Развёрнутый план урока «Позиционные системы счисления. Перевод действительных чисел в десятичную систему счисления»

Тема урока

Формы и методы обучения

Формы организации учебной деятельности

1урок. Системы счисления

Урок-лекция с показом презентации: объяснительно- иллюстративный

сообщения готовят учащиеся, фронтальная работа

2 урок. Позиционные системы счисления. Перевод чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления.

Комбинированный урок: частично-поисковый, объяснительно-иллюстративный.

Фронтальная, групповая, индивидуальная

3 урок. Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Урок-практикум: частично-поисковый, подобранная система упражнений.

Индивидуальная.

4 урок. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно

Урок изучения нового материала: объяснительно-иллюстративный, подобранная система упражнений

Фронтальная, индивидуальная

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Психолого-педагогический комментарий

1. Организационный момент: приветствие, учёт посещаемости.

Настраиваются на урок

Формируется благоприятный микроклимат

2. Актуализация познавательного потенциала учащихся.

На прошлом уроке мы с вами начали разбирать, как записываются числа, чтобы понять, как кодируется числовая информация. Разобрали, как записывали числа люди на протяжении истории человечества.

Для записи чисел существовали различные системы счисления. Что такое система счисления?

Создаётся ситуация успеха, в которой учащийся осознаёт, что он прошёл определённый путь в изучении предмета и имеет качества, которые ему помогут на уроке. Происходит выравнивание уровня знаний учащихся перед восприятием нового.

Это набор правил для записи чисел с помощью специальных знаков (цифр)

Какие два типа систем счисления придумало человечество?

Непозиционные и позиционные системы счисления

Какой тип систем счисления исторически применялся первым у людей? Дайте определение таких систем счисления.

Исторически первыми были непозиционные системы счисления. Это такие системы счисления, в которых значение цифры не зависит от её позиции в числе.

Какие непозиционные системы счисления мы рассмотрели?

Унарная, древне египетская, римская, древне греческая, древне славянская.

А какие позиционные системы счисления рассмотрели?

Позиционными системами счисления были вавилонская, индийская, цивилизации Майя.

Предлагаю решить кроссворд, тем самым, проверив домашнее задание: в какой системе счисления записано число? (Кроссворд и задания в приложении №1)

Ребята дают ответы, а на экране открываются слова для проверки

3.Мотивация.

Хорошо, вы справились с домашним заданием успешно. А какого типа систему счисления мы сейчас используем? Дайте определение такому типу систем счисления.

Дано задание, в которое заложен элемент незнания, чтобы учащиеся осознали необходимость в открытии новых знаний.

Мы используем позиционную систему счисления. Эта такая система счисления, в которой значение цифры зависит от её позиции в числе.

Почему человечество пришло к позиционным системам счисления?

В позиционной системе счисления запись числа короче и легче выполнять арифметические действия.

Сколько цифр в нашей системе счисления и как она называется?

Мы пользуемся десятичной системой счисления и в ней 10 цифр

Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Значит, чему равно основание системы счисления?

Основание нашей системы счисления равно 10.

А алфавитом системы счисления считают все цифры, которые используют для записи чисел в данной системе счисления. Какой алфавит у 10-ичной системы счисления?

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

А теперь послушаёте задачу:

«Сидят рыбаки,

Стерегут поплавки,

Рыбак Корней

Поймал 111 окуней,

Рыбак Евсей–11 карасей

А рыбак Михаил

2-ух сомов изловил.

201 рыбу рыбаки

Натаскали из реки.»

Может ли такое случиться, если используется 10-ичная система счисления?

В 10-ичной системе счисления такого быть не может, так как сумма всех пойманных рыб не равна 201.

Значит, использована не 10-ичная и не 2-ичная системы счисления, а какая-то другая система счисления. Постараемся это выяснить.

4. Целеполагание. Какова же будет цель нашего урока?

Формулируют тему урока с помощью учителя.

Выяснить, какие ещё существуют позиционные системы счисления

Да, а также научиться записывать числа в этих системах счисления, научиться переводить эти числа в 10-ую систему счисления (надо же проверить верность задачи). Запишите тему урока «Позиционные системы счисления». В дальнейшем будем говорить только о позиционных системах счисления.

5. Исполнительская часть.

Из математики мы знаем, что значение цифры увеличивается в 10 раз при переходе от разряда к разряду, а основание системы счисления у нас 10. Значит, что ещё показывает основание системы счисления?

Во сколько раз увеличивается значение цифры при переходе от разряда к разряду.

Известный русский математик Н.Н.Лузин писал: «Преимущества десятичной системы счисления не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не 10 пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой счисления»

А если бы на каждой руке было бы по 3 пальца, то какой бы пользовались системой счисления?

Шестеричной системой счисления.

Т.е. основание такой системы счисления рано 6. Я вижу, что вы поняли смысл высказывания учёного. А если бы на руках было по 6 пальцев?

То пользовались бы двенадцатеричной системой счисления.

Какое основание у такой системы счисления?

Основание такой системы счисления равно 12.

Значит, какие числа можно принять за основание систем счисления?

За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число

А если возьмём 1?

То получим унарную непозиционную систему счисления.

Давайте за основание системы счисления брать натуральные числа и составим таблицу по системам счисления.

Таблица на проекторе и в канве учеников

В таблице уже заполнена строка десятичной и двоичной систем счисления. Их мы с вами знали. Давайте построим систему счисления с основанием 3. Как она будет называться и какой у неё алфавит?

Троичная, алфавит:0,1,2

Может ли быть цифра 3?

Нет, эта цифра не входит в алфавит.

А заполните строку, где основание системы счисления равно 12.

Двенадцатеричная система счисления. Алфавит 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

А дальше цифр привычных нам не хватает. Недостающие цифры договорились обозначать заглавными буквами латинского алфавита

Дальше А, В.

Интесно знать, что пятеричная система счисления использовалась в Китае. Двенадцатеричная – до первой трети 20 века. Именно отсюда слова дюжина или гросс(12 на немецком)

Двоичную, восьмеричную, 16-ричную системы счисления используют в своей работе компьютеры.

Сейчас каждая группа заполнит строку для своей системы счисления. По мере готовности поднимите руку.

(1 группа – восьмеричная система счисления, 2 группа – пятеричная система счисления, 3 группа – 16-ричная система счисления)

Один человек от группы читает ответ, остальные сверяют с проектором и записывают.

Может ли в 4-ичной системе счисления быть цифра 5?

Нет, эта цифра не входит в алфавит

Что означает 77 в троичной системе счисления?

Ничего, такого числа в троичной системе счисления быть не может.

Сколько цифр будет в K-ичной системе счисления?

К цифр

В какой системе счисления может быть записано число 352?

Начиная с основания 6

А число 20В?

Начиная с основания 12

Дано число 910. Какое следующее?

10

Дано число 23. Какое следующее?

Числа 3 быть не может, значит, переходим на двузначные числа, т.е. 10.

Дано число 1F16. Какое следующее?

F это последняя цифра, значит, 20.

Дано число 445. Какое следующее?

Числа 45 не может быть, значит, разряд единиц зануляется, следующий разряд увеличиваем на 1, этот разряд тоже не может содержать цифру 5, то переходим к трёхзначным числам – 100.

Мы видим, что принцип построения ряда чисел в любой системе счисления одинаков.

Итак, какие позиционные системы счисления существуют, мы выяснили. Значит, число мы можем записать в любой системе счисления, но привыкли мы работать в десятичной системе счисления. Значит надо знать соответствующее число в десятичной системе счисления. Как в прошлом году мы переводили целые числа из двоичной в десятичную систему счисления?

Чтобы перевести целое число из двоичной в десятичную систему счисления мы использовали развёрнутую запись числа.

Дано число запишите его в развёрнутой записи: 2375,31210

А теперь по аналогии запишем дробную часть в виде произведений цифры на степень 10.

Вызывается ученик к доске

По аналогии запишите в развёрнутом виде число 1011,012

Вызывается ученик к доске

Снова работаем дальше в группах.

У вас на листе напечатано число, которое вы должны записать в развёрнутом виде. Кто готов выходим к доске и пишем решение.

Кто может сформулировать правило записи действительных чисел в развёрнутом виде?

1)Пронумеровать цифры целой части от запятой влево, начиная с номера 0, а цифры дробной части от запятой вправо -1,-2,-3…

2)Записать сумму произведений цифры на основание системы счисления в степени, равной номеру над этой цифрой.

Кто не согласен? А математически это правило записывается так:

A – (число)

q – (основание системы счисления)

ai – (цифры данной системы счисления)

n – (количество разрядов в целой части)

m – (количество разрядов дробной части)

А если подсчитаем записанную сумму для числа 1011,012, что получим?

Соответствующее число в десятичной системе счисления

Представьте себе, что вы разбили копилку и у вас там оказалось: у 1 группы – АВ2,416 рублей, у 2 группы – 1402, 315 рублей, а у 3 группы – 7034,58 рублей. Хватит ли вым этой суммы на коньки, которые стоят 3000 рублей? Можете сразу сказать?

