Роль арифметической и геометрической прогрессии в жизни людей

Роль геометрической и арифметической прогрессии в жизни людей

Представьте, что Вы стоите перед дилеммой: либо получить 100 тысяч долларов прямо сейчас, либо в течение 28 дней получать монетку в один цент, которая ежедневно удваивается. Что бы Вы предпочли?

Большинство людей выберет 100 тысяч долларов, думая, что это большая сумма. Но они не учитывают эффект геометрической прогрессии. Если маленькая монетка в один цент будет ежедневно удваиваться, то к 28 дню Вы получите 1,3 миллиона долларов!

Прогрессия - это последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей. Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия Простейшие виды прогрессий

Задача о делении хлеба 100 мер хлеба разделить между 5-ю людьми так, чтобы 2-й получил настолько же больше 1-го, насколько 3-й получил больше 2-го, 4-й больше 3-го и 5-й больше 4-го. Кроме того, 1-й и 2-й должны получить в 7 раз меньше 3-х остальных. Сколько нужно дать каждому?

Задача о делении хлеба. Решение Х – доля первого У – разность между долями

Задача о делении хлеба. Решение Решив данную систему, получаем, что: Х = 1 2 3 У = 9 1 6 Х + (Х + У) + (Х + 2У) + (Х+ 3У) + (Х + 4У) = 100 7(Х + (Х + У)) =(х+2у) (Х+ 3У) + (Х + 4У) и

Задача о делении хлеба. Ответ Хлеб был разделен на следующие части: 1 , 10 , 20, 29 , 38 2 3 5 6 1 6 1 3

Легенда о изобретателе шахмат Индийский царь Шерам, вызвал к себе изобретателя шахмат и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую – два, за третью ещё в два раза больше, т.е. четыре, за четвёртую ещё в два раза больше и т.д.

Легенда о изобретателе шахмат

Легенда о изобретателе шахмат 18446744073709551615

Карл Фридрих Гаусс Когда К.Ф.Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100 включительно: 1+2+3+4+5+…+100» Каково же было удивление учителя, когда Гаусс через минуту воскликнул: «Я уже решил».

Карл Фридрих Гаусс Сумма чисел в каждой паре равна 101: 1, 2, 3, …, 50 40, 39, 38, …, 51 + 101,101,101, …,101 Таких пар 50, поэтому искомая сумма равна: 101 * 50 = 5050

Учебник Магницкого В школьном обиходе прогрессии появились сравнительно недавно. В учебнике «Арифметика» (Ломоносов называл его «вратами учёности») Л.Ф. Магницкого, изданном 200 лет назад и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собой, в нём не дано. Сам составитель учебника не без затруднений справлялся с такими задачами.

Задача про лошадь Некто продал лошадь за 156р. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возразил продавцу, говоря: - Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: - Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди; лошадь же тогда получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего копейки, за второй копейки., за третий - 1 копейку и т. д.. Покупатель, соблазнённый низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался? 1 4 1 2

Задача про лошадь. Решение: Составим последовательность чисел: 1, 2, 22,…221 Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q = 2, n = 24 Посчитаем сумму, которую потратит покупатель: S24 =                     ≈ 42000 р. 0,25 * (224 - 1) 2-1

Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается путем прибавления к предыдущему числу постоянного числа d (разности прогрессии). Свойства арифметической прогрессии: ●Сумма первых n членов арифметической прогрессии a1 + an 2 a1 +d(n-1) 2 2 ●Общий член арифметической прогрессии an = a1 + d(n-1) ●Характеристическое свойство арифметической прогрессии an-1 + an+1 2 ●Нахождение разности d арифметической прогрессии am-an m-n an = , n ≥2 d = Sn  =              =

Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел b1,b2,b3... (называемых членами прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (называемое знаменателем прогрессии), где b1 ≠ 0, q ≠ 0 ● Сумма n первых членов геометрической прогрессии b1(1-qn) 1-q Sn = q = Свойства геометрической прогрессии: ●Общий член геометрической прогрессии bn = b1 * qn-1 ●Характеристическое свойство геометрической прогрессии b2n = bn-1 * bn+1 ●Формула знаменателя геометрической прогрессии bn+1 bn

Математические задачи Задачи из ОГЭ            №2. Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд? Решение: растущая скорость камня представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 9 и разностью 10. Найдем сумму этой прогрессии:        №1. В ходе бета-распада радиоактивного изотопа А каждые 8 минут половина его атомов без потери массы преобразуются в атомы стабильного изотопа Б. В начальный момент масса изотопа А составляла 160 мг. Найдите массу образовавшегося изотопа Б через 40 минут. Ответ дайте в миллиграммах. Решение: рост массы стабильного изотопа представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом 80 и знаменателем По формуле суммы геометрической прогрессии найдём массу стабильного изотопа Б через 40 минут

Математические задачи Планиметрическая задача В прямоугольном треугольнике KLM проведён отрезок MD, соединяющий вершину прямого угла с точкой D на гипотенузе KL так, что длины отрезков DL, DM и DK различны и образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию со знаменателем √2, причём DL = 1. Найдите косинус угла KMD. K L M D 1 2

Математические задачи Планиметрическая задача. Решение Из условия задачи следует, что DM = √2, DK = 2       Обозначим  KMD  = α,   MLK = β. По теореме синусов из треугольника MDL получаем: K L M D 1 DM sin ∟MLD LD sin ∟DML √2 sinβ  1 sin (90 -α) sinα  = √2*cosα α β = = 2

Математические задачи Планиметрическая задача. Решение K L M D 1 Из прямоугольного треугольника MKL следует:  KM = KL sinα = 3√2 cosα  α β Далее согласно теореме косинусов для треугольника DKM получаем: DK2  = MK2  + MD2 – 2MK* MD*cosα  4 = 18 cosα + 2 – 2√2*3√2*cos2α    cosα    = 1 √3                              1 Ответ: cosα =   √3 2

Применение прогрессий Область применения прогрессий не ограничивается математикой. Мы можем столкнуться с прогрессиями в таких областях знаний как: физика, химия, биология, архитектура, экономика, медицина. Физика. Деление ядер урана происходит с помощью нейтронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейрона затем они, ударяя по двум ядрам, раскалывают их ещё на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия. Равноускоренное движение – арифметическая прогрессия.  

Применение прогрессий Химия. При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии. Строительство. Возведение многоэтажного здания – пример арифметической прогрессии. Медицина. Острота зрения определяется по таблице (кольца с геометрической прогрессией или буквы). Лекарства назначают принимать по схеме, которая представляет собой арифметическую прогрессию.

Применение прогрессий Биология. В области биологии было написано большое количество работ, где исследовались процессы протекания различных явлений по законам арифметической и геометрической прогрессии. Одной из более известной является работа Т. Р. Мальтуса, в которой он выдвигает предположение, что если увеличение выпуска средств существования растёт в арифметической прогрессии, то население будет расти в геометрической прогрессии, но однако его теория провалилась.

Летом инфузории размножаются Летом инфузории размножаются бесполым способом деления пополам Вопрос: сколько будет инфузорий после 15 размножения?  b15=215= 32 768 Задачи из жизни Интенсивность размножения организмов Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз.

Задачи из жизни Интенсивность размножения организмов «Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара». К. А. Тимирязев Всего за 5 поколений, т.е. за 1-1,5 летних месяца одна единственная тля может оставить около 300 млн потомков, а за год её потомство способно покрыть поверхность Земного шара слоем толщиной почти 1 метр.

Применение прогрессий Всевозможные виды бактерий размножаются делением одной клетки на две, каждая из этих двух в свою очередь также делится на две и получается 4 бактерии, потом 8 и т.д. Если одну бактерию поместить в идеальные условия с обилием пищи, то за одни сутки её потомство должно составить 281 474 976 710 656 клеток. Таким образом, мы имеем дело с примером геометрической прогрессии в природе.

Применение прогрессий Число бактерий различно в воздухе проветренных и непроветренных помещений. Так, в классе после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в той же комнате после урока. Поэтому следует проветривать классную комнату на каждой перемене.

Задачи из жизни Задача на интенсивность размножения бактерий Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

Задачи из жизни Задача на интенсивность размножения бактерий        В сутках 1440 минут,  каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим: S72 =272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 – 1 S72 = 4 722 366 482 869 645 213 695 Ответ: 4 722 366 482 869 645 213 695 бактерий образуются из одной к концу суток

Интенсивность размножения бактерий используют… Задачи из жизни В пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.) В фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин) В сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.) в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен)

Задачи из жизни Финансовая математика Задачи финансовой математики представляют интерес не только для будущих финансистов, но и для всех людей. С такими задачами приходится иметь дело при оформлении в банке сберегательного вклада или кредита, покупке товаров в рассрочку, при выплате пени, налогов, страхования и т.д.

Задачи из жизни Формулы процентов Формула простых процентов (в основе лежит алгебраическая прогрессия): Формула сложных процентов (в основе лежит геометрическая прогрессия): S=*   S = *(1+ )  

Задачи из жизни Задача о финансах Заёмщик получил в банке 1 января кредит в сумме 54000 руб. на срок в 3 года с условием его ежемесячного погашения равными долями в последний день месяца, начиная с 31 января, и одновременной уплатой 3% за месяц пользования кредитом. Какую сумму заплатит за пользование кредитом заёмщик, если все три года будут своевременно выполняться первоначальные условия договора?

Задачи из жизни Задача о финансах Плата за кредит уменьшается на: 0,03 * 1500 = 45 (руб.) т.е. эта величина является арифметической прогрессией с а1 = 1620 и d = - 45 2a1 + d(n-1) 2 2*1620 – 45*(36-1) 2                                    S36=                                   = 29970 Ответ: 29970 рублей Требуется найти сумму 36 членов этой прогрессии:                                                Sn=                          *n

«…Не мог он ямба от хорея Как мы не бились отличить…» «…Не мог он ямба от хорея Как мы не бились отличить…» Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8;…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2. Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетные слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7;.. Примеры. Ямб: «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…», прогрессия 2; 4; 6; 8;… Хорей: «Я пропАл, как звЕрь в загОне» Б.Л.Пастернак, «БУря  мглОю  нЕбо  крОет» А.С. Пушкин, прогрессия 1; 3; 5;7. Прогрессии в литературе Задачи из жизни

В новелле О. Бальзака «Гобсек» один из героев, господин Дервиль, взял у ростовщика Гобсека сумму в 150 000 франков сроком на 10 лет под 15% годовых. Вычислим, какую сумму вернул Дервиль Гобсеку по прошествии этого срока. Задачи из жизни Прогрессии в литературе В новелле О. Бальзака «Гобсек» один из героев, господин Дервиль, взял у ростовщика Гобсека сумму в 150 000 франков сроком на 10 лет под 15% годовых. Вычислим, какую сумму вернул Дервиль Гобсеку по прошествии этого срока.

= 150 000, р = 15%, n = 10. По формуле сложных процентов имеем: Задачи из жизни Прогрессии в литературе = 150 000, р = 15%, n = 10. По формуле сложных процентов имеем:   S=*   S = 150 000*≈ 606 834   S = *(1+ ) S = 150000*(1+) = 375000   Если подсчёты вести по формуле простых процентов: