Решение целых уравнений

Алгебра 9 класс. Решение целых уравнений

Основные цели:

1) углубить знания учащихся по решению целых уравнений;

2) вывести алгоритм решения целых уравнений методом разложения на множители;

3) формировать умение применять этот алгоритм для решения целых уравнений

4) формировать умения применять полученный метод в нестандартных ситуациях, для решения практических задач, задач ОГЭ;

5) тренировать мыслительные операции анализ, синтез, сравнение, речь, логическое мышление, навыки самоконтроля; познавательные умения

6) способствовать формированию навыков группового взаимодействия: планирование учебного сотрудничества, умения выражать свои мысли

1.Мотивация к учебной деятельности

Цель этапа:

1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока: продолжаем работать с целыми уравнениями, способами их решения, применение на практике

– Здравствуйте, ребята! Я рада вас видеть в хорошем настроении. И начать сегодняшнюю работу позвольте с высказывания Д.Пойа, венгерского, швейцарского, американского математика: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». Как вы его понимает? Пусть он будет девизом нашего сегодняшнего урока.

– Какой темой мы занимались на предыдущих уроках? (целыми уравнениями)

- Напомните, пожалуйста, какие уравнения мы назвали целыми уравнениями.

- Что такое стандартный вид уравнения?

- Что значит решить уравнение?

- Какие уравнения называются равносильными уравнениями?

- Назовите известные вам на сегодня виды целых уравнений (линейные, квадратные, кубические)

- Напомните, в каких областях находит применение эта тема? (При решении текстовых задач, работе с функциями, в практической жизни,…)

- Сегодня и в дальнейшем вам понадобятся эти знание и умения для получения новых знаний. А раз сегодня урок открытия новых знаний, то … (должны понять, что мы знаем, что мы ещё не знаем и сами найдём способ)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном учебном действии.

Цель этапа:

1) организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания и получить новый способ решения целого уравнения;

2) зафиксировать актуализированные способы действий в речи;

3) зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталоны);

4) организовать обобщение актуализированных способов действий;

5) организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового знания: анализ, аналогия, обобщение;

6) мотивировать к выполнению пробного действия;

7) организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия;

8) организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися пробного учебного действия или в его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе 2:

Назовите все способы разложения многочлена на множители. Какой способ вы бы применили для указанного многочлена: х3 – 6х; х3 – 2х2 - 15х;  16в2 – а4;

Целым уравнением называют уравнение, в котором левая и правая части — целые выражения (т. е. выражения, где переменная не находится в знаменателе дроби и не под знаком корня).

Любое целое уравнение можно преобразовать к виду:

P(x)=0,

где P(x) — многочлен стандартного вида.

Основные методы решения

Разложение на множители
Применяется, если многочлен в левой части можно представить в виде произведения множителей.
Алгоритм:

Перенести все слагаемые в одну часть, получив P(x)=0.

Разложить P(x) на множители.

Приравнять каждый множитель к нулю и решить полученные уравнения.

Введение новой переменной
Используется, если уравнение содержит повторяющиеся выражения или степени выше второй.
Алгоритм:

Заменить часть выражения новой переменной (t=f(x)).

Решить уравнение относительно t.

Вернуться к исходной переменной и найти x.

Пример:

9x4−10x2+1=0

Пусть t=x2, тогда:

9t2−10t+1=0D=100−36=64t1​=1810+8​=1,t2​=1810−8​=91​

Возвращаемся к x:

x2=1⇒x=±1x2=91​⇒x=±31​

Ответ: x=±1;±31​.

Метод подбора корня
Если уравнение имеет целые коэффициенты, его целые корни — делители свободного члена.
Алгоритм:

Выписать все делители свободного члена.

Подставлять их в уравнение до нахождения корня.

Разделить многочлен на (x−x0​), где x0​ — найденный корень.

Решить полученное уравнение меньшей степени.

Пример:

x3−2x2−x+2=0

Делители свободного члена (2): ±1,±2.
Подставляем x=1:

1−2−1+2=0(корень)

Делим многочлен на (x−1) (например, схемой Горнера) и решаем квадратное уравнение.

Использование симметрии (для возвратных уравнений)
Если коэффициенты симметричны, можно разделить на xk и сделать замену.

Пример:

x4+7x2−44=0

Замена t=x2 приводит к квадратному уравнению.

Общий алгоритм решения

Привести уравнение к виду P(x)=0.

Определить степень многочлена.

Выбрать метод решения (разложение, замена, подбор).

Найти корни.

Проверить решение (подстановкой или анализом).

Примеры типовых задач

Линейное уравнение:

4x+8=0⇒x=−2

Квадратное уравнение:

x2+2x+1=0⇒(x+1)2=0⇒x=−1

Уравнение выше второй степени:

x4−25x2+60x−36=0

Разложение:

(x2−5x+6)(x2+5x−6)=0

Решение каждого квадратного уравнения даёт корни: x=−6;1;2;3.

Важно:

Всегда проверяйте найденные корни подстановкой.

Для уравнений высокой степени полезно использовать теорему о рациональных корнях.

Графические методы могут помочь в оценке количества корней.

х3 – 8х2 – х +  8;        9х2 – 10х + 1

Существуют два основных метода решения целых уравнений выше второй степени:

А) Работа в тетрадях, 2 ученика решают у доски:

(а2 – 9)2 – 8(а2 – 9) + 7= 0

(х2+2х+3)2 – 2(х2+2х+3) =3

Б) Решение уравнений совместно с учителем:

1)

х4 – 25х2 + 60х – 36 = 0.
х4 – (25х2 – 60х + 36) = 0;
х4 – (5х – 6)2 = 0;
(х2 – 5х + 6) (х2 + 5х – 6) = 0;

Ответ: –6; 1; 2; 3.

2)

(2х2 – х + 1)2 + 6х = 1 + 9х2.
(2х2 – х + 1)2 – (9х2 – 6х + 1) = 0;
(2х2 – х + 1)2 – (3х – 1)2 = 0;
(2х2 – х + 1 – 3х + 1) (2х2 – х + 1 + 3х – 1) = 0;
(2х2 – 4х + 2) (2х2 + 2х) = 0;

Ответ: –1; 0; 1.

3) (х2 – 4) (х2 + 2х – 3) = 60.

Разложим выражения, стоящие в скобках, на множители.

(х – 2) (х + 2) (х – 1) (х + 3) = 60.

Найдем произведение крайних и средних множителей:

(х2 + х – 6) (х2 + х – 2) = 60.
х2 + х – 6 = а.
а (а + 4) = 60;
а2 + 4а – 60 = 0;
а1 = –10, а2 = 6.

Ответ: –4; 3.

- Кто не справился с последним заданием? Почему?

- Кто справился с заданием? У кого есть результат? Можете ли вы его обосновать, доказать?

3. Выявление места и причины затруднения

Цель этапа:

1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;

 -Какое задание вы должны были выполнить?  (Решить целое уравнение третьей степени )

 -В каком месте возникло затруднение? (Я не смог найти корни этого уравнения)

-А почему оно возникло? ( Я не знаю алгоритма решения такого целого уравнения)

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа:

1)организовать коммуникативное групповое взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2)согласовать цель и тему урока

-Значит, какую цель вы перед собой поставите?  (учиться решать целые уравнения, получить алгоритм решения)

-Сформулируйте тему нашего сегодняшнего урока (Решение целых уравнений)

-А какими средствами мы будем достигать поставленной цели? (можно найти соответствующий материал в учебнике, поискать правило в интернете, спросить у учителя, вывести новый алгоритм самостоятельно, используя уже известные алгоритмы, правила и свойства).

Да, для уравнений 3 и 4 степени существуют специальные формулы для их решения, но они настолько сложны в использовании, что их изучением занимаются только в курсе высшей математики, а для уравнений 5 степени и выше вообще нет никаких формул.

При подготовке к экзаменам мы сталкиваемся с разными по уровню сложности уравнениями: тут и линейные, и квадратные,  приёмы решения которых мы выработали в курсе изучения математики в 5-8 классах , но  во второй части модуля «Алгебра» на ОГЭ, часто встречаются уравнения выше второй степени, для решения которых необходимо знание нестандартных приёмов. Уравнение - самая простая и распространённая задача математики, решение которых известно с древних времён,  и у вас есть опыт решения уравнений разных типов, и нам  нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приёмах решения нестандартных уравнений.

-Работая в парах , попробуйте исследовать и решить последнее уравнение, опираясь на материал начала урока, разработайте алгоритм решения уравнений подобного вида

Напоминаю правила работы в парах:

Работать должны оба

Один говорит, второй слушает

Свое несогласие выражай вежливо

Если не понял, переспроси

5. Реализация построенного проекта

Цель этапа:

1) вывести алгоритм решения целого уравнения

2) зафиксировать новый способ в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Идёт работа  в парах по решению уравнения и составления алгоритма решения.

Подводим итоги работы в парах, фиксируем результаты.

-Сформулируйте алгоритм  решения целого уравнения:

1) Привести уравнение к стандартному виду

2) Разложить многочлен в левой части уравнения на множители

3) Использовать свойство произведения равного нулю

4) Решить простейшие уравнения

5) Записать ответ

-Как можно назвать рассмотренный метод решения уравнений? (метод разложения на множители)

-Любое ли целое уравнение можно решить этим методом? (нет, только такое, чью левую часть можно разложить на множители)

-Вы достигли поставленную цель? (Да, мы получили алгоритм решения целого уравнения с помощью разложения на множители)

− Какие задания вы теперь можете выполнять? (Мы теперь сможем решать целые уравнения методом разложения на множители)

− Что теперь вы должны сделать? (Мы должны научиться применять новый алгоритм.)

6.Первичное закрепление во внешней речи

Цель этапа: применение нового алгоритма в типовых заданиях

№ 272(б,г,д,з) письменное решение с проговариванием всех этапов решения

− Как вы выполняли задание?

− У кого выполнение задания вызвало затруднение?

− В каком месте?

− Почему у вас возникло затруднение?

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель этапа:

проверить своё умение применять новое свойство в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

(взять по два задания из сборника ОГЭ)

1 вариант: 1) 5х3 + 3х2 = 2х4

                   2) вариант 11, № 21

2 вариант:  1) 3х4= 8х3 – 5х2

                    2) вариант 12, № 21

(проверка по эталону)

− У кого задание вызвало затруднение?

− В каком месте возникло затруднение?

− Какой шаг алгоритма не выполнили?

− Кто может сказать, что правильно понял, как применять  алгоритм решения  целых уравнений с помощью разложения на множители?

− Кому еще надо учиться?

8. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа:

1) тренировать навыки использования нового алгоритма при решении заданий, связанных с функциями, текстовыми задачами

2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках.

Умение решать уравнения с помощью разложения на множители часто применяется при решении более сложных уравнений и заданий ОГЭ.

1) № 284(а)

2) ОГЭ ( 2 часть) Найти координаты точек пересечения графика функции у= 3х3 – х2 + 18х – 6 с осями координат.

3) При каких значениях р равны значения двучленов: 3р2 – 2р и 2р3 – 3 ?

4) № 354(а)

9. Рефлексия деятельности на уроке

Цель этапа:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) оценить собственную деятельность на уроке;

3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;

4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

– Что нового вы узнали сегодня на уроке?

– Что использовалось при выведении нового алгоритма?

– Какие знания нам помогли в работе?

– Оцените свою работу на уроке. Для этого определите истинность для себя одного из следующих утверждений:

1.Я понял, как  применять алгоритм решения целого уравнения с помощью разложения на множители

2.Я знаю, как применить новый способ, но допускаю ошибки.

3.Я знаю, как исправить ошибку, если я выполнил задание неверно.

4.У меня есть вопросы по данной теме

д/з: № 267, 273, 354б, (2х2 + 3)2 – 12(2х2 + 3) + 11 = 0