальным. Например, вместо 4x лучше писать 22x, а вместо 0,01x — вообще 10−2x. Почему — узнаете из примеров.

В уравнениях, где есть умножение или деление, надо выполнить эти действия. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются

aman = am + n; am : an = am – n

Если все сделано правильно, получим уравнение вида

a f (x) = a g(x), где a — просто число. Его можно отбросить, поскольку показательная функция монотонна. Получим уравнение f (x) = g(x), которое легко решается.

Помните, что корни — тоже степени, но с дробным основанием:

.

Пример 1.

Решите уравнение:

Решение.

Приведем все степени к основанию 2:

4x = (22)x = 22x; а 256 = 28

Теперь перепишем исходное уравнение и выполним деление:

Получили простейшее показательное уравнение. Отбрасываем основание — получаем:

2x = −8 ⇒ x = −4

Ответ: −4

Пример 2.

Решите уравнение:

Решение

Снова приводим все степени к наименьшему целому основанию:

92x = (32)2x = 34x; 1 = 30; 27 = 33

Обратите внимание: число 27 не является целой степенью девятки. Именно поэтому надо приводить все степени к основанию 3, а не 9.

Возвращаемся к исходному уравнению:

Осталось избавиться от основания степени:

4x = −3 ⇒ x = −3/4 = −0,75

Ответ: −0,75

Пример 3.

Решите уравнение:

Решение

В уравнении присутствуют сразу 3  множителя, которые надо перевести в степени с одинаковым основанием:

Перепишем исходное уравнение:

Избавимся от основания — и после приведения дробей к общему знаменателю получим пропорцию:

Далее имеем: произведение крайних элементов пропорции равно произведению средних.

14 + 4x − 4 = −35 ⇒ 4x = −45 ⇒ x = −45 : 4 = −11,25

Ответ: −11,25

12 тренировочных задач.

Вариант 1.

 B1 Решите уравнение: 4x = 64

 B2 Решите уравнение:

 B3 Решите уравнение: 6x − 3 = 216

 B4 Решите уравнение: 93x = 27

 B5 Решите уравнение:

 B6 Решите уравнение: 57x − 9 = 511 − 3x

 B7 Решите уравнение:

 B8 Решите уравнение:

 B9 Решите уравнение:

 B10 Решите уравнение: 25 · 5x = 1

 B11 Решите уравнение:

 B12 Решите уравнение:

12 тренировочных задач.

Вариант 2.

Начало формы

B1 Решите уравнение: 3x = 81

B2 Решите уравнение: 10x = 0,0001

B3 Решите уравнение:

B4 Решите уравнение: 45x = 32

B5 Решите уравнение:

B6 Решите уравнение: 34 − 3x = 32x + 9

B7 Решите уравнение:

B8 Решите уравнение:

B9 Решите уравнение:

B10 Решите уравнение: 16 · 23x = 2

B11 Решите уравнение:

B12 Решите уравнение:

Приложение 1.

Например: ;

Приложение 2.

Приложение 3.

Степенью числа а > 0 с рациональным показателем

, где m – целое число, а n – натуральное (n > 1),

называется число  .

Итак,

Принятое обозначение:

Например:

Приложение 4.

Свойства степени

ПРИМЕР:

Представить в виде степени.
(3)3 • (3)2 = (3)3 + 2 = 35

Обратите внимание, что в указанном примере речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями.

Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (33 + 32) на 35. Это понятно, если посчитать 33 = 27 и 32 = 9; 27 + 9 = 36, а 35 = 243

Конец формы