Методические указания и рекомендации на тему«Проектирование многоуровневой системы задач с параметром курса 7-9 классов. Линейные уравнения»

«Проектирование многоуровневой системы задач

с параметром курса 7-9 классов. Линейные уравнения»

 

Цель работы: формирование у учащихся умений и навыков по решению линейных уравнений с параметром, используя многоуровневую систему задач по данной теме.

Задачи:

- образовательные (формирование познавательных УУД): анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;

-развивающие (формирован ие регулятивных УУД): целеполагание, планирование своей деятельности в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся;

-воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД): смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.

 

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи постоянно предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы. Хотя на ЕГЭ встречается всего одна-две задачи с параметрами, но те школьники, которые хотят получить высший балл по ЕГЭ, должны уметь их решать. Поэтому начинать знакомить учащихся с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.

По задачам с параметрами уже вышел ряд книг и пособий. Но большинство из них предполагают наличие у школьника высокой математической культуры, а также значительного объема математических фактов, которые в школе изучаются весьма поверхностно или совсем не изучаются. Поэтому школьникам обычных школ зачастую эти книги не доступны для понимания. Разбираться в них могут только школьники продвинутых математических классов.

Спроектируем многоуровневую систему задач с параметрами, для решения линейных уравнений в курсах 7-9 классов.

 

Многоуровневая система уравнений с параметрами.

Линейные уравнения. 7-9 класс

Базовые задачи

При всех значениях параметра а решить уравнения:











 

Решение задач

Пример 1. Для всех значений параметра а решите уравнение х – а = 0.

Ответ: х = а при любом а.

Этот пример напоминает, что при решении задач с параметрами нужно находить неизвестную, и указывать, при каких значениях параметра ответ имеет смысл.

 

Пример 2. Для всех значений параметра а решите уравнение ах = 1.

Решение: При а = 0 данное уравнение решений не имеет, и в ответе это обстоятельство должно быть отражено.

Ответ: при а = 0 решений нет; при а ≠ 0 решение .

 

Пример 3. Исследовать и решить уравнение с параметром

Решение: Найдём контрольные значения параметра, т.е. такие значения при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а = 0 и а = 2.

а) При а =0 уравнение принимает вид 0х = -2. Это уравнение корней не имеет.

б) При а = 2 уравнение принимает вид 0х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

в) При а ≠ 0 и а ≠ 2 из исходного уравнения получаем , откуда .

Ответ: 1) при а =0 корней нет.

2) при а = 2 х – любое действительное число.

3) прито

Пример 5. Исследовать и решить уравнение с параметром а2 (х – 5) = 25 (х – а)

Выполнив ряд преобразований, приведём уравнение к виду, наиболее удобному для исследования: а2х – 5а2 = 25х – 25а;

(а2 – 25)х = 5а2 – 25а.

(а-5)(а+5)х = 5а(а-5).

а) при ед. х ; .

б) Если а = 5, то 0х = 0, следовательно, любое х есть решение.

в) Если а = - 5, то 0х = 250, следовательно, решений нет.

Графическая иллюстрация исследования по параметру а:

-5 5

а

 

3) 1) 2)

Ответ: 1) при ед. х .

2) при а = 5, любое х есть решение;

3) при а = -5, решений нет.

 

Модифицированные задачи

Модификация (или видоизменение) задач происходит по следующим направлениям:

увеличение технической сложности и трудности задачи;

варьирование известного алгоритма решения задач (переформулировать условие задачи);

необычная форма представления условия задачи (когда сразу не видно применение известного алгоритма решения).

 

Примеры:

При каких значениях параметра а уравнение имеет целые корни.

При каких значениях параметра n уравнение

а) имеет единственный корень;

б) имеет бесконечное множество корней;

в) не имеет корней.

 

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения  и  имеют общий корень

При всех значениях параметра а решить уравнение

|2х + 8| + |2х - 6| = а

 

Решение задач

Пример1. При каких целых значениях параметра а уравнение имеет целые корни.

Решение: Приведём уравнение к виду , если то . Чтобы х был целым числом, необходимо, чтобы значение выражения было делителем числа 5, то есть может быть равно 1; -1; 5; -5. Перебором находим, что

.

Ответ: при  

Пример 2. При каких значениях параметра n уравнение

а) имеет единственный корень;

б) имеет бесконечное множество корней;

в) не имеет корней.

Решение:

1. Выражения имеют смысл при любых значениях n.

2. Если , то .

При значение выражения равно 0. Получаем уравнение вида . Оно имеет бесконечное множество корней, то есть х – любое число.

При значение выражения равно – 12, получается уравнение , которое не имеет корней.

3. При и уравнение имеет единственный корень.

Ответ: а) при и уравнение имеет единственный корень;

б) при - уравнение имеет бесконечное множество корней;

в) при - уравнение не имеет корней.

