Рабочий лист по ОГЭ Математика. Задание №16

Задание 16.1

Задание 16. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках B и С, причём АВ = 4, АС = 64. Найдите АК.

Решение:

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной:

откуда

Практика:

1.Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 3, AC = 12. Найдите AK.

2.Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 4, AC = 16. Найдите AK.

3.Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 3, AC = 27. Найдите AK.

4.Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 5, AC = 20. Найдите AK.

5. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 6, AC = 24. Найдите AK.

6.Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 7, AC = 28. Найдите AK.

7.Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 5, AC = 45. Найдите AK.

8.Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 4, AC = 64. Найдите AK.

9.Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 6, AC = 54. Найдите AK.

10.Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 2, BC = 6. Найдите AK.

11.Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 2, BC = 16. Найдите AK.

12.Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 4, BC = 12. Найдите AK.

Домашнее задание: ФИПИ (геометрия) стр.1

Открытый банк заданий ОГЭ (fipi.ru)

Задание 16.2

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 8, ВС = 5 и CD =27. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Решение.

По свойству четырехугольника вписанного в окружность, имеем такое равенство длин его сторон:

AD+BC=AB+DC, откуда

AD = AB+DC-BC

AD = 8+27-5 = 30. Ответ: 30.

Практика:

1.Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 6, CD = 13. Найдите AD.

2.Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 11, BC = 7, CD = 12. Найдите AD.

3.Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 5, BC = 9, CD = 16. Найдите AD.

4.Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 6, BC = 8, CD = 11. Найдите AD.

5.Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 4, BC = 12, CD = 21. Найдите AD.

6.Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 8, BC = 20, CD = 17. Найдите AD.

7.Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 11, BC = 7, CD = 12. Найдите AD.

8.Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 6, CD = 13. Найдите AD.

9.Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 10, BC = 14, CD = 22. Найдите AD.

10.Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 9, BC = 13, CD = 18. Найдите AD.

11.Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 14, BC = 15, CD = 23. Найдите AD.

12.Четырёхугольник  описан около окружности, , , . Найдите .

13.Четырёхугольник  описан около окружности, , , . Найдите .

14.Четырёхугольник  описан около окружности, , , . Найдите .

15.Четырёхугольник  описан около окружности, , , . Найдите .

16.Четырёхугольник  описан около окружности, , , . Найдите .

17.Четырёхугольник  описан около окружности, , , . Найдите .

18.Четырёхугольник  описан около окружности, , , . Найдите .

19.Четырёхугольник  описан около окружности, , , . Найдите .

20.Четырёхугольник  описан около окружности, , , . Найдите .

Домашнее задание: ФИПИ (геометрия) стр.2, стр.3

Открытый банк заданий ОГЭ (fipi.ru)

Открытый банк заданий ОГЭ (fipi.ru)

Задание 16.3

Хорды АС и BD окружности пересекаются в точке Р, BP = 12, CP = 6, DP = 13. Найдите АР.

Решение.

Найдем длину AP из свойства пересекающихся хорд:

откуда

. Ответ: 26

1.Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP = 7, CP = 14, DP = 10. Найдите AP.

2.Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP = 6, CP = 8, DP = 12. Найдите AP.

3.Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP = 4, CP = 12, DP = 21. Найдите AP.

4.Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP = 8, CP = 24, DP = 18. Найдите AP.

5.Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP = 10, CP = 8, DP = 12. Найдите AP.

6.Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP = 12, CP = 6, DP = 13. Найдите AP.

7.Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP = 10, CP = 14, DP = 21. Найдите AP.

8.Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP = 9, CP = 15, DP = 20. Найдите AP.

9.Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP = 12, CP = 15, DP = 25. Найдите AP.

10.Хорды  и  окружности пересекаются в точке , , , . Найдите .

Задание 16.4

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК = 6, DK = 21, ВС = 4. Найдите AD.

Решение.

Треугольники AKD и BKC подобные по двум углам: угол K – общий, и . Их равенство легко доказать, учитывая, что

как смежные, а как противоположные углы четырехугольника, вписанного в окружность. Для подобных треугольников можно записать отношение:

откуда Ответ: 14.

Практика:

1.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 6, DK = 10, BC = 12. Найдите AD.

2.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 12, DK = 16, BC = 24. Найдите AD.

3.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 7, DK = 14, BC = 10. Найдите AD.

4.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 18, DK = 9, BC = 16. Найдите AD.

5.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 6, DK = 10, BC = 12. Найдите AD.

6.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 4, DK = 12, BC = 21. Найдите AD.

7.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 8, DK = 24, BC = 18. Найдите AD.

8.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 10, DK = 6, BC = 15. Найдите AD.

9.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 14, DK = 10, BC = 21. Найдите AD.

10.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 20, DK = 15, BC = 12. Найдите AD.

Домашнее задание: ФИПИ (геометрия) стр.22, стр.23 (1-5)

Открытый банк заданий ОГЭ (fipi.ru)

Открытый банк заданий ОГЭ (fipi.ru)

Задание 16.5

Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 62°. Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Известно, что сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, то есть:

откуда

Ответ: 118

Практика:

1. Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 112°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

2.Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 61° . Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

3. Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 56°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

4.Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 78°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

5.Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 37°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

6.Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 47°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

7.Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 69°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

8.Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 55°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

9.Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 111°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

10.Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 77°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

11.Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 36°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

12.Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 61°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

13.Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 32°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

ругая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 2, BC = 6. Найдите AK.

Домашнее задание: ФИПИ (геометрия) стр.66, стр.68

Открытый банк заданий ОГЭ (fipi.ru)

Открытый банк заданий ОГЭ (fipi.ru)

Задание 16.6

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 50°. Прямая BC касается окружности
в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой:

угол ABC = 72° : 2 = 36°.

Практика:

2.На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 92°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

3.На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 56°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

4.На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 152°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

5.На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 134°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

6.На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 66°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

7.На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 50°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

8.На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 106°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

9.На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

10. На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 56°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

11.На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 168°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

12.На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 152°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

13.На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 26°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

14.На окружности отмечены точки  и  так, что меньшая дуга  равна . Прямая  касается окружности
в точке  так, что угол  острый. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

15.На окружности отмечены точки  и  так, что меньшая дуга  равна . Прямая  касается окружности
в точке  так, что угол  острый. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

16.На окружности отмечены точки  и  так, что меньшая дуга  равна . Прямая  касается окружности
в точке  так, что угол  острый. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Домашнее задание: ФИПИ (геометрия) стр.69 (1-7)

Открытый банк заданий ОГЭ (fipi.ru)