Решение логарифмических уравнений

 Решение логарифмических уравнений

1. Используя определение логарифма, его свойства, привести уравнение к виду

lоg f(x)=lоg q(x) или lоg f(x)=k, где k - постоянное число, причем f(x)>0, q(x) >0

2. Перейти к системе на основании того, что если логарифмы двух выражений равны, то равны и сами выражения

3. Решить полученную систему.

Пример 1. Решите уравнение:

  

Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

  

  

С учетом того, что

  

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

  

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

  

  

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

  

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

  

Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований).

Примет 3. Решите уравнение:

  

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку:

  

Уравнение принимает вид:

  

Обратная подстановка:

  

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

  

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

  

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

  

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

  

  

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

  

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

  

  

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

  

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

  

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

  

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

  

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.