Нет, надо сосчитать.

По группам считаем. У какой группы затруднения? У 1 группы число шестнадцатеричное, конечно А мы не можем умножить. Что же делать, подумайте, ведь считаем мы в десятичной системе счисления, значит, цифры должны быть только этой системы счисления.

Надо вместо А написать 10, а вместо В – 11 и всё подсчитаем.

Группы озвучили результаты и записали решение в конспект.

Сформулируйте правило перевода действительных чисел в десятичную систему счисления.

Записать число в развёрнутом виде

Вычислить в десятичной системе счисления.

А можно ли это правило использовать в ситуации, когда не известно в какой системе счисления число записано? Дано число 2000. В какой системе счисления записано число, если известно, что это 12810?

В математике неизвестное обозначают через Х. Давайте этим воспользуемся.

2000х=12810

(103x67)2

х=4. Ответ: в четверичной системе счисления

А теперь мы вооружены знаниями, чтобы решить самую первую задачу:

111

11

2

201

В какой системе счисления записаны числа?

Обозначим за х основание системы счисления, запишем числа в развёрнутом виде. Условие для составления уравнения будет равенство суммы чисел до черты и числа после черты. Решим уравнение.

111=х2+х+1

11=х+1

2=2

201=2х2+1

х2+х+1+ х+1+2=2х2+1

х2-2х-3=0

х1=-1,х2=3. Так как х>0,то х=3.

Ответ такая ситуация возможна в троичной системе счисления.

Молодцы, чтобы закрепить навыки, предлагаю вам такую ситуацию. В библиотеке нашли автобиографию чудака. Текст вы видите на экране и в канве урока.

« Я окончил курс университета 44 лет отроду. Год спустя 100-летним молодым человеком я отправился в морское путешествие. На 42 день путешествия нас накрыл страшный шторм. В результате корабль разбило о рифы, а меня вынесло на безлюдный берег. Всё это время я питался фруктами с деревьев в нескольких сот метров от берега и постоянно глядел на горизонт. Через 1,2 месяца мимо моего острова проплыл великолепный корабль. Повезло, меня заметили и взяли на борт. За время моего приключения я похудел на 20,3 кг. На торговом судне приняли хорошо. Я познакомился с дочкой капитана 34 летней девушкой. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет - способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя несколько лет у нас уже была маленькая семья из 10 человек».

Переведите в 10-ую систему счисления.

Какой вопрос надо решить сначала?

В какой системе счисления записана эта автобиография.

Прочитайте внимательно первое предложение

В этом предложении говорится, что после числа 44 идёт 100, значит, цифры 5 уже быть не может. Это пятеричная система счисления.

Молодец, верно заметил. Каждая группа переводит по 3 числа. Распределите их между членами группы.

Ребята читают числа своей группы. По нажатию кнопки в программе высвечиваются правильные ответы.

Автобиография создана в среде Visual Basic,

6. Подведение итогов

Справились с заданием вы успешно. Подведём итоги:

Сколько существует позиционных систем счисления?

Проводится контроль и оценка полученных знаний. Учащиеся в беседе контролируют

Бесконечно много

свой путь получения

Почему

нового, дают прогноз дальнейшего изучения темы.

Так как за основание системы счисления можно взять любое натуральное число, начиная с двух.

Оценивают свои знания по результатам теста.

Что мы научились делать?

Переводить действительное число в десятичную систему счисления из любой другой позиционной системы счисления, определять, в какой системе счисления записано число.

Как мы открыли правило перевода действительных чисел в десятичную систему счисления, ведь раньше знали только, как целое число перевести из двоичной в десятичную систему счисления?

Мы вспомнили известное правило, обобщили его на действительные числа и по аналогии записали для других систем счисления.

Как вы думаете, что мы должны изучить на следующем уроке?

Перевод чисел из 10-исной системы счисления в любую другую позиционную систему счисления.

Спасибо, запишем домашнее задание: 2.6-2.7.1 задания 2.6 – перевести числа в 10-ичную СС, 2.7(во сколько раз увеличится число при переносе запятой),2.8(определить основание СС),2.9(определить основание СС, в которой записаны числа)

А сейчас проверим как вы усвоили материал. Выполните тест за компьютерами. Результаты теста запишутся в файл и я позже просмотрю как вы справились с тестом.

Садятся за компьютеры. Выполняют тест.

Поднимите руки, кто получил «5», «4»?

Название СС

Основание СС

Алфавит

Десятичная

10

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Двоичная

2

0,1

3

5

8

12

16