Арифметическая и геометрическая прогрессии (Алгебра, 9 класс)
Петропавловская Ольга Анатольевна,
учитель математики МОУ «Гимназия № 20 имени Героя Советского Союза В. Б. Миронова», г. Саранск
Тема. Арифметическая и геометрическая прогрессии (9 класс)
Тип урока: обобщение знаний, формирование практических способов действий
Цели урока:
образовательные:
- исследовать связь между арифметической и геометрической прогрессиями;
- познакомить с понятием функции дискретной переменной;
- усвоить и отработать приемы построения графика функций дискретной переменной;
развивающие:
- развить умение наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждение по аналогии;
- сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель в некоторой реальной ситуации;
воспитательные:
- показать связь математики с реальной действительностью, развить культуру и стиль мышления, математическую речь учащихся;
- формировать информационную культуру, интерес к информатике;
Технические средства: компьютеры, мультимедийный проектор, презентация «Арифметическая и геометрическая прогрессия», мультимедийный диск «Интерактивная математика. 5-9 классы».
Ход урока.
1. Организационный момент. Сообщение темы, целей урока.
2. Актуализация опорных знаний.
Учитель:
- вспомним:
1) определение арифметической и геометрической прогрессий,
2) формулы n-ных членов арифметической и геометрической прогрессий,
3) формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий,
4) характеристические свойства прогрессий.
(Соответствующие формулы ученики записывают на доске и в тетрадях).
3. Учитель:
-рассмотрим и решим 2 задачи.
ЗАДАЧА 1. Вертикальные стержни фермы имеют следующую длину: наименьший 3 дм, а каждый следующий длиннее на 2 дм.
ЗАДАЧА 2. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две.
Задания к задачам.
1. Запишите последовательность в соответствии с условием задачи.
2.Постройте график заданной прогрессии по данным задачи, если 1 ≤n ≤ 7 используя мультимедийный диск «Интерактивная математика. 5-9 классы».
3. Сформулируйте вывод о графике.
Учитель:
Какие сведения нам необходимы для построения графика?
Как вы считаете, существует ли здесь функциональная зависимость, обоснуйте свой ответ.
Охарактеризуйте область определения каждой из этих функций.
Следовательно, арифметическая и геометрическая прогрессии есть функции, заданные на множестве натуральных чисел. Внимательно рассмотрите графики этих последовательностей и сделайте выводы о членах этих прогрессий.
(вывод: при n=1,2,3 члены геометрической прогрессии увеличиваются незначительно, даже медленнее, чем члены арифметической прогрессии, но с увеличением номера члена члены геометрической прогрессии делают резкий скачок в сторону увеличения).
Сообщение ученика.
Об этой особенности членов геометрической прогрессии хорошо знал изобретатель шахмат много веков назад. До нас дошла легенда. Индийскому царю понравилась игра в шахматы. Он решил вознаградить изобретателя. Тот попросил за одну клетку шахматной доски - 1 пшеничное зерно, за 2 клетку- 2 зерна, за 3 клетку- 4 зерна, за 4 клетку- 8 зерен, за 5 клетку- 16 зерен и т.д. царь был очень огорчен тем, что изобретатель попросил столь ничтожную плату. И был удивлен, когда придворные математики сообщили ему требуемое количество зерен: 18 446 744 073 709 551 615 зерен, что составило 230 584 300 921 369 пудов.
Чтобы поместить такое количество зерна нужно построить амбар высотой 4 м, шириной- 10 м и длиной- 300000000 км. Это расстояние в 2 раза больше расстояния от земли до солнца. Чтобы получить такой урожай надо засеять пшеницей поверхность всей земли: океаны, моря, горы, пустыни, Арктику, Антарктику и получать средний урожай в течение 5 лет.
Учитель:
С формулой
связан случай с великим математиком К.Ф. Гауссом. Однажды на уроке, чтобы занять первоклассников, пока он будет заниматься с учениками 3-его класса, учитель велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени. Едва учитель закончил чтение условия, Гаусс предъявил ответ, записанный на грифельной доске. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже называли «царем математики».
Сформулируйте свойство членов конечной арифметической прогрессии, на основании которого маленький Гаусс решил эту задачу. (В конечной арифметической прогрессии суммы членов равноотстоящих от концов прогрессии равны между собой).
Как вы считаете, обладают ли похожим свойством члены конечной геометрической прогрессии? (В конечной геометрической прогрессии произведения членов равноотстоящих от концов прогрессии равны между собой). Докажем это свойство для конечной геометрической прогрессии b1, b2, b3, b4, b5, b6.
( Доказательство у доски:
b1*b6=b1*b1q5=b12q5
b2*b5=b1q*b1q4=b12q5
b3*b4=b1q2 *b1q3=b12q5.
Итак, b1*b6= b2*b5 =b3*b4.)
Решим задачу № 403 («Алгебра 9»,авторы Ш.А. Алимов и др.), в которой применяется одно из характеристических свойств прогрессий.
(№ 403. В арифметической прогрессии а3+а9=8. Найти S11).
Обратитесь еще раз к формулам n-ного члена прогрессий и их характеристическим свойствам.
Внимательно посмотрите, подумайте и скажите, что надо сделать, изменить в этих формулах, чтобы все увидели связь, которая существует между ними? (Да, похожи если заменить в формулах n-ного члена сложение умножением и умножение – возведение в степень. Родство прогрессий становится еще более заметным, если в формулах, выражающих характеристические свойства заменить сложение умножением, а деление на 2 – извлечением квадратного корня. И тогда из характеристического свойства арифметической прогрессии получится характеристическое свойство геометрической прогрессии).
На связь между арифметической и геометрической прогрессиями первым в глубокой древности обратил внимание Архимед. В 1544 году вышла книга немецкого математика Штифеля «Общая арифметика», в которой он составил следующую таблицу:
Как вы считаете, есть ли какая-то закономерность, связывающая числа в строке? (В верхней строке арифметическая прогрессия с разностью единица. В нижней – геометрическая прогрессия со знаменателем 2).
Охарактеризуйте связь, существующую между строками таблицы? (Числа верхней строки есть показатели степени с основанием 2, а соответствующие числа нижней строки есть значение этой степени).
Таким образом, числа в нижней строке можно записать в виде последовательности:
2-4 ; 2-3 ; 2-2 ; 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; 24 ; 25 ; 26; 27. Докажите взаимосвязь данной последовательности с темой урока? (Показатели степеней являются членами арифметической прогрессии, а сами степени составляют геометрическую прогрессию).
4. Итог урока.
1) Арифметическая и геометрическая прогрессии есть функции, заданные на множестве натуральных чисел.
2) В конечной арифметической прогрессии суммы членов равноотстоящих от концов равны.
3) В конечной геометрической прогрессии произведения членов равноотстоящих от концов равны.
4) Если показатели степеней являются членами арифметической прогрессии, то сами степени являются членами геометрической прогрессии.
5. Домашнее задание.
Докажите или опровергните тезис «3 числа могут составить одновременно арифметическую и геометрическую прогрессии».
