Александр

Основы мат. анализа в школьном курсе математики, обоснование.

Материал опубликован 15 May

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

В данной работе мы рассмотрим последовательное построение основ математического анализа, не прибегая к понятию предела, для этого нам придется сформулировать ограничение на класс функций, для которых это ограничение справедливо и конечно элементарные функции принадлежат этому классу.

§1 Дифференциальное исчисление.

Пусть имеется функция y=(x) введем понятие приращение функции ∆(y) и величину ∆х, называемую приращением аргумента x

∆y = ) -(x). (1.1)

Таким образом величина ∆(y) является функцией переменных x и ∆х, выделим их неё отдельно линейную часть , которая называется дифференциалом функции f(x), а именуется производной функции f(x), а оставшуюся часть обозначим как М(x, ∆х), про которую будем предполагать, что ограничена при всех х и (М(x, ∆х)/∆x)=0. Именно это и есть ограничение на класс функций и этот класс естественно назвать классом дифференцируемых функций (далее мы уточним это понятие), окончательно:

∆y = + М(x, ∆х)

или (1.2)

(x+∆x)= (x)++ М(x, ∆х),

– ограниченная функция.

Смысл такого выделения понятен, если рассматривать очень малые приращения аргумента ∆х, которые естественно обозначить dx, то величина приращение функции ∆(y)

будет определятся её линейной частью, которую называют главной частью приращения или дифференциалом функции и записывать в виде

= (1.3)

а производную определить, как отношение дифференциалов

= (1.4)

Особо отметим, что и , этом контексте просто переменные.

Выясним геометрический смысл дифференциала. Для этого на Рис. 1 изобразим секущую и касательную . Секущая проходит через т. А и т. В, касательная проходит точку с координатами ( ), лежащую на средине отрезка .

Рис. 1

Таким образом, что -∆x/2 и ∆x/2. Выпишем уравнение секущей как уравнение прямой проходящей через точку ( ) с угловым коэффициентом k=

Будем сближать точки А и В друг к другу, тогда они будет приближаться к точке ( и это сближение можно реализовать уменьшая ∆х, а угловой коэффициент, если ограничится в приращении ∆y линейным членом согласно формуле (1.2) и в силу малости ∆x будет равен и мы получим уравнение касательной к графику функции y=(x) в точке ( )

Т.е. зная производную мы можем выписывать уравнение касательной к кривой

Этот пример показывает важность понятий дифференциала и производной, а также показывает необходимость их вычисления, для решения такого рода задач.

Рассмотрим ряд очевидных следствий того факта, что величина приращения функции в малой окрестности точки определяется величиной дифференциала и далее будем полагать, что для всех рассматриваемых функций условие (1.2) выполнено.

Теорема 1.1

Если производная функции y=(x) больше нуля на отрезке [a,b], то на этом отрезке функция возрастает, если <0, то функция убывает.

Доказательство: Возьмем любую точку α на отрезке [a, b] и рассмотрим приращение функции ∆y =+ М(х, ∆х)и тогда при малых ∆х знак приращения, будет определятся знаком производной, поскольку ∆у=α)≈). Поскольку для любой точки х правее α, α))>0 и )>0, что и показывает возрастание. Левее точки α, α))<0, поскольку )<0, то и в этом случае имеем возрастание функции. Доказательство убывания y=(x) аналогично и не требует дополнительных пояснений.

Следствием теоремы 1.1 является простая, но важная для дальнейших построений:

Теорема 1.2

Если производная функции y=(x) равна нулю на отрезке [a,b], то на этом отрезке функция постоянна у= const = c.

Доказательство очевидно, поскольку она в соответствии с теоремой 1.1 не возрастает и не убывает, то она является постоянной.

Определение 1.1

Будем говорить, что функция y=(x) в точке имеет локальный максимум (минимум), если существует окрестность этой точки | -х|<α, для всех точек которого имеет место неравенство ()>(x) (()<(x)).

Теорема 1.3

Если производная функции y=(x) равна нулю в точке отрезка [a,b] и изменяет знак с плюса на минус (с минуса на плюс) при переходе точки , то в этой точке имеется локальный максимум (минимум).

Эта теорема является очевидным следствием теоремы 1.1, поскольку в случае максимума она слева от точки возрастает, а справа – убывает. Для минимума справедливы такие же соображения. Существование интервала | -х|<α обеспечено выполнением условия (1.2).

Рассмотрим ряд правил, которые помогут нам вычислять производную и дифференциал функций.

Дифференциал суммы функций .

