Памятка по теме «Квадратное уравнение»
Квадратное уравнение
Квадратное уравнение – это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Пример квадратного уравнения:
3x2 + 2x – 5 = 0.
Здесь а = 3, b = 2, c = –5.
Числа a, b и c – коэффициенты квадратного уравнения.
Число a называют первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, а число c – свободным членом.
Приведенное квадратное уравнение.
Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.
Примеры приведенного квадратного уравнения:
x2 + 10x – 11 = 0
x2 – x – 12 = 0
x2 – 6х + 5 = 0
здесь коэффициент при x2 равен 1 (просто единица во всех трех уравнениях опущена).
Неполное квадратное уравнение.
Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Примеры неполного квадратного уравнения:
-2x2 + 18 = 0
здесь есть коэффициент а, который равен -2, есть коэффициент c, равный 18, а коэффициента b нет – он равен нулю.
x2 – 5x = 0
здесь а = 1, b = -5, c = 0 (поэтому коэффициент c в уравнении отсутствует).
Как решать квадратные уравнения.
Чтобы решить квадратное уравнение, надо совершить всего два действия:
1) Найти дискриминант D по формуле:
D = b2 – 4ac.
Если дискриминант – отрицательное число, то квадратное уравнение не имеет решения, вычисления прекращаются. Если D ≥ 0, то
2) Найти корни квадратного уравнения по формуле:
–b ± √D
х1,2 = —————.
2а
Пример: Решить квадратное уравнение 3х2 – 5х – 2 = 0.
Решение:
Сначала определимся с коэффициентами нашего уравнения:
а = 3, b = –5, c = –2.
Вычисляем дискриминант:
D = b2 – 4ac = (–5)2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.
D > 0, значит, уравнение имеет смысл, а значит, можем продолжить.
Находим корни квадратного уравнения:
–b + √D 5 + 7 12
х1 = ————— = ———— = —— = 2
2а 6 6
–b – √D 5 – 7 2 1
х2 = ————— = ———— = – —— = – ——.
2а 6 6 3
1
Ответ: х1 = 2, х2 = – ——.
3
Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.
Формула №1:
-b ± √D
x = ————, где D = b2 – 4ac.
2a
Латинской буквой D обозначают дискриминант.
Дискриминант - это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.
Если D < 0, то уравнение не имеет корней.
Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
Если D > 0, то уравнение имеет два корня.
Пример. Решим уравнение 12x2 + 7x + 1 = 0.
Сначала вычислим дискриминант.
Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.
Итак:
D = b2 – 4ac = 72 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.
D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.
Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:
-b ± √D -7 ± √1 -7 ± 1
x = ———— = ———— = ————
2a 24 24
Находим оба значения x:
-7 + 1 -6 -1 1
x1 = ——— = —— = — = – —
24 24 4 4
-7 – 1 -8 -1 1
x2 = ——— = —— = — = – — .
24 24 3 3
1 1
Ответ: x1 = – —, x2 = – —
4 3
Формула №2.
Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:
-k ± √D1
x = ————, где D1 = k2 – ac
a
Пример. Решим уравнение 5x2 – 16x + 3 = 0.
Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8, a = 5, c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D1:
D1 = k2 – ac = (-8)2 – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.
Теперь находим оба значения x:
-k ± √D1 - (-8) ± √49 8 ± 7
x = ———— = ————— = ———
a 5 5
Отсюда:
8 + 7 15
x1 = ——— = — = 3
5 5
8 – 7 1
x2 = ——— = — = 0,2
5 5
Ответ: x1 = 3; x2 = 0,2.
При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.
Здесь будет файл: /data/edu/files/n1461134193.docx (Квадратное уравнение)
