12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917
Лицензия на образовательную деятельность №0001058
Пользовательское соглашение     Контактная и правовая информация
 
Педагогическое сообщество
УРОК.РФУРОК
 
Материал опубликовала
Гармс Людмила Павловна1270
Россия, Свердловская обл., г. Асбест

Задание №16 ОГЭ по математике Часть 1




Задача №1



t1610016853aa.gif










Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен 38°, угол САD равен 33°.

Найдите угол АВD. Ответ дайте в градусах.


Дано: АВС = 38°, САD = 33°.

Найти: АВD.

Решение:


DBC = DAC = 38°, так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу DC.

АВD = AВC - DBC = 38° - 33° = 5°


Ответ: 5.



Задача №2


t1610016853ab.gif


Площадь круга равна 69. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 120°.


Дано: Sкруга = 69, угол кругового сектора равен 120°.

Найти: Sсектора.

Решение:


t1610016853ac.gif


Ответ: 23.



Задача №3


t1610016853ad.gif







Угол А четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол С этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.


Дано: АВСD вписан в окружность, ∠А = 33°.

Найти: С.

Решение:


C = 180° A = 180° 33° = 147°, так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.


Ответ: 147.









Задача №4


t1610016853ae.gif



Отрезки АС и BD – диаметры окружности с центром О.

Угол АСВ равен 53°. Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.


Дано: АС и BD – диаметры окружности, ∠АСВ = 53°.

Найти: АОD.

Решение:


1)∠АCВ = 53° – вписанный угол, опирающийся на ᴗ АВ, поэтому ᴗ АВ = 53° 2 = 106°, так как вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.


2)BD – диаметр, значит ᴗ ВАD = 180°.


3) ∠ АОD – центральный угол, опирающийся на ᴗ АD, следовательно

АОD = ᴗ АD = 180° 106° = 74°.

Ответ: 74.



Задача №5


t1610016853af.gif



Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20,5. Найдите ВС, если АС = 9.


Дано: АВ – d; r = 20,5; АС = 9.

Найти: ВС.

Решение:


C = 90°, так как угол, опирающийся на диаметр,
значит треугольник АВС прямоугольный.


r = 20,5, следовательно АВ = 20,5 2 = 41


По теореме Пифагора

АВ2 = АС2 + ВС2

412 = 92 + ВС2

ВС2 = 1681 – 81

ВС2 = 1600

ВС = 40

Ответ: 40.



Задача №6

t1610016853ag.gif

Точка О – центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ∠АВС = 61° и ∠ОАВ = 8°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.


Дано: ∠АВС = 61°, ∠ОАВ = 8°.

Найти: ВСО.

Решение:


Проведем радиус ОВ, АО = ВО = СО = r.


Треугольник АОВ – равнобедренный, значит ∠А = ∠АВО = 8°.


Треугольник ВОС – равнобедренный, значит ∠ВСО = ∠ОВС= 61° – 8° = 53°.

Ответ: 53.



Задача №7


t1610016853ah.gif




На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что : ∠АОВ = 45°. Длина меньшей дуги равна 91. Найдите длину большей дуги.


Дано: ∠АОВ = 45°, длина меньшей дуги равна 91.

Найти: длину большей дуги.

Решение:


t1610016853ai.gift1610016853ai.gift1610016853aj.gif

Ответ: 637.




Задача №


t1610016853ak.gif





Угол А трапеции АВСD с основаниями АD и ВС, вписанной в окружность, равен 77°. Найдите угол С этой трапеции. Ответ дайте в градусах.


Дано: АВСD вписана в окружность, АD || ВС, А = 77°.

Найти: С.

Решение:


C = 180° A = 180° 77° = 103°, так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.



Ответ: 103.



Задача №9

t1610016853al.gif




Четырехугольник АВСD описан около окружности,

АВ = 8, ВС = 12, СD = 13. Найдите АD.


Дано: АВСD описан около окружности,

АВ = 8, ВС = 12, СD = 13.

Найти: АD.

Решение:


АD + ВС = АВ + СD, так как суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны.

АD + 12 = 8 + 13

АD = 21 – 12

АD = 9


Ответ: 9.







Задача №10

t1610016853am.gif



Треугольник АВС вписан в окружность с центром О.

Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 73°.


Дано: треугольник АВС вписан в окружность, АОВ = 73°.

Найти: АСВ.

Решение:


АОВ = 73° – центральный угол, опирающийся

на ᴗ АВ, следовательно ᴗ АВ = 73°.

АСВ = 73° : 2 = 36, 5° , так как вписанный угол

измеряется половиной дуги, на которую он опирается.


Ответ: 36,5.





Задача №11

t1610016853an.gif



Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 12. Найти высоту этой трапеции.


Дано: трапеция вписана в окружность, r = 12.

Найти: h.

Решение:


Высота трапеции равна диаметру вписанной

окружности, поэтому h = 2 r = 2 12 = 24 .


Ответ: 24.





Задача №12

t1610016853ao.gif



Сторона АВ треугольника АВС проходит через центр описанной около него окружности . Найдите А, если В = 44°. Ответ дайте в градусах.


Дано: треугольник АВС вписан в окружность, В = 44 °.

Найти: А.

Решение:


C = 90°, так как угол, опирающийся на диаметр,
значит треугольник АВС прямоугольный.


По теореме о сумме углов треугольника

А = 180° – (90° + 44°) = 46°

Ответ: 46.











Задача №13

t1610016853ap.gif




Четырехугольник АВСD вписан в окружность.

Угол АВD равен 37°, а угол САD равен 58°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.


Дано: АВСD вписан в окружность,

АВD = 37°, ∠САD = 58°.

Найти: АВС.

Решение:


Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.


АВD = 37° – вписанный угол, опирающийся на ᴗ АD, поэтому ᴗ АD = 37° 2 = 74°.


САD = 58° – вписанный угол, опирающийся на ᴗ СD, поэтому ᴗ СD = 58° 2 = 116°.



3) ᴗ АDС = ᴗ АD + ᴗ DС = 74° + 116° = 190°,

значит АВС = 190° : 2 = 95°.

Ответ: 95.








Задача №14

t1610016853aq.gif



Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и АВС = 107°. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.


Дано: АВС вписан в окружность, АВ = ВС, АВС = 107°.

Найти: ВОС.

Решение:


Треугольник АВС равнобедренный, поэтому в нем углы при основании равны, то есть

А = ∠АСВ = (180° – 107°) : 2 = 36,5°.


ВАС = 36,5° – вписанный угол, опирающийся на ᴗ ВС, поэтому ᴗ ВС = 36,5° 2 = 73°.


ВОС – центральный угол, опирающийся

на ᴗ ВС, следовательно ВОС = ᴗ ВС = 73°.


Ответ: 73.






Задача №15

t1610016853ar.gif


Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.


Дано: треугольник АВС описан около окружности, r = 6.

Найти: h.

Решение:


В равностороннем треугольнике любая высота является медианой и биссектрисой и все они пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной и описанной окружности.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины,

значит h = 6 3 = 18.


Ответ: 18.



Задача №16

t1610016853as.gif


Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К.

Другая прямая пересекает окружность в точках В и С,

причем АВ = 2, АК = 4. Найдите АС.


Дано: АК – касательная, АС – секущая, АВ = 2, АК = 4

Найти: АС.

Решение:


АК2 = АВ АС

42 = 2 АС

АС = 16 : 2

АС = 8


Ответ: 8.



Задача №17

t1610016853at.gif


Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 82°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.


Дано: касательные в точках А и В пересекаются под углом 82°.

Найти: АВО.

Решение:


Обозначим точку пересечения касательных буквой С .


Отрезки касательных СА и СВ равны, значит треугольник АСВ равнобедренный, следовательно

САВ = ∠СВА = (180° – 82°) : 2 = 49°.

Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому АВС = 90°.

АВО = 90° – 49° = 41°


Ответ: 41.




Опубликовано


Комментарии (2)

Колышкина Елена Владимировна, 15.10.21 в 12:35 0Ответить Пожаловаться
Спасибо за помощь коллегам, Людмила Павловна! Все Ваши работы содержательны и полезны!
Гармс Людмила Павловна, 15.10.21 в 17:49 0Ответить Пожаловаться
Спасибо, Елена Владимировна, за внимание и отзывчивость!
Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.