Невероятное вероятно
О, сколько нам открытий чудных
Готовит просвещенья дух,
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг!
Здесь не будет такой математической строгости, как в учебнике;
Многие понятия дадим на интуитивном уровне;
Самое главное – это практика (т.е. решение задач)
События и их вероятности
(Решение задач по теме: «Классическая вероятность»)
Немного теории
Есть такие опыты, у которых заранее нельзя предугадать их результаты. Результаты такого опыта называются событиями.
Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт); выпадает двойка (событие).
Событие, которое обязательно произойдет в результате опыта, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным. Есть ещё случайные.
Пример: В мешке лежат три картофелины.
Опыт – взять овощ из мешка.
Достоверное событие – изъятие картофелины.
Невозможное событие – изъятие кабачка.
Свойства вероятности
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице: Р(А) = 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(А) = 0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 ≤ Р(А) ≤ 1.
Как определить вероятность события?
Р – вероятность
n – число всевозможных исходов
m – число благоприятных исходов
Р =
n
m
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, 5 − из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
Решение.
Всего участвует 20 спортсменок,
из которых 5 спортсменок из Китая.
Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна
20
5
В случайном эксперименте монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Решение.
Всего 4 варианта: о; о о; р р; р р; о.
Благоприятных 2: о; р и р; о.
Вероятность равна
2
1
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение:
1000 – 5 = 995 – насосов не подтекают.
Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна
995/1000 = 0,995.
Ответ: 0,995.
Решение:
100 + 8 = 108 – сумок всего (качественных и со скрытыми дефектами).
Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 100/108 = 0,(925) ≈ 0,93.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Ответ: 0,93.
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Ответ: 0,16.
Решение:
В последний день конференции запланировано
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов.
Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
Ответ: 0,36.
Решение:
Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России.
Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
Решение: Обозначим право владения первой мячом команды "Меркурий" в матче с одной из других трех команд как "Решка". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза.
«О» – орел, «Р» – решка.
Итак, всего исходов получилось 8,
нужных нам – 1, следовательно,
вероятность выпадения нужного
исхода 1/8 = 0,125.
Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Меркурий" по очереди играет с командами "Марс", "Юпитер", "Уран". Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда "Меркурий"?
Ответ: 0,125.
«Марс»
«Юпитер»
«Уран»
О
О
О
О
О
Р
О
Р
О
О
Р
Р
Р
О
О
Р
О
Р
Р
Р
О
Р
Р
Р
Решение.
В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации:
2 и 6
6 и 2
3 и 5
5 и 3
4 и 4
Всего 5 вариантов. Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых при первом броске выпало 2 очка.
Такой вариант 1.
Найдем вероятность: 1/5 = 0,2.
Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка.
Ответ: 0,2.
Решение.
При условии, что у Тоши выпало 3 очка, возможны следующие варианты:
3 и 1
3 и 2
3 и 3
3 и 4
3 и 5
3 и 6
Всего 6 вариантов. Подсчитаем количество исходов, в которых Гоша не выиграет, т.е. наберет 1, 2 или 3 очка.
Таких вариантов 3.
Найдем вероятность: 3/6 = 0,5.
Тоша и Гоша играют в кости. Они бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Тоша, у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Гоша не выиграет.
Ответ: 0,5.
Решение:
Всего команд 20, групп – 5.
В каждой группе – 4 команды.
Итак, всего исходов получилось 20, нужных нам – 4, значит, вероятность выпадения нужного исхода 4/20 = 0,2.
В чемпионате мира участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе.
Ответ: 0,2.
Решение: Обозначим право владения первой мячом команды «Физик" в матче с одной из трех команд как "Орел". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Решка». Итак, запишем все возможные исходы бросания монеты три раза в таблице:
«О» – орел, «Р» – решка.
Итак, всего исходов получилось 23 = 8, нужных нам – 3,
следовательно, вероятность выпадения нужного исхода равна:
3/8 = 0,375.
Ответ: 0,375.
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
Ф/1
ОР
ОР
ОР
ОР
РО
РО
РО
РО
Ф/2
ОР
ОР
РО
РО
ОР
ОР
РО
РО
Ф/3
ОР
РО
ОР
РО
ОР
РО
ОР
РО
Решение:
В сумме должно выпасть 5 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации:
1 и 4
4 и 1
2 и 3
3 и 2
Всего 4 варианта.
Ответ: 4.
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?
Решение:
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д – Дания, Ш –Швеция, Н – Норвегия):
Д − Ш − Н
Д − Н − Ш
Ш − Н − Д
Ш − Д − Н
Н − Д − Ш
Н − Ш − Д
Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна
Р = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33
Ответ: 0,33.
На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
Решение:
Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна:
2488/5000 = 0,4976 ≈ 0,498
В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
Ответ: 0,498.
Решение:
Пусть один из близнецов находится в некоторой группе.
Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников.
Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна
P = 12 : 25 = 0,48.
В классе 26 человек, среди них два близнеца – Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
Ответ: 0,48.
Решение:
Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна
51 : 1000 = 0,051.
Она отличается от предсказанной вероятности на
0,051 – 0,045 = 0,006.
Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
Ответ: 0,006.
Решение:
На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений.
Поэтому искомая вероятность равна:
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
Ответ: 0,25.
Методы теории вероятностей нашли своё отражение в жизни:
Рассчитать количество машин скорой помощи и врачей в условиях мегаполиса;
При расчётах всяких рисков (прибыль, потери, азартные игры);
При подсчитывании популяции животных
…………………
Итог, пожалуй, очевиден!
Он виден вам и мне он виден:
Среди хитросплетений разных
Найти вероятность – это праздник.
Не бойся совершать ошибки,
Они - познания улыбки.
Исправив их, пойдешь вперед,
А впереди - удача ждет.
И если смог вас научить,
Себя могу я похвалить.
А научились вы чему–то,
Не зря потрачены минуты
