Методические рекомендации «Опорные конспекты на уроках математики»

Использование опорных конспектов на уроке математики .

Составитель :Ершова Ольга Владимировна

На сегодняшний день требования образовательного стандарта и общества связаны со всесторонним развитием личности, подготовленностью учащихся к самостоятельному поиску знаний, обучению, самосовершенствованию в течение всей жизни. Задача учителя – обеспечить выполнение этих требований в условиях классов с детьми разного уровня готовности к восприятию материала. Эти же задачи ставил перед собой В.Ф. Шаталов, разрабатывая свою методику обучения школьников. Многолетний опыт его

работы и работы его последователей доказали ее эффективность. Основа методики Шаталова - это опорные конспекты. Использование на уроках опорных конспектов, способствует наилучшему представлению информации, ее усвоению и развитию мышления учащихся. Работа с опорными конспектами, составление структурно-логических схем способствуют представлению всего объема материала в сжатом виде, настраивают учащихся на вдумчивую и сосредоточенную работу на уроке. У них развиваются память, логическое, аналитическое, пространственное мышление, достигается высокая степень усвоения материала, формируются состояние «могу и умею» и чувство ответственности не только за себя, но и за своих товарищей. Все это, в конечном счете, содействует повышению уровня самооценки учащихся, способствует повышению профессиональных качеств будущих специалистов. Применение опорных конспектов в обучении значительно облегчает труд преподавателя и учащегося, способствует целостному восприятию предмета, развивает умственные способности учащихся, обеспечивает высокое качество знаний. В современном обучении данная методика немного устарела, и для того чтобы заинтересовать нынешних школьников, необходимо не отделяться от прогресса. Поэтому для мотивации учащихся в обучении математики актуально применение современных компьютерных технологий.

Организация проведения уроков математики с применением опорных конспектов

Применение опорных конспектов на уроках математики предполагает, что главной дидактической единицей остаётся урок с его конкретными целями и задачами. Основной целью здесь является активизация внутренних мыслительных процессов в ходе восприятия, обработки и воспроизведения информации в виде рисунков и пометок. К данному уроку применимы задачи классического уровня: образовательная, обучающая, воспитывающая. Образовательная сущность применения опорного конспекта состоит в формировании знаний посредством самостоятельной обработки новой информации. Развивающая задача заключается в продолжение развития логического мышления, памяти, монологической речи и творческих задатков. Воспитательная сводится к продолжению эстетического воспитания и культуры умственного труда. Всё это вместе взятое позволяет затрагивать глубинные психические процессы, связанные с откладыванием в памяти учащегося взаимосвязанных частей учебной информации.

Организация урока с применением опорных конспектов состоит из следующих этапов:

вводно-мотивационный

операционно-познавательный

контрольно-оценочный.

На первом этапе происходит знакомство учащихся с планом урока, его целями и задачами. Затем проводится краткий инструктаж работы с учебником, тетрадью, а также требованиями к оформлению опорной схемы. Познавательная деятельность учащегося на операционно-познавательном этапе направлена в основном на изучение учебного материала, результатом чего является структурно-логический конспект, составленный каждым учеником индивидуально. Это основной этап урока, где осуществляется наивысшая активизация внутренних процессов в ходе восприятия и переработки новой информации с помощью рисунков, знаков, символов. Здесь происходят три уровня усвоения учащимися знаний и умений: репродуктивный, конструктивный, творческий. На репродуктивном деятельность ученика направлена в основном на изучение и воспроизведение учебного материала. Это необходимо для создания базовых знаний всех школьников без исключения. Следует отметить, что ученик составляет рассказ с использованием своих рисунков-сигналов. На конструктивном (эвристическом) уровне учащиеся перекомбинируют, конструируют знания, добытые в ходе подготовки, т.е. на репродуктивном уровне. Здесь деятельность каждого ребенка направлена на сравнение, анализ и обобщение полученной информации. Новый учебный материал подвергается мыслительной переработке, а информация, которая основывается на логической структуре запоминания, из кратковременной памяти переходит в долговременную. Творческий уровень предполагает, что знания приобретаются учащимися в ходе самостоятельного поиска. Он проявляется в дополнении сведений по частным вопросам, использовании научно-популярной литературы, собственных наблюдений и т.д. На всех выше перечисленных уровнях учитель выступает в роли консультанта.