Выпишем наше основное предположение относительно функций в виде

+ M(x,∆x)∆. (1.2а)

В этом виде и запишем =+M∆(аргументы M не выписываем), с другой стороны =(, по определению приращения. Перегруппировав члены в этом выражении получим и использовав основное предположение в форме (1.2.а) получим + (x,∆x)∆+ (x,∆x)∆ и следовательно имеем правило:

или для производных

Дифференциал от произведения функции на константу C.

или для производных

Совершенно очевидное свойство и не требует дополнительных комментариев.

Дифференциал произведения функций.

Пусть и рассмотрим приращение . Добавим и вычтем член и перегруппируем члены

Оставляя линейные по члены в обеих частях равенства, получим

или для производных

Аналогичным образом доказывается и формула дифференциала частного двух функций.

Дифференциал частного двух функций.

Просто приведем соответствующую формулу

или для производных

Дифференциал сложной функции.

Пусть имеем функцию по определению дифференциала имеем, вначале дифференциал по , как независимой переменной и далее выпишем дифференциал

или для производных

Дифференциал обратной функции.

Пусть имеется функция и будем предполагать что обратная к ней существует, тогда её функциональная зависимость будет выражаться формулой , вычисляя дифференциал от обеих частей равенства, получим и отсюда

или для производных

Естественно в этих формулах, в выражении для производных, нужно вернутся к привычному обозначению обратной функции .

Мы установили ряд правил вычисления производных функций, которые удовлетворяют условию (1.2) и таким образом мы готовы выполнить программу вычисления производной любой элементарной функции, если получим таблицу производных базовых элементарных функций, которая состоит из степенной, тригонометрических и логарифмических функций. Использую правила дифференцирования мы сможем находить производную любой функции из класса элементарных, поскольку он состоит из базовых и составленных из них при помощи операций, рассмотренных нами при выводе правил дифференцирования.

В качестве примера покажем, как это общее рассмотрение можно применить к функции .

Линейная по часть приращения равна , член равен просто и производная . В §3 подобным образом мы получим таблицу производных для всех базовых элементарных функций.

§2 Интегральное исчисление

В первом параграфе мы ввели понятия дифференциала и производной функции и они связаны соотношениями

или .

Поставим перед собой задачу восстановления функции по её производной . Будем называть первообразной или неопределенным интегралом ) и обозначать

(2.1)

или ,

где называют подынтегральным выражением и переменная в дифференциале показывает функциональную зависимость первообразной и называют переменной интегрирования, а называют подынтегральной функцией, которая может зависеть и от других переменных, называемых параметрами первообразной.

Выясним сколько первообразных соответствуют одной функции .

Предположим, что имеются две первообразные одной функции которые обозначим как . Рассмотрим их разность и вычислим её производную , согласно теореме (1.2) эта разность есть просто константа и таким образом всё множество первообразных одной функции представляет собой совокупность вида , где любая из первообразных и этот факт принято обозначать как

Выпишем ряд очевидных свойств неопределённого интеграла, вытекающих из его определения.

или (2.2)

(2.3)

(2.4)

Убедится в правильности этих равенств можно, если взять производную или дифференциал от обеих частей равенств.

Правило подстановки или замены переменной интегрирования.

Пусть известно, что , то тогда (подстановка ), дает

(2.5)

Это правило подстановки есть следствие правила дифференцирования сложной функции

Правило интегрирования по частям.

Это правило есть следствие дифференцирования произведения функций, которое выпишем и проинтегрируем или

(2.6)

Определённый интеграл.

Будем называть определенным интегралом от функции в пределах до , которые называются нижним и верхним пределами интегрирования, приращение первообразной равное или

(2.7)

Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница или основной формулой интегрального исчисления. Отметим, что если в неопределённом интеграле указывало на функциональную зависимость первообразной, то в этом случае функциональная зависимость содержится в пределах в пределах интегрирования, например:

(2.8)

Установим ряд свойств определённого интеграла, связанных с равенствами:

Свойство линейности определённого интеграла

(2.9)

2. (2.10)

Заметим, что.

3. (2.11)

Эти свойства непосредственно следует из формулы Ньютона-Лейбница.

Очевидным образом можно обобщить и формулу интегрирования по частям

(2.12)

Формула замены переменной интегрирования в определённом интеграле:

Пусть требуется вычислить и пусть и не выходит за пределы

, когда изменяется в интервале , где и и обе

функции удовлетворяют условию (1.2), а функция , где

первообразная , тогда имеет место формула

(2.13)

Доказательство очевидно:

==.

Установим ряд свойств определённого интеграла, связанных с неравенствами:

Пусть на отрезке и тогда,

(2.14)

Доказательство: Первообразная , есть возрастающая функция, поскольку её производная неотрицательна и , тогда

Пусть на отрезке и тогда,

(2.15)

Доказательство очевидно следует из предыдущего свойства, если его применить к функции и воспользоваться свойством линейности определённого интеграла.

Ещё одно очевидное свойство:

. (2.16)

Справедливость которого следует из (2.15), поскольку .

В этом параграфе мы продолжили следовать логике: Ввели понятие неопределённого интеграла или первообразной функции и её приращение между точками и назвали определённым интегралом. Далее мы построим таблицу интегралов для базовых элементарных функций, вычислить интеграл от любой элементарной функции невозможно, поскольку не от всякой элементарной функции интеграл выражается через элементарные функции и к числу таких относятся даже простой на первый взгляд интеграл т.н. интегральный синус. Для определенных интегралов имеются способы численного вычисления и поэтому мы первоначально установим его геометрический смысл и укажем один из таких способов, имеющий наглядный смысл.

По аналогии с §1, покажем как отыскать первообразную для функции . Поскольку мы знаем производную от , то первообразная будет равна

в чем можно убедиться непосредственным дифференцированием.

Геометрическая интерпретация определённого интеграла и приближенный метод его

вычисления.

Рис 2.

Проведем разбиение отрезка на равных интервалов длиной , пронумеруем точки разбиения индексом , который будет изменятся от до так что , . Выделим интервал , а на этом интервале его середину и восстановим из неё перпендикуляр к оси Х до пересечения с графиком функции и построим прямоугольник с вершинами в точках и сторонами длиной ), площадь этого прямоугольника равна )h и тогда площадь фигуры (криволинейная трапеция) под графиком функции будет приближённо определятся суммой площадей всех прямоугольников и тем точнее, чем меньше , называемую шагом разбиения.

Выпишем эту сумму:

Представим в виде суммы интегралов по промежуткам разбиения, воспользовавшись свойством определённого интеграла (2.11),

Найдем модуль разности |- |=|| и запишем под одним знаком интеграла воспользовавшись свойством . Таким образом эта разница будет иметь вид

и представим функции, на основании нашего основного условия (1.2) в виде:

Тогда под знаком интеграла в сумме останется

Вычислим непосредственно интеграл от первых двух членов разности. В первом интеграле вынесем постоянную из под знака интеграла и введем переменную , где нижний предел , а верхний предел . Тем самым получим , используя ранее полученный результат вычисления первообразной . Во втором интеграле вынесем постоянную и получим , так что оба интеграла одинаковы и их разность равна нулю. Таким образом

Воспользовавшись неравенством перенесём знак модуля на интеграл

Далее усилим это неравенство применив свойство (3) из неравенств для определённого интеграла, перенеся знак модуля под интеграл и ещё усилив, перенесем знак модуля на каждое слагаемое

Обозначим через , а большей величиной , получим

Т.к. шаг разбиения равен , то выбором n - количества интервалов разбиения мы можем сделать разность сколь угодно малой что и доказывает, что

дает площадь криволинейной трапеции, верхнее основание которой представляет график функции , нижнее ось абсцисс и боковые стороны есть перпендикуляры к этой оси из точек x=a, x=b, что и показано на Рис. 2, а формулу

(2.17)

принято называть квадратурной формулой прямоугольников, она позволяет численно вычислять определенные интегралы и погрешность этих вычислений имеет величину порядка .

Общим выводом проведённого рассмотрения является важное правило: Если мы имеем дифференциал некоторой величины (в нашем случае это площадь ), то сама величина получается вычислением определённого интеграла. Также многочисленные применения интегрального исчисления в можно встретить науках, законы в которых сформулированы в виде дифференциальных уравнений, в которых неизвестная функция находится под знаком производной. Один из классов таких уравнений, а именно уравнения с разделяющими переменными . Переменные x и у можно отделить друг от друга, если умножить обе части уравнения на и поделить на и тогда получаем выражение в котором обе части зависят только от своих переменных

Интегрируя обе части получим решение уравнения, оно будет зависеть от произвольной постоянной С, поскольку вычисляется неопределенный интеграл, а если задано начальное условие на функцию в виде , то можно получить единственное решение в виде неявной функции, записанное как определенный интеграл

С многочисленными применениями такого рода уравнений можно ознакомиться в книге Я.Б. Зельдовича и И.М. Яглома <<Высшая математика для начинающих физиков и техников>>.

§3 Таблицы производных и интегралов базовых элементарных функций

1. Степенная функция.

а) Рассмотрим степенную функцию , где n натуральное число. Выпишем приращение этой функции и выпишем первый член в порядке возрастания степеней ∆x начиная с нулевой, ограничиваясь двумя членами в явном виде , первый член получен от умножения n скобок, если выбираем x в каждой скобке. Второй член содержит множитель n который получается вследствие перемножения n скобок, поскольку в одной из n скобок мы выбираем ∆x, а во всех остальных (n-1) скобках выбираем x. В третий член соберем все оставшиеся члены произведения и вынесем отдельно, чем подтвердим условие (1.2)

Тогда имеем для дифференциала и производной степенной функции, равенства или справедливые для целого .

Выведем формулу для случая корня или в виде степени , поскольку корень есть обратная функция к только что рассмотренной, то воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции применительно к случаю , тогда обратная к ней функция по определению дается выражением в котором и будем дифференцировать обе части равенства. Имеем по правилу дифференцирования сложной функции, отсюда .

. Для отрицательных степеней такую же формула дифференцирования легко установить если применить правило дифференцирования дроби и так5им образом для любых степеней функции имеем:

Формула первообразной функции легко установить, если найти производную от

, равную с одной стороны и равную с другой. Воспользовавшись равенством многочленов , получим и , откуда и , окончательно получим

Поскольку мы умеем находить дифференциал степенной функции, то укажем способ вычисления с точностью до членов линейных по α и это будет и точность этого приближения дается величиной порядка .

2. Тригонометрические функции

Найдем производную функции , для этого изобразим первый квадрант тригонометрического круга

и выпишем приращение функции . Будем полагать ∆х малым и оценим величины и с точностью до линейных членов и рассмотрим площади треугольников , и сектора ОА1 . Очевидно имеют место неравенства

Оставим в выражениях для площадей только линейные по ∆х слагаемые, тогда c требуемой точность имеем:

Тогда наши неравенства мы можем переписать уже в виде нестрогих, поскольку учли только линейные члены и неравенства не теряют смысл т.к. в силу малости ∆х остальными членами можно пренебречь. С учетом сделанных замечаний имеем неравенства:

что означает эквивалентность и , с точностью до линейной части по . Оставляя в приращении только её линейную часть, получаем дифференциал

или для производной .

Тогда первообразная от косинуса равна

Найдем производную от функции обратной к , по определению обратной функции она равна , где ( в привычных обозначениях ). Дифференцируя равенство , получим и найдем и воспользовавшись тождеством получаем

для первообразной имеем равенство

Для других тригонометрических функций производные можно вычислить, используя их определения и правила дифференцирования. Например, можно дифференцировать используя правило дифференцирования сложной функции

Получаем правило вычисления производной:

и правило вычисления первообразной

Для всех других функций можно просто применить правила дифференцирования.

3. Показательная и логарифмическая функции

При рассмотрении функций будем исходить из их определения, основанного на понятии функциональных уравнений. Данный подход подробно изложен в учебнике Г.М. Фихтенгольца <<Дифференциальное и интегральное исчисление>> т.1 стр. 158. Издание 1997 г. Издательство <<Лань>>.

Показательной функцией будем называть функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению

а обратную к ней функцию или в традиционных обозначениях , где удовлетворяет функциональному уравнению

, .

Убедимся, что введенная функция , которая называется натуральным логарифмом и задается определённым интегралом с переменным верхним пределом:

Докажем, что такая функция удовлетворяет функциональному уравнению

Мы воспользовались свойством аддитивности (2.11) определённого интеграла, первый член этой суммы есть , а во втором выполним подстановку (замену переменной интегрирования x на t) , и нижний предел , а верхний предел равен и тем самым получаем функциональное уравнение , для логарифмической функции. Основание натурального логарифма называют постоянной Эйлера, обозначают буквой и численное значение этой постоянной можно определить из уравнения или в явном виде

Это уравнение решается численно по следующему алгоритму: Определим интервал, содержащий корень уравнения, последовательно выбирая в качестве верхнего предела числа 2,3…, найдем интервал корня и далее выполняя деление этого отрезка пополам найдем новый интервал корня, повторяем эту процедуру до той поры пока не достигнем требуемой точности вычисления корня уравнения и при этом необходимо согласовать точность вычисления интеграла с точностью вычисления корня.

Покажем, что обратная функция натурального логарифма или показательная функция , удовлетворяет соответствующему функциональному уравнению . Имеем и , тогда . В первом интеграле выполним замену переменной интегрирования , тогда и воспользовавшись свойством аддитивности определённого интеграла получим . Тем самым доказано что функция удовлетворяет функциональному уравнению для показательной функции и её основанием является постоянная Эйлера (подтверждение численный расчет) и эту функцию называют экспонентой, а функциональную зависимость экспоненциальной.

Отыскание производной функции натурального логарифма вытекает из её определения

Производную от экспоненты можно найти из её определения , если взять производную от обеих частей равенства . Мы воспользовались правилом дифференцирования сложной функции т.е. интеграл продифференцировали по переменной и умножили на производную этой функции по переменной . Умножая обе части полученного выражения на получим или факт что экспонента при дифференцировании и интегрировании не меняет функциональной зависимости.