Практическая тетрадь по теме «Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов. Логарифмические уравнения и их системы. Логарифмические неравенства»

ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ

по теме «Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов. Логарифмические уравнения и их системы. Логарифмические неравенства.

Пояснительная записка:

Практическая тетрадь «Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов. Логарифмические уравнения и их системы. Логарифмические неравенства.» предназначена в первую очередь для самоконтроля учащихся усвоения ЗУН по вышеуказанным темам. Учителя могут использовать данный материал при подготовке учащихся средней школы к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа.

 

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество.

Свойства логарифмов

Справочные сведения

Логарифмом положительного числа b по основанию а (записывают loga b), где а > 0, a 1, называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Равенство , где а > 0, a 1, b > 0, называют основным логарифмическим тождеством.

x = logab – корень уравнения ax = b, где а > 0, a 1, b > 0.

Логарифм числа по основанию 10 называется десятичным логарифмом: log10 b = lg b.

Логарифм числа по основанию е называется натуральным логарифмом: logе b = ln b.

Примеры с решениями

Вычислить: 1) 2) 3)

Решение. 1) , так как 34 = 81.

2) Пусть . Тогда по определению логарифма , или , откуда ,.

3) Пусть . Тогда по определению логарифма , откуда , , , .

Найти: 1) 2) 3)

Решение. 1) По определению логарифма (согласно основному логарифмическому тождеству) 2)

3)

 

3. Вычислить:

1) 2) 3)

Решение.

1)

2)

3)

Дидактический материал

Вычислить:

2) 3)

5) 6)

Ответы: - 4; 4; -3; - 2; 2; 0.

Вычислите десятичные логарифмы:

2) 3) 4) .

Ответы: - 4; - 1; ½; 4.

Вычислите натуральные логарифмы:

2) 3) 4)

Ответы:

Вычислите:

2)

Ответы: - 2; 2.

Найдите значения выражений:

2)

3) 4)

Ответы:

Логарифмические уравнения и их системы

Справочные сведения

Определение. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение

logax = b, (1)

где a и b – данные числа, а х – переменная величина.

Если а > 0 и , то такое уравнение имеет единственный корень x = ab.

Решение более сложных логарифмических уравнений сводится либо к решению алгебраических уравнений, либо к решению уравнений вида (1).

Способы решения логарифмических уравнений

Способ непосредственного применения определения логарифма.

Пример 1. Решим уравнение logx( х3 – 5х + 10 ) = 3.

Решение. По определению логарифма можно написать: х3 – 5х + 10 = х3, откуда: х = 2.

Проверка: log2(23 - 52 + 10) = log28 = 3. Ответ: 2.

Известно, что областью определения логарифмической функции является множество положительных действительных чисел. Поэтому часто при решении логарифмических уравнений вначале определяется

область допустимых значений переменной (ОДЗ). Затем решается данное уравнение и найденные значе-ния переменной проверяются на принадлежность ОДЗ.

Способ приведения уравнения к виду loga f(x) = loga g(x) c последующим применением потенцирования.

Пример 2. Решим уравнение: lg( x + 5) – lg( x2 – 25 ) = 0.

Решение. Найдем ОДЗ. Для этого решим систему неравенств:

Отсюда имеем: .

Преобразуем данное уравнение: lg( x + 5) = lg( x2 – 25 ).

Потенцируя, имеем: х + 5 = х2 – 25 или х2 – х – 30 = 0, откуда х1 = 6, х2 = - 5. Но .

Ответ: 6.

Способ введения новой переменной.

Пример 3. Решим уравнение :

Решение. Пусть log2 х = у, тогда вместо исходного уравнения получим: у2 – у – 2 = 0.

Решив полученное квадратное уравнение, имеем: у1 = 2, у2 = - 1.

Теперь найдем искомые значения х:

log2 х = 2, х1 = 4; log2 х = -1, х2 = .

ОДЗ: х > 0. Оба найденные значения х принадлежат ОДЗ. Ответ: 4; .

Способ почленного логарифмирования.

Пример 4. Решим уравнение:

Решение. Перепишем это уравнение в следующем виде: или

Теперь почленно прологарифмируем это уравнение по основанию 2:

. Применяем свойства логарифмов:

Решаем это уравнение способом введения новой переменной. Получаем:

1) log2 х = 3, х1 = 8; 2) log2 х = -1, х2 = .

Выполняем проверку:

Ответ: 8; .

В практике встречаются логарифмические уравнения, содержащие логарифмы с разными

основаниями. В таких случаях применяется формула перехода к новому основанию:

Пример 5. Решим уравнение:

Решение. ОДЗ:

Используем формулу перехода к новому основанию: тогда данное

уравнение имеет вид: или

Тогда: откуда получаем, что х = 2.

Ответ: 2.

Показательно-логарифмические уравнения.

Чаще всего такие уравнения решаются способом логарифмирования обеих частей уравнения и приведением к логарифмическим уравнениям.

Пример 6. Решим уравнение:

Решение. Перепишем это уравнение в виде: Воспользуемся

основным логарифмическим тождеством , имеем:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: Тогда

откуда: и или х1 = и х2 = 9.

Проверка:

Ответ:

При решении систем логарифмических уравнений в основном применяются те же способы, что и при решении систем алгебраических уравнений ( способы подстановки, алгебраического сложения, введения новых переменных и др.)

Пример 6. Решим систему уравнений:

Решение. Для первого уравнения применяем свойства показательной функции, а второе

уравнение потенцируем:

Введем новые переменные:

получим систему рациональных уравнений:

Решаем систему методом подстановки, получаем: а = 5 и b = 6. Тогда:

или х = 25 и у = 36.

Проверка:

Вывод: пара чисел (25;36) действительно является решением системы.

Ответ: (25;36).

 

Дидактический материал

Решите логарифмические уравнения:

Решите системы логарифмических уравнений:

Логарифмические неравенства

Справочные сведения

Определение. Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим неравенством.

Всякое значение переменной , при котором данное логарифмическое неравенство обращается в

верное числовое неравенство, называется решением логарифмического неравенства.

Решить логарифмическое неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Решение логарифмических неравенств в основном сводится к решению неравенств вида

или

Для решения таких неравенств, учитывая область определения логарифмической функции и ее свойства, применяют следующие утверждения:

при а > 1 неравенство равносильно системе неравенств:

(1)

при 0 < а < 1 1 неравенство равносильно системе неравенств:

(2)

Примеры с решениями

Пример 1. Решим неравенство

Решение. Преобразуем правую часть неравенства: Здесь а = , поэтому

используем систему неравенств вида (2): или

Решением последней системы будет промежуток

Ответ:

 

Пример 2. Решим неравенство

Решение. Используем свойства логарифмов:

В полученном неравенстве а = 10 > 1, поэтому используем систему неравенств вида (1):

отсюда:

Изображая решение каждого неравенства системы по отдельности на координатной прямой, находим общую часть – промежуток Ответ:

Дидактический материал

Решите логарифмические неравенства:

 

Тест № 1

 

Тест № 2

 

Тест № 3*

Код правильных ответов по теме «Логарифмы»