Далее следует контрольно-оценочный этап, где учащиеся по желанию или по выбору преподавателя воспроизводят текст учебника по своим конспектам. Таким образом, итогом работы ребенка является опорные схемы, структурно-логически выполненный, воспроизведённый им и оцененный учителем.

Требования для учащихся к оформлению опорного конспекта.

Учебный материал должен помещаться на одной странице тетради.

Пользоваться знаковыми системами любых учебных дисциплин или своими.

Необходимый текст оформлять печатными буквами.

При работе над конспектом, желательно применять четыре основных цвета (красный, зелёный, синий, черный). Работать только шариковой ручкой!

При составлении конспекта использовать дополнительную литературу.

При подготовке к уроку, желательно текст проговорить вслух.

Работа с учебной информацией по составлению и использованию опорных конспектов учащимися, как показывает практика, процесс творческий, увлекательный, дающий существенные результаты, как для учителя, так и для самих учащихся. Положительной стороной здесь является то, что: развивается монологическая речь, происходит выявление основного, главного учебного материала, улучшается качество обучения, знания становятся осмысленными, воспитывается художественный вкус, исчезает страх перед вызовом, развиваются творческие навыки, появляется уверенность в себе.

Обучать составлению опорных конспектов можно с шестого класса, т.к. учащиеся уже имеют определённые знания, умения, навыки. Потенциал конспектов огромен и не ограничивается только облегчением понимания учебного материала, его запоминания и воспроизведения. С его помощью удобно и быстро записывается лекционный материал, что, несомненно, поможет будущим студентам в получении выбранной профессии. В конечном счете, происходит усвоение и развитие учебной информации с помощью ассоциативного восприятия. Безусловно, в старших классах такая форма уже не будет ярко выражаться в рисунках, но, к тому времени учащиеся, как правило, уже вырабатывают свою индивидуальную знаковую систему.

 

Как составлять опорные конспекты?

1.     Детально изучить по программе содержание материала, по которому будет составляться опорный конспект для конкретного урока. Выписать основные термины, причинно – следственные связи, имена учёных, их вклад в науку, открытия.

2.     Соотнести требования программы с содержанием учебника (на одном уроке может изучаться материал одного или нескольких параграфов).

3.     Хорошо знать материал текста и иллюстрации учебника.

4.     Разбить данный материал на логически завершенные смысловые блоки (части).

5.      Выделить основные термины в каждом блоке.

6.     Составить черновой вариант опорных сигналов в каждом блоке, несколько раз откорректировать его в соответствии с принципами.

7.     Оформить смысловые блоки и опорные сигналы в них в окончательном варианте, в цвете.

Рисунки - сигналы должны быть простыми, чтобы их можно было легко и быстро изобразить на доске и в тетради и, чтобы при этом не требовалось специальное умение рисовать. Определения и формулировки не записывают. Можно поставить многоточие; этот знак является для учащихся сигналом, что здесь нужна точная словесная формулировка. Опорный конспект может иметь размеры тетрадного или машинописного листа. В верхней части опорного конспекта ставят его номер (порядковый номер урока), пишут название темы и параграф учебника.

Многоэтапная структура урока с опорными конспектами выглядит так:

1.     Мобилизующее начало (10-12 мин) – письменное воспроизведение по памяти опорных сигналов по предыдущей теме всеми учащимися на оценку. В то же время – тихий устный опрос некоторых учащихся с опорными конспектами в руках или громкий ответ учащегося по опорному плакату предыдущей темы.

2.     Записать на доске и в предметных тетрадях новую тему, обосновать цель урока (1-2 мин).

3.     Первичное объяснение (сжато) только основного нового материала с использованием доски и наглядных пособий, но без опорных сигналов.

4.     Вторичное объяснение нового материала (чтобы поняли и слабые) по узловым вопросам темы с демонстрацией опорного плаката (на двукратное объяснение нового материала отводится не менее 20 мин)

5.     Переписывание учащимися опорных сигналов (с доски, опорного плаката или под диктовку учителя). Иногда эта работа сливается с вторичным объяснением нового материала.

6.     Закрепление - самостоятельное чтение учебника.

