Олимпиада по математике, (10 класс)

Школьный этап

Олимпиада школьников по математике

Сегодня осуществляется непрерывных поиск новых подходов, ориентированных, прежде всего, на развитие личности. Одними из наиболее жизнеспособных форм педагогической работы, решающих целый спектр задач по развитию детей, являются предметные олимпиады.

В отличии от уже тестовых заданий, целью которых является проверка усвоенных знаний, олимпиады и конкурсы способны решить обширный круг не только образовательных, но и воспитательных задач. Уже на этапе подготовки к олимпиадам создается особый микроклимат между преподавателями и учащимися, тесная связь, основанная на более доверительных отношениях. Это не только способствует укреплению авторитета учителя, но и в значительной мере формирует отношение ребят к учебному процессу в целом. Участие в олимпиадах стимулируют позитивное отношение к учебе не только на начальных этапах обучения, но и на протяжении всей последующей жизни.

Цель: выявить одаренных и талантливых обучающихся, развивать познавательный интерес обучающихся к предметной дисциплине «математика».

Задачи: предоставить возможность всем желающим обучающимся проверить свои знания в научной области «математика» в условиях соревнований; создать условия для реализации способностей, интересов обучающихся, профилизации в рамках выполнения программы работы с одаренными обучающимися; привлечь обучающихся к научно-практической деятельности; выявить наиболее способных обучающихся к участию в следующих этапах предметных олимпиад.

10 класс

Обращение к участникам олимпиады:

Уважаемые участники! На олимпиаде запрещается пользоваться сотовыми телефонами, калькуляторами и прочими электронными приборами. Запрещено списывать. Запрещается выходить из аудитории во время олимпиады.

1 тур

Время работы: 150 минут

Каждая задача оценивается в 7 баллов

Шесть попарных расстояний между четырьмя различными точками на плоскости равны . Найдите отношение .

Найдите все пары натуральных чисел , удовлетворяющие следующему условию: сумма первых нечетных натуральных чисел на 212 больше суммы первых четных натуральных чисел.

Найдите остаток от деления многочлена при делении на многочлен .

Критерий оценивания:

(Во второй тур проходит участник олимпиады набравший 14 и более баллов.)

2 тур

Время работы: 150 минут

Каждая задача оценивается в 7 баллов

Функция задается следующим образом: . Докажите, что для всех .

На сторонах и равностороннего треугольника взяты точки и , соответственно, так, что . Пусть - точка пересечения отрезков и . Докажите, что .

На доске написаны 100 чисел: . Каждую минуту проделывается следующая операция: какие-либо два числа стираются и вместо них пишется одно число . Через некоторое время на доске остается только одно число. Какое это число?