Олимпиада по математике в 6 классе

Школьный этап всероссийской олимпиады по математике.

2016-2017 учебный год.

6 класс

1). Произведение цифр трехзначного числа равно 135. Какова сумма цифр этого числа? (2 балла)

Ответ: 17.

Решение: Число 395 (или любое, составленное из цифр 3,9,5). 3 х 9 х 5 = 135, 3 + 9 + 5 = 17.

2). Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий? (2 балла)
Ответ : «Нет».
Решение: Так как первый и второй приятели дали различные ответы, то один из них – лжец, а другой – правдивый. Кроме того, правдивый не мог ответить «Нет» на предложенный ему вопрос, так как в этом случае он бы сказал неправду (среди двух оставшихся точно есть лжец). Следовательно, первый – лжец. Он солгал, значит, среди двух оставшихся должен быть лжец, и им может быть только третий приятель. Значит третий ответил «Нет».

3). Как разложить гирьки весом 1, 2, ..., 9 г в три коробочки так, чтобы в первой было две гирьки, во второй – три, в третьей – четыре, а суммарный вес гирек в коробочках был одинаковым? (3 балла)

Ответ: Например, 9+6, 8+2+5, 1+3+4+7

Решение: Суммарный вес гирек в каждой коробочке равен 15, (1+2+3+4+5+6+7+8+9):3=15.

4). Имеется 12 одинаковых по виду монет, среди которых одна фальшивая (она легче настоящей). Какое наименьшее количество взвешиваний нужно сделать, чтобы с помощью рычажных весов определить фальшивую монету? (3 балла)

Ответ: 3 взвешивания.

Решение: 1 взвешивание: положить на каждую сторону весов по 6 монет. Взять монеты с той стороны весов, которая вверху. 2 взвешивание: положить на каждую сторону весов по 3 монеты. Взять монеты с той стороны весов, которая вверху. 3 взвешивание: положить на каждую сторону весов по 1 монете. Взять монету с той стороны весов, которая вверху. Она фальшивая. Если весы в равновесии, то фальшивая монета та из трех, которую не положили на весы.

5). Лама, детёныш ламы и сено весят вместе 180 кг. Лама весит на 100 кг больше, чем детёныш и сено, вместе взятые. Сено весит в три раза меньше, чем детёныш ламы. Сколько весит детёныш ламы? Ответ подтвердите вычислениями. (4 балла)

Ответ: 30 кг.

Решение: из условия следует, что удвоенный вес ламы 100+180=280 кг. Значит, лама весит 140 кг. Тогда детёныш и сено вместе весят 180-140=40 кг. Сено весит в три раза меньше, чем детёныш, значит, его масса 10 кг, а масса детёныша 30 кг. Возможно решение с помощью уравнения.

Критерии оценивания 6 класс.

Максимальное количество баллов – 14 баллов.

1).

2).

3).

4).

5).

Методические рекомендации:

1). Задача на делимость чисел. Используется признак делимости на 5. Возможны разные варианты ответа.

2). Комбинаторная задача. Может быть решена отсечением лишних ветвей в дереве вариантов или рассуждениями.

3). Текстовая задача практического содержания. Возможны разные варианты ответа.

4). Текстовая задача практического содержания.

5). Текстовая задача практического содержания. Может быть решена с помощью уравнения или по действиям с комментариями.