7.     Задание на дом (изучить в учебнике нужный параграф и опорные сигналы, упражняться в их воспроизведении, уметь устно объяснить каждый сигнал).

Таким образом, учебная работа учащихся с одними и теми же опорными конспектами осуществляется несколько раз:

1) при вторичном объяснении нового материала (учитель вывешивает опорный плакат, водит по нему указкой и устно расшифровывает, объясняет смысл опорных сигналов);

2) при закреплении нового материала на уроке;

3) при выполнении домашнего задания;

4) при письменном воспроизведении сигналов в начале следующего урока;

5) при устном ответе учащихся по опорному плакату.

Домашняя подготовка учащихся к уроку занимает всего 10-15 мин., восстановлению в памяти пройденного материала помогают опорные сигналы.

Подготовка домашнего задания облегчается ещё и потому, что каждый учащийся уверен, что эта его работа не «пропадёт зря»: он на следующем уроке обязательно будет писать сигналы, и получит заслуженно минимум «3», а то и «4».

Этот психологический фактор - уверенность в себе - побуждает каждого к старательной учебе. На традиционном же уроке этого фактора нет, вместо уверенности, раскованности у многих возникает волнение, страх забыть ответ и получить «2».

Контроль, оценка. В.Ф.Шаталов решил проблему глобального поэтапного контроля ЗУН учащихся. Применяются сочетание постоянного внешнего контроля с самоконтролем и самооценкой, поэтапный контроль каждого, посильность требований, открытые перспективы для исправления, гласность результатов, отсутствие двойки, снятие страха перед низкой оценкой.

Формы контроля: письменный по опорным конспектам, самостоятельные работы, устный громкий опрос, тихий опрос, магнитофонный, парный взаимоконтроль, групповой взаимоконтроль, домашний контроль, самооценка.

Каждая оценка, получаемая учеником, заносится на открытый для обозрения лист учета знаний. Он представляет как бы послужной список ученика, а оценки приобретают значение положительной зашифрованной характеристики. Публикация такой характеристики играет огромную воспитательную роль. Очень важным обстоятельством в этой характеристике является то, что каждый ученик в любое время может исправить любую оценку на более высокую. В этом состоит принцип открытых перспектив. Каждая оценка, считает Шаталов, должна быть прежде всего стимулом, который обязательно должен вызывать положительную реакцию ученика. Двойки вызывают отрицательные эмоции, конфликт с учителем, с предметом. Шаталов исключает эти конфликтные ситуации.

Опорные конспекты. Геометрия 7 класс.

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ

Определение. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180.

Дано: АОВ и ВОС – смежные.

Доказать: АОВ + ВОС = 180.

Доказательство

АОВ+ВОС=АОС, АОС – развёрнутый, значит, АОВ+ВОС = 180, что и требовалось доказать.

Следствие. Если смежные углы равны, то они прямые.

Дано: АОВ и ВОС – смежные. АОВ = ВОС.

Доказать: АОВ и ВОС – прямые.

Доказательство

АОВ + ВОС=180, АОВ = ВОС = = 90, значит, АОВ и ВОС – прямые, что и требовалось доказать.

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Дано: 1 и 3, 2 и 4 – вертикальные.

Доказать: 1 = 3, 2 = 4.

Доказательство

1 и 2, 3 и 2 – смежные, значит

аналогично , ч. т. д.

Определение. Угловая мера меньшего из вертикальных углов называется углом между прямыми.

Угол между пересекающимися прямыми.

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ABC;

Доказать: ABC =

Доказательство:

А = А1, поэтому можно наложить ABC на А1В1С1, так что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1.

 

Т. о., АВС = А1В1С1, ч. т. д.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК. СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Основание АС.

Боковые стороны АВ и ВС.

Периметр Р = 2АВ + АС.

Углы при основании А и В.

Угол при вершине В.

Определение. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

АВ = ВС = АС

Свойство 1 равнобедренного треугольника

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: АВС – равнобедренный (АВ = АС).

Доказать: В = С.

Доказательство

Проведем биссектрису AD (1 = 2).

ТЕОРЕМА О БИССЕКТРИСЕ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Свойство 2 равнобедренного треугольника

Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Дано: АВС – равнобедренный, АВ = АС, AD – биссектриса.