Пример 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения и имеют общий корень.

Решение: Перепишем первое уравнение в виде . Это уравнение имеет корень лишь при . Этот корень есть число .

Перепишем второе уравнение в виде . Данное уравнение имеет корень лишь при ,. Этот корень есть число

Осталось найти все значения параметра . При каждом из которых первое и второе уравнение имеют общий корень, то есть х1 и х2 есть одно и то же число.

Для этого решим уравнение

Перенесём все слагаемые в одну часть уравнения и упростим разность алгебраических дробей, равносильное уравнение которое имеет единственный корень . При этом значении а условие задачи выполнено.

Ответ: при уравнения имеют общий корень.

 

Нестандартные задачи

Решение нестандартных (незнакомых) задач сложно как в техническом, так и в логическом плане. Учащийся должен уметь ориентироваться в новой ситуации, выдвигать и опровергать гипотезы, подключать новые идеи решения задач.

Такие задачи часто имеют довольно громоздкие упрощения и вычисления. Кроме этого само понимание условия таких задач требует логического мышления высокого уровня.

Задачи:

При каком значении параметра а уравнение 

а) имеет 1 решение;

б) имеет 2 решения;

в) не имеет решений.

Решите уравнение

Исследовать и решить уравнение с параметром

Исследовать и решить уравнение с параметром.

Исследовать уравнение, выяснить, при каких значениях параметра m существует единственное решение, меньше 1.

Исследовать уравнение, выяснить при каких значениях параметра m существует единственное положительное решение

Решение задач

Пример 1. При каком значении параметра а уравнение 

а) имеет 1 решение;

б) имеет 2 решения;

в) не имеет решений.

Решение аналитическим способом приводит к достаточно длительным рассуждениям, так как имеет много ветвлений. Графический способ более удобен, он короче и красивее.

Решение. Построим график функций у =| х + 2| и у = ах + 1.

График первой функции получается сдвигом графика функции у =| х| на 2 единицы влево по оси абсцисс.

Графиком второй функции является прямая, проходящая через точку с координатами (0; 1), угловой коэффициент которой равен а.

Рассматривая график функции у = ах + 1 при различных числовых значениях параметра а, получаем пучок прямых, проходящих через точку (0; 1).

 

Если угловой коэффициент , то есть прямые проходят в области (1), то они пересекает правую ветвь (х > –2) графика функции , и уравнение имеет одно решение.

Если , то прямые проходят в области (2), и графики функций пересекаются в двух точках, то есть уравнение имеет два решения.

При прямые расположены в области (3), в этом случае графики функций не пересекаются, следовательно, уравнение решений не имеет.

При точка пересечения одна, и решение тоже одно.

Таким образом, получаем ответ.

Ответ: а) при уравнение имеет одно решение;

б) при уравнение имеет два решения;

в) при уравнение решений не имеет.

Пример2. Решите уравнение

Решение:

При условии, что исходное уравнение можно упростить:

После преобразований получаем уравнение

2ах =1– а, которое при а = 0 не имеет корней, а при а ≠ 0 .

Проверим, нет ли таких значении параметра а, при которых найденное значение х было бы равно – 3 или 2, для этого решим относительно а уравнения.

Корень первого уравнения – 0,2, корень второго уравнения 0,2, то есть при

а= ± 0, 2 соответствующие значения х не входят в область определения исходного уравнения.

Ответ: при корней нет; при один корень .

Пример 3. Исследовать и решить уравнение с параметром.

Решение: m ≠ 1

x≠-3.

Преобразуем данное уравнение в равносильное с учётом ограничения:

3mx – 5 + (3m – 11)(x + 3) = (2x + 7)(m – 1);

(4m – 9)x = 31 – 2m - линейное уравнение с параметром, удобное для исследования.

а) Если m ≠ 2,25

m ≠ 1 , то существует единственный корень

б) Выясним, при каких значениях параметра m значение x = -3.

следовательно, m = - 0,4, т.е. при m = - 0,4 х.

в) Если m = 2,25, то 0х = 26,5, следовательно, решений нет.

Ответ: 1) при m ≠ 2,25

m ≠ - 0,4 существует единственный корень

m ≠ 1

2) При m = 2,25 решений нет

3) При m = - 0,4 решений нет

4) При m = 1 уравнение не определено или не имеет смысла.

Пример 4. Исследовать уравнение, выяснить, при каких значениях параметра m существует единственное решение, меньше 1.

Решение:

D(y):

Запишем уравнение в виде

I. а) Если то существует единственный корень

б) Выясним, при каком значении параметра m значение х=-2.

т.е.

в) Выясним, при каком значении параметра m значение х=-3

т.е. .

II. Решим неравенство .

Перенесём 1 в левую часть, тогда

Графическая иллюстрация:

0 1

m

Ответ: при существует единственное решение такое, что .