Лекция по теории вероятностей по теме: «Вероятности сложных событий» для 2 курса СПО

Дисциплина – Теория вероятностей

Курс – 3

Вид занятия – лекция

Количество часов -2

Тема: «Вероятности сложных событий»

Содержание учебного материала.

Вероятность противоположных событий. Произведение событий, сумма событий. Условная вероятность. Теорема умножения. Независимые события. Сумма событий. Формулы Байеса.

Цель: 1) расширение знаний о вероятности случайных событий

2) Ввести новые формулы для вычисления вероятности случайных событий 3) Продолжить работу по формированию ОК 2,3,4

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

План:

1.Действия над событиями

2.Противоположные события

3.Вероятность противоположных событий

4.Несовместные события

5.Независимые события

6.Произведение событий, сумма событий

7.Теорема умножения

8. Формула полной вероятности

1.   Ход занятия

1.Организационный момент

2.Постановка целей, формулировка задач урока

3.Проверка домашнего задания

Теоретические вопросы для проверки домашнего задания:

1) Элементы комбинаторики

2) Определение комбинаторики

3) Какие выборки элементов называются размещениями?

4) Какие выборки элементов называются перестановками?

5) Какие выборки элементов называются размещениями?

6) Классическое определение вероятности

7) Испытание и событие

8) Определение события

4. Лекция "вероятности сложных событий"

1) Виды событий

- Достоверное событие

- Невозможное событие

- Случайное событие

2) Виды случайных событий

- Несовместные события

- Независимые события

3) Классическое определение вероятности

4) Статистическое определение вероятности

5) Относительная частота

5. Самостоятельная работа с конспектами

Итог занятия

Лекция: «Вероятности сложных событий»

Действия над событиями

В этом разделе приводятся основные правила операций над событиями с использованием для наглядности их графического изображения в виде диаграмм.

Вначале введем понятие “поле событий” как совокупности всех случайных событий данного испытания, для которых определены вероятности. На рис. 1 поле событий изображено в виде заштрихованного прямоугольника.

Рис.1. Поле событий

 

Рис. 2. Сумма событий           Рис. 3. Произведение событий

          

            Рис. 4. Достоверное событие        Рис. 5. Несовместные события  

          

 

 

Рис. 6. Противоположные события

1. Сумма (объединение) событий (рис. 2) представляет собой сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В. Объединение событий обозначается как , или .

2. Произведением (пересечением) событий А и В называется их совместное появление (рис. 3). Обозначается произведение событий как , или .

3. Достоверным событием называется событие, которое обязательно происходит в результате данного испытания (рис. 4). Оно обозначается обычно как Е.

4. Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данного испытания. Принятое обозначение – .

5. Несовместными называются события, которые в результате данного испытания не могут произойти вместе (рис. 5). События называются несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании.

Примеры несовместных событий: попадание и промах при выстреле, выпадение двух и трех очков при бросании игральной кости. Рис. 4.5 наглядно показывает, что для несовместных событий .

6. Противоположным к А событием называется событие, состоящее в непоявлении события А (рис. 6). Обозначается противоположное событие символом . Примеры противоположных событий: промах и попадание при выстреле, выпадение герба или цифры при одном подбрасывании монеты.

Основные правила вычисления вероятностей сложных событий

Ниже приведены основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события на основании известных вероятностей составляющих его более простых событий.

1. Вероятность достоверного события равна единице:

(1)

 2. Вероятность объединения (суммы) несовместных событий равна сумме их вероятностей:
(2)

                                                                       

3. Вероятность невозможного события равна нулю:

                                                                      (3)                        

    4. Вероятность события, противоположного событию А, равна

(4)

 

Эта формула оказывается полезной на практике в тех случаях, когда вычисление вероятности непосредственно события А затруднительно, в то время как вероятность противоположного события находится просто. 5. Теорема сложения вероятностей. Вероятность объединения произвольных событий равна сумме их вероятностей за вычетом вероятности произведения событий:

(5)

Для несовместных событий  и формула (5) переходит в (2).

 

6. Условная вероятность. 

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Если требуется найти вероятность события В при условии, что произошло некоторое другое событие А, то такую ситуацию характеризуют с помощью условной вероятности. Условная вероятность равна отношению вероятности произведения событий А и В к вероятности события А:

(6)

В тех случаях, когда события А и В несовместны,  и соответственно.

7. Определение условной вероятности в виде (6) дает возможность записать следующую формулу для вычисления вероятности произведения зависимых событий(теорема умножения вероятностей)

(7)

Вероятность произведения двух зависимых событий A и B произведению вероятности наступления события A на условную вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.

 

8. Поскольку вероятность события А (или В) для независимых событий по определению не изменяется при появлении другого события, то условная вероятность  совпадает с вероятностью события А, а условная вероятность  — с Р(В). Вероятности Р(А) и Р(В) в отличие от условных вероятностей называются безусловными.

, ,                                                   (8)

Теорема умножения вероятностей для независимых событий записывается следующим образом:

(9)

т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

10. Вычислим вероятность появления хотя бы одного события в n испытаниях

А – появление в n испытаниях хотя бы один раз интересующего нас события.

 – интересующее нас событие не появлялось в n испытаниях ни разу.

  – интересующее нас событие появилось в первом испытании.

  – интересующее нас событие появилось во втором испытании.

….

  – интересующее нас событие появилось в n-ом испытании.

(10)

Т.е. Вероятность появления хотя бы одного из событий , , ...,  , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

 

  :

 

11. Формула полной вероятности.

Если событие А может произойти только при появлении одного из несовместных событий, то

   (11)