Доказать: 1) AD – медиана, 2) AD – высота.

Доказательство

1. По условию AD – биссектриса АВС, поэтому 1 = 2.

3. BD = CD, AD – медиана АВС, ч. т. д.

4. 3 = 4

Поэтому AD – высота АВС, ч. т. д.

Мы установили, что медиана, биссектриса и высота треугольника совпадают.

Справедливы теоремы:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Теорема. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АВС, А1В1С1, АВ = А1В1, А = А1, В = В1.

Доказать: АВС = А1В1С1.

Доказательство

АВ = А1В1, поэтому можно наложить АВС на А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, сторона АВ – со стороной А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1.

 

Т. о., АВС = А1В1С1, ч. т. д.

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АВС, А1В1С1, АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = А1С1.

Доказать: АВС = А1В1С1.

Доказательство

АВ = А1В1, поэтому можно приложить АВС к А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В – с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.

Возможны три случая: луч С1С проходит внутри ; луч С1С проходит вне А1С1В1; луч С1С совпадает с одной из сторон .

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: а с = А, b с = В, 1 и 2 накрест лежащие, 1 = 2

Доказать: а || b.

Если 1 = 2 = 90, то a  АВ и b АВ, тогда а || b.

Пусть углы 1 и 2 не прямые.

Разделим отрезок АВ пополам, получим О.

Проведем ОН  a.

На прямой b от точки В отложим ВН1 = АН и проведем отрезок ОН1.

ОНА = ОН1В по двум сторонам и углу между ними (ОА = ОВ, АН = ВН1, 1 = 2).

3 = 4, 5 = 6 = 90

3 = 4, поэтому точки Н1, О1, Н лежат на одной прямой.

а  НН1 и b  НН1, значит, а || b, ч. т. д.

Рассмотрим особо пункт 6.

Пусть точки Н, О и Н1 не лежат на одной прямой, тогда продолжим ОН, получаем: НМ  АВ = О. НОА = ВОМ как вертикальные, но НОА = ВОН1, значит, ВОМ = ВОН1 и лучи ОН1 и ОМ совпадают.

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство

2 = 3 как вертикальные.

2 = 1 по условию.

Значит, 1 = 3.

Но 1 и 3 накрест лежащие, поэтому а || b, ч. т. д.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.

Доказательство

3 и 4 – смежные, значит, 3 + 4 = 180.

1 + 4 = 180 по условию.

Отсюда 1 = 3.

Но 1 и 3 накрест лежащие, поэтому а || b, ч. т. д.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство

(методом от противного)

Пусть 12, тогда...

Отложим от луча МN угол РМN, равный углу 2 так, чтобы РМN и 2 были накрест лежащие при пересечении прямых РМ и в секущей МN.

РМN = 2 РМ || b. Мы получили, что РМ  а, РМ || b и а || b, что противоречит аксиоме параллельных.

Поэтому 1 = 2, ч. т. д.

Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Доказательство

с  а, а || b  с  b

1 = 2 как накрест лежащие при параллельных a, b и секущей с.

1 = 902=90, т. е. с  b, ч. т. д.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Доказательство

а || b, поэтому 1 = 3 как накрест лежащие при параллельных а, b и секущей с.

2 = 3 как вертикальные.

1 = 2, ч. т. д.

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180.

Доказательство

а || b, поэтому 1 = 2 как соответственные при параллельных а, b и секущей с.

2 и 4 – смежные, значит 2 + 4 = 180

УГЛЫ С СООТВЕТСТВЕННО
ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТОРОНАМИ

Теорема. Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180.

Доказательство

Рассмотрим три случая

Пусть стороны углов 1 и 2 имеют одинаковое направление. b1 || b, a1  b1, значит, a1  b, получаем 3.

3 = 1 и 3 = 2 как соответственные при параллельных, следовательно, 1 = 2.

Пусть стороны углов 1 и 4 имеют противоположное направление. Продолжим стороны 4, получим 2. 4 = 2 как вертикальные и 1 = 2, следовательно, 1 = 4.

Пусть две стороны углов 1 и 5 (1 и 6) имеют одинаковое направление, а две другие – противоположное. Продолжим одну сторону 5 (6), получим 2. 5 + 2 = 180 как смежные и 1 = 2, следовательно, 5 + 1 = 180.

Аналогично, 6 + 2 = 180 и 1 = 2, следовательно, 6 + 1 = 180, ч. т. д.

УГЛЫ С СООТВЕТСТВЕННО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРОНАМИ

Теорема. Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180.

Доказательство

Пусть 1 – один из данных углов, за другой данный угол возьмем один из четырех углов: 2, 3, 4 или 5, образованных прямыми РМ  РН.

Проведем BD  ВС и ВК  BA, получим 6.

Обозначим СВК = 7. 1 + 7 = 6 + 7 = 901 = 6.

4. По свойству углов с соответственно параллельными сторонами 6 = 2 = 4, 6 + 3 = 6 + 5 = 180.

5. Так как 1 = 6, то, заменив 6 равным ему углом 1, получим то, что требовалось доказать.

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180.

Доказательство

Проведем а || АС.

1 и 4, 3 и 5 – накрест лежащие. АС || а, поэтому 1 = 4, 3 = 5.

4 + 2 + 5 = 180, значит, 1 + 2 + 3 = 180, ч. т. д.

Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Следствие 1. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство

4 + 3 = 180 по свойству смежных углов.

1 + 2 + 3 = 180 по теореме о сумме углов треугольника.

4 = 1 + 2, ч. т. д.

Следствие 2. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то и третьи углы равны.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Теорема. В треугольнике: 1) против равных сторон лежат равные углы; 2) обратно, против равных углов лежат равные стороны.

Доказательство

АВ = ВС, значит, ∆АВС – равнобедренный, поэтому углы, лежащие против этих сторон, равны, А = С, как углы при основании.

Дано: ∆АВС, А = С.

Доказать: АВ = ВС.

Доказательство (методом от противного)

Пусть АВ  ВС, тогда либо АВ > ВС, либо АВ < ВС.

Если АВ > ВС, то С > А.

Если АВ < ВС, то С < А.

И то и другое противоречит условию: А = С.

Поэтому наше предположение неверно, следовательно, АВ = ВС, ч. т.д.

 

Следствие. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60.

А = В = С = .

НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Дано: ∆АВС.

Доказать: АВ < АС + СВ.

АС < AB + BC.

BC < ВА + АС.

Доказательство

Если в треугольнике возьмем сторону не самую большую, то она будет меньше суммы двух других сторон. Поэтому докажем, что даже наибольшая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Пусть в ∆АВС наибольшая сторона – АВ.

Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD = СВ.

∆BCD – равнобедренный, поэтому 1 = 2.

Рассмотрим ∆ABD: 1 < ABD, значит, 2 < ABD, тогда и АВ < AD, так как в треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона.

Так как AD = АС + CD, то АВ < АС + CD.

Заменив CD на СВ, получим АВ < АС + СВ, ч. т. д.

Следствие. Каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Теорема. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы.

Доказательство

∆АВС – прямоугольный, А = 90, поэтому В + С = 90, С = 90− 30= 60.

Приложим к ∆АВС равный ему ∆АВD так, чтобы вершины С и D лежали по разные стороны от АВ.

Рассмотрим ∆ВСD, в котором В = D = 60, поэтому DС=ВС.

АС = DС = BC, ч. т. д.

Теорема (обратная). Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30.

Дано: ∆ АВС – прямоугольный; А = 90; АС = ВС.

Доказать: АВС = 30.

Доказательство

Приложим к ∆ АВС равный ему ∆ АВD.

∆ ВСD − равносторонний, значит, В = С = D = 60

АВС = DВС = 30, ч. т. д.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ

I. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

II. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.

III. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

IV. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(продолжение)

Доказательство

С = С1, поэтому можно наложить ∆АВС на ∆А1В1С1 так, что вершина С совместится с вершиной С1, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С1А1 и С1В1.

 

Точка А не может не совместиться с точкой А1, потому что если бы она заняла положение, например, точки А2 луча С1А1, то тогда мы имели бы равнобедренный ∆А1В1А2, в котором углы при основании А1А2 не равны: А2 – острый, а А1 – тупой, как смежный с острым углом В1А1С1, что невозможно.