Практическое применение методики решения задач по вероятности

Практическое применение методики решения задач по вероятности.

Рассмотрим задачи на классическое определение вероятности, которая используется, когда одно событие происходит в течение одного и того же эксперимента, проводимое один или несколько раз.

Задача 1. Наташа бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что количество очков выпадет менее 3

Работа с задачей.

1. Случайный эксперимент — бросание кубика.

2. Событие — выпадение числа очков.

3. Оцениваемое событие А: выпадение числа очков меньше 3.

4. Всевозможные исходы эксперимента —число очков от 1 до 6.

5. Благоприятные исходы эксперимента для события А — число очков 1 и 2.

6. Проводится один эксперимент, наступает одно событие, следовательно, используется классическое определение вероятности.

Задача 2. Наташа дважды бросает кубик, в сумме она получает 8 очков. Какова вероятность того, что на одном из кубиков есть число 5?

Работа с задачей.

1. Случайный эксперимент — бросание кубика 2 раза.

2. Событие — выпадение пары чисел, сумма которых равна 8. Математическая модель х + у = 8.

3. Оцениваемое событие А: 5 + у = 8 или х + 5 = 8.

4. Всевозможные исходы эксперимента — пары чисел от 1 до 6, которые в сумме дают 8.

5. Благоприятные исходы эксперимента для события А — пары чисел (5,3) и (3,5).

6. Проводится один и тот же эксперимент, наступает одно событие, которое является комбинацией определённых чисел, для решения используется классическое определение вероятности.

Задача 3. Мама принесла домой в пакете 15 яблок, 3 из которых красные, остальные — зеленые. Двое детей по очереди берут по фрукту, а затем берёт мама. С какой вероятностью ей достанется зеленое яблоко, если у обоих детей оказались зеленые яблоки?

Работа с задачей.

1. Случайный эксперимент — выбор яблока. Эксперимент проходит в несколько этапов: 1 этап — выбор первого ребенка, 2 этап — выбор второго ребёнка, 3 этап — выбор мамы.

2. Событие — цвет яблока. Результат первого и второго этапов: яблоко —зеленое, то есть события уже произошли, следовательно, при рассмотрении результатов третьего выбора их необходимо исключить из общего числа. Именно на это необходимо обратить внимание при решении задачи.

3. Оцениваемое событие А — третье яблоко зеленое.

4. Всевозможные исходы эксперимента —13 яблок.

5. Благоприятные исходы эксперимента для события А —10 оставшихся зеленых яблок.

6. Проводится один и тот же эксперимент, наступает одно событие, для решения используется классическое определение вероятности. Таким образом, особенность третьей задачи заключается в том, что эксперимент, результаты которого оцениваются, происходит при определенных условиях (ограничениях), и это необходимо учитывать при решении задачи. В общем, при решении задач на классическое определение вероятности мы можем рекомендовать следующую схему работы над ней:

1.Определите, что такое случайный эксперимент, сколько раз он проводится.

2.Сформулируйте событие. Выяснить является ли событие для

каждого этапа, если их несколько, случайным или оно уже наступило.

3.Сформулируйте оцениваемое событие.

4. Определите все возможные результаты.

5. Определите тип благоприятного исхода.

6.Найдите количество всех возможных и благоприятных результатов.

7.Найдите соотношение количества благоприятных результатов к числу возможных результатов. Проверьте, что вероятность случайного события всегда меньше одного.

8.Запишите ответ.

Следующая группа задач, как правило, создающая трудности для обучающихся, связана с алгеброй событий. Непонимание этих задач учениками может быть связано с недостаточной теоретической подготовкой. Для решения данных задач является работа с понятиями совместные, несовместные, противоположные события. При введении данных понятий и работе по закреплению материала, необходимо указать, какой эксперимент проводится, какие события наступают в ходе эксперимента, и ответить на вопрос: «Могут ли они наступить вместе?». Если ответ положительный, то события совместные. Если ответ отрицательный, события несовместимы или противоположны. Если одно событие является отрицанием другого события, события противоположны. Например, случайный эксперимент - бросание кости. Событие A - четное количество очков. Событие B - нечетное количество очков. Событие C -выпадение четвёрки. События A и B не могут наступить вместе и являются отрицанием друг друга, поэтому они противоположны. События A и C могут наступить вместе, так как 4 -четное число. Поэтому они являются совместными. События B и C не могут объединиться, но одно не является отрицанием другого. Следовательно, они несовместимы. При введении понятий о несовместимых и противостоящих событиях необходимо обратить внимание учащихся на частицу «нет», что позволяет идентифицировать пару противоположных событий.

При введении математических моделей событий необходимо обратить внимание учащихся на слова и союзы, которые определяют форму модели, тем самым устанавливая межпредметные связи математической логики и теории вероятностей.

При решении задач по использованию теоремы суммы и произведения событий мы можем порекомендовать следующую схему работы с ними:

1. Определите, что такое стохастический эксперимент, сколько раз он проводится.

2. Определите тип события для каждого этапа стохастического эксперимента.

3. Определите количество событий, обозначьте их буквами.

4.Определить, какими являются события (совместными, несовместными).

5.Определите вид общего события.

6.Запишите математическую модель общего события (сумма, разность, произведение).

7.В соответствии с моделью найдите вероятность, используя соответствующую теорему

В заключение следует отметить, что приведенные выше алгоритмы для работы над задачей по теории вероятностей могут быть дополнены, изменены в зависимости от степени готовности учеников.

Однако этапы выделения стохастического эксперимента, события и оцениваемого события должны присутствовать обязательно. Эти этапы непосредственно связаны с пониманием условия вероятностной задачи и её успешным решением.

Методическая схема решения задачи

Задача.

Бросили 3 игральных кубика и подсчитали сумму очков на его гранях. Какова вероятность того, что в сумме будет 15? (результат вычисления округлите до сотых).

Содержание:

1. Назовите испытание, о котором идёт речь в данной задаче.

-Испытание ( опыт ) состоит в одновременном подбрасывании трёх игральных кубиков и подсчёт суммы выпавших очков на его гранях.

2. Найдите общее число исходов в данном испытании.

-Общее число исходов вычисляем по формуле ( по комбинаторному правилу произведения) N=216.

3. Назовите событие, вероятность которого необходимо вычислить в задаче и определите его вид.

-Событие А- сумма выпавших очков равна 15. Событие является элементарным.

4. Найдите число исходов, благоприятствующих наступлению события А, т.е . N(A).

-Для подсчёта N(A) выпишем все исходы, которые в сумме дают 15.

Их не так уж и много. Заметим, что минимальное число очков на одной грани будет 3.

Это: 6+6+3; 6+3+6; 3+6+6; 6+5+4 ; 6+4+5; 5+6+4; 5+4+6 ; 4+5+6 ; 4+6+5 ; 5+5+5.

Всего 10 комбинаций. N (A)=10.

5. Примените формулу для вычисления вероятности (классическое определение вероятности события).

Р (А) =0.04629.

Ответ. 0.05 (результат округлён до сотых).