Урок-лекция по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия»
Урок-лекция по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия»
Подробный конспект урока
Тип урока: урок-лекция.
Цели урока.
Учебные задачи урока:
Изучить прогрессию как математическую модель процессов реальной действительности. Дать определения арифметической и геометрической прогрессии, изучить свойства и способы их задания. Дать определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии, формулу суммы ее членов.
Диагностируемые цели:
В результате изучения урока ученик должен:
Знать:
- определение арифметической прогрессии,
- понятие разности арифметической прогрессии,
- формулу n-го члена арифметической прогрессии,
- определение геометрической прогрессии,
- понятие знаменателя геометрической прогрессии,
- формулу n-го члена геометрической прогрессии,
- способы задания арифметической и геометрической прогрессии,
- характеристическое свойство арифметической (геометрической) прогрессии.
Уметь:
- распознавать арифметические и геометрические прогрессии,
- находить неизвестный член арифметической и геометрической прогрессии.
Понимать:
- взаимосвязь членов арифметической прогрессии, разности и номера члена арифметической прогрессии,
- взаимосвязь членов геометрической прогрессии, разности и номера члена геометрической прогрессии,
- взаимосвязь между понятием арифметической и геометрической прогрессии и процессами реальной действительности.
Методы обучения: эвристическая беседа, метод УДЕ.
Форма обучения: фронтальная.
Средства обучения: традиционные, презентация, раздаточный материал (канва-таблица).
Структура занятия:
1. Мотивационно-ориентировочная часть (15 мин),
2. Операционно-познавательная часть (27 мин),
3. Рефлексивно-оценочная часть (3 мин).
Конспект урока
1. Мотивационно-ориентировочная часть
Актуализация
Задание 1.
1) 1, 4, 9, 16, …;
2) 3, 5, 7, 9, 11, …;
3) 4, 8, 16, 32, …;
4) –1, –1, –1, …;
5) –1, 2, –4, 8, –16, …;
6) 10, 9, 8, 7, 6, …;
Что изображено на слайде? (последовательности)
Определите для каждой последовательности, с помощью каких формул можно вычислить члены последовательности? (заполняем канву-таблицу)
| 1) 1, 4, 9, 16, …; | an = n2 |
| 2) 3, 5, 7, 9, 11, …; | an+1 = an + 2 |
| 3) 4, 8, 16, 32, …; | an+1 = an ∙ 2 |
| 4) –1, –1, –1, …; | an =-1 |
| 5) –1, 2, –4, 8, –16, …; | an+1 = an ∙ (-2) |
| 6) 10, 9, 8, 7, 6, …; | an+1 = an + (-1) |
| | an = |
| | an+1 = an ∙ |
Давайте выделим группы последовательностей.
Есть ли среди этих формул однотипные? (да, 2 и 6; 3,5 и 8)
Какой общей формулой можно задать вторую и шестую последовательности? (an+1 = an + k, где k – константа)
Какой общей формулой можно задать третью, пятую и восьмую последовательности? (an+1 = an ∙k, где k – константа)
Какие группы у нас получаются? (1 – следующий член определяется через прибавление константы к предыдущему, 2 – следующий член определяется через умножение предыдущего на константу, 3 – другая формула)
Можно ли представить подобным образом последовательность под номером 4? (Да, an+1 = an + 0, an+1 = an ∙ (-1))
Мы можем отнести последовательность под номером 4 и к первой, и ко второй группе.
Распределите последовательности по группам.
| 1) 1, 4, 9, 16, …; (3) | an = n2 |
| 2) 3, 5, 7, 9, 11, …; (1) | an+1 = an + 2 |
| 3) 4, 8, 16, 32, …; (2) | an+1 = an ∙ 2 |
| 4) –1, –1, –1, …; (1,2,3) | an =-1 |
| 5) –1, 2, –4, 8, –16, …; (2) | an+1 = an ∙ (-2) |
| 6) 10, 9, 8, 7, 6, …; (1) | an+1 = an + (-1) |
| | an = |
| | an+1 = an ∙ |
Такие последовательности, которые мы выделили, часто встречаются в жизни и используются при решении многих задач. Давайте рассмотрим задачу 1.
Мотивация
На доску проецируется таблица, состоящая из двух столбцов. В первой строчке слева задача, приводящая к арифметической, а справа – к геометрической прогрессии. Ученикам раздаются соответствующие таблицы. Осуществляется поэтапный анализ каждой из задач.
Задание 2.
| Задача 1 | Задача 2 |
| Отдыхающий, по совету врача, загорал в первый день 10 минут, а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 минут. Сколько времени отдыхающий будет загорать в седьмой день своего отпуска? | Турист идет в гору. Так как он устает, его скорость снижается, и за каждый следующий час он проходит расстояние, в два раза меньшее, чем за предыдущий час своего пути. Какое расстояние пройдет турист за седьмой час, если за первый час он прошел 800 м? |
Прочитаем условие задачи.
Что нам известно?
| Первый день – 10 мин, каждый последующий день время пребывания на солнце увеличивается на 5 минут. | Первый час – 800 м, а в каждый последующий час пройденное за час расстояние уменьшается в два раза. |
Что требуется найти в задаче?
| Сколько времени отдыхающий будет загорать в седьмой день своего отпуска? | Какое расстояние пройдет турист за седьмой час? |
Как будем решать задачу (прибавим к десяти пять шесть раз, умножим 800 на ½ 6 раз)
Что получим?
| Ответ: в седьмой день отдыхающий будет загорать 40 минут | Ответ: за седьмой час турист пройдет 12,5 м |
Назовите последовательность в соответствии с условием задачи.
| 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; ... | 800; 400; 200; 100; 50; 25; 12,5; ... |
Укажите последующий, предыдущий члены последовательности. Чем они отличаются?
| an+1 = an + 5 | an+1 = an ∙ 1/2 |
К какой группе последовательностей мы можем отнести получившуюся последовательность? (к 1 (2)). Мы видим с вами, что в повседневной жизни встречаются последовательности первой (второй) группы.
Мы видим с вами, что из всех последовательностей выделяются особые виды числовых последовательностей. Поэтому сегодня на уроке мы должны изучить эти последовательности, дать им названия, рассмотреть их определения и свойства. Это цель нашего урока сегодня.
Обе эти последовательности называются прогрессиями.
Первый вид последовательностей называется арифметической, а второй геометрической прогрессией.
Записываем тему урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
2. Операционно-познавательная часть.
Историческая справка:
Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.
Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.
Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.)
Само слово "Прогрессия", означающее "движение вперед", было введено римским автором Боэцием (VI век) и понималось в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.
Предлагается в таблицах слева написать "Арифметическая прогрессия", а справа "Геометрическая прогрессия". Всю работу школьники проделывают на доске и в таблицах одновременно для обеих прогрессий.
Запишем в таблицу рассматриваемые нами прогрессии и отношения между их членами.
| Арифметическая прогрессия | Геометрическая прогрессия |
Попробуйте сами сформулировать определение арифметической (геометрической) прогрессии.
Заполните пропуски в таблице.
| Определение | |
| Числовая последовательность a1, a2, …, an, … называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство an+1 = an + d, где d – некоторое число. Число d называется разностью арифметической прогрессии. d = an+1 – an. | Числовая последовательность b1, b2, …, bn, … называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bn q, где bn ≠0, q – некоторое число, не равное нулю. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. |
Вернемся к нашим задачам (дальнейшая работа сначала ведется с одной задачей, затем по аналогии с другой).
Чему равна разность прогрессии? (5) (Чему равен знаменатель прогрессии? (1/2))
Что еще кроме разности нам известно в задаче? (первый член прогрессии a1 = 10) (Что еще кроме знаменателя нам известно в задаче? (первый член прогрессии b1 = 800))
Как узнать седьмой член прогрессии? (по формуле зависимости последующего члена последовательности от предыдущего и разности (знаменателя))
Для того чтобы найти седьмой член последовательности, нам нужно проделать данную операцию 6 раз. А если бы нам требовалось найти двадцатый член прогрессии?
Согласитесь, это неудобно. Для облегчения данной задачи выведем формулу n-го члена прогрессии, который не зависит от значения предыдущего члена прогрессии.
В тетради:
Запишем первый член прогрессии, второй выразим через первый и т. д.
| Формула n-го члена прогрессии | |
| a1 = 10 a2 = 10 + 5 = 15 a3 = 10 + 5 = (10 + 5) + 5 = 10 + 2∙5 =20 … | b1 = 800 b2 = 800 ∙ 1/2 b3 = 800 ∙ 1/2 = (b1 ∙ 1/2) ∙ 1/2 = 800 ∙ 1/22 … |
Какая закономерность прослеживается? (Усматривая закономерность, получаем формулу n-го члена прогрессии)
Как записать формