Практическая работа № 10 Гипербола. Парабола.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 10

Тема: Гипербола. Парабола.

Цель: закрепить умения составлять уравнения гиперболы и параболы.

Обеспечение выполнения работы:

Учебное оборудование:

Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика».

Информационные источники:

Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред.проф. образования. – 6-е. изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.

Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ. учреждений сред. проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.

Критерии оценки:

Инструкция по выполнению работы:

Запишите в тетрадь для практических работ тему и цель занятия.

Внимательно ознакомьтесь с основными теоретическими сведениями, включающими также примеры решения задач.

Выберите задания согласно своему варианту и приступайте к работе.

После выполнения работы ответьте письменно (в тетради) на контрольные вопросы, размещенные после заданий.

Теоретический материал:

Гипербола Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Уравнение гиперболы с центром в начале координат и с фокусами в точках  и  имеет вид:

                               (9)                                       

где  - действительная полуось,

        - мнимая полуось (рис.3).

 Коэффициенты  и  гиперболы связаны соотношением  .

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к ее действительной оси:

.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнение которых

          (10)

Рис. 3

 

Если действительная и мнимая оси гиперболы равны (т.е. , то гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы записывается в виде

, (11)

А уравнение ее асимптот .

Если фокусы гиперболы лежат на оси (рис.4), то ее уравнение имеет вид

, или , (12)

а уравнение асимптот такой гиперболы

.

Уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси имеет вид

Рис.4

Если центр гиперболы находится в точке , то уравнение имеет вид:

                                                             (13)

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось и ветви направлены вправо (рис.5) имеет вид:

                                (14)          ,                                                                                   

где  - расстояние между фокусом параболы и прямой линией, называемой директрисой. Фокус параболы имеет координаты . Уравнение директрисы

Рис. 5

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось   и ветви направлены влево (рис.6а), имеет вид

(15).

Уравнение ее директрисы

а) б) в)

Рис.6

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось и ветви направлены вверх (рис.6б), имеет вид

(16)

Уравнение ее директрисы .

Уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось и ветви направлены вниз (рис.6в), имеет вид

(17)

Уравнение ее директрисы .

Если вершина параболы находится в точке , то уравнение имеет вид:

                                                      (18)

Задача 1.  Составить уравнение геометрического места точек, равноотстоящего от оси Оу и точки .

Решение:  Возьмем на искомой линии произвольную точку . Расстояние точки М от точки F определится по формуле расстояния между двумя точками:

Расстояние точки М до оси Оу определится:

Так как по условию , то искомая кривая имеет уравнение:

        

Линия, определяемая полученным уравнением, является параболой.

Задача 2. Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках

(—3; 0) и (3; 0), фокусы—в точках F1(-5; 0) и F2(5;0).

Решение. Из условия следует, что и. По формуле находим Подставив значения и в уравнение получим

Ответ:

Задача 3. Дано уравнение гиперболы . Найти коорди­наты ее вершин и фокусов.

Решение. Из уравнения гиперболы имеем По формуле находим с2 = 81 +144=225, с = ±15. Следовательно, вершинами гиперболы служат точки (-9; 0) и (9; 0), а фокусами — точки (-15; 0) и (15; 0).

Ответ: вершинами гиперболы служат точки (-9; 0) и (9; 0), а фокусами — точки (-15; 0) и (15; 0).

Задача 4. Дано уравнение гиперболы. Найти ее эксцентриситет.

Решение. Из уравнения гиперболы имеем. Эксцентриситет вычисляется по формуле :

Ответ:

Задача 5. Дано уравнение гиперболы . Составить уравнения ее асимптот.

Решение. Из уравнения гиперболы найдем. Подставив значения а и b в равенства получим или

Ответ:

Задача 6. Составить уравнение параболы с вершиной в начале коорди­нат, если ее фокус находится в точке F{3; 0).

Решение. Фокус параболы лежит на положительной полуоси Ох, следова­тельно, уравнение параболы имеет вид . Так как координаты фокуса (р/2; 0), то p/2=3, откуда р = 6. Подставив значение р в уравнение , получим .

Ответ:

Задача 7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале коорди­нат, если ее директрисой служит прямая x = - 4.

Решение. Расстояние директрисы от начала координат равно р/2, следова­тельно, p/2=4, т. е. р=8. Уравнение этой параболы имеет вид , так как абсцисса директрисы отрицательна. Подставив в уравнение значение параметра р, получим у2 = 16х.

Ответ: у2 = 16х

Задача 8. Составить уравнение параболы с вершиной в начале коорди­нат, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точку А (4; 2).

Решение. Искомая парабола симметрична относительно оси Оу и проходит через точку А(4; 2), следовательно, ее уравнение имеет вид . Подставив в это уравнение координаты точки А, найдем р=4. После подстановки в уравнение значения р получим х2 = 8у.

Ответ: х2 = 8у

Задача 9. Найти координаты фокуса параболы с вершиной в начале координат, если уравнение директрисы х = - 3.

Решение. Расстояние от начала координат до директрисы равно расстоянию от начала координат до фокуса и равно p/2. Из уравнения директрисы х = -3 следует, что p/2=3. Уравнению директрисы x = - p/2 соответствует пара­бола у2=2рх, фокус которой F(3; 0).

Ответ: F(3; 0).

Задача 10. Составить уравнение параболы, имеющей вершину А (1; 2) и проходящей через точку А(4; 8), если ось симметрии параболы параллельна оси Ох.

Решение. Согласно условию, уравнение искомой параболы имеет вид , так как точка М(4; 8) расположена правее вершины параболы и, значит, ветви параболы направлены вправо. Для вычисления параметра р подставим в уравнение координаты вершины А и точки М: (8-2)2=2р(4-1), откуда р=6. Подставив теперь в уравнение найденное значение р=6 и координаты вершины А, получим искомое уравнение (у-2)2= 12(x-1).

Ответ:

Задача.11. Дана парабола. Составить уравнение ее директрисы.

Решение. Директриса параболы проходит на расстоянии р/2 от ее вершины перпендикулярно оси параболы. Из уравнения параболы найдем р:

у2—4у=20х—24; у2-2۰2у+4 = 20х-24+4; (у-2)2 = 20(х-1),

откуда A(1;2); 2р=20, р/2=5.

Ось симметрии параболы параллельна оси Ох, а ветви параболы направлены вправо, следовательно, директриса проходит левее вершины. Она также проходит и левее начала координат, так как расстояние от вершины до оси Оу равно 1, а от вершины до директрисы равно 5. Абсцисса директрисы равна разности p/2—1=5—1=4, взятой со знаком минус; поэтому уравнение директрисы х = - 4.

Ответ: х = - 4.

Задания для самостоятельной работы

Дано уравнение гиперболы. Найти длину полуосей, координаты фокусов и вершин, уравнения асимптот, острый угол между асимптотами. Построить гиперболу по данному уравнению и ей сопряженную

Дано уравнение параболы. Найти ось симметрии, координаты фокуса и директрису. Построить параболу.

3. Найти точки пересечения гиперболы с прямой, заданной уравнением, приведенным в таблице.

4. Составить уравнение параболы, если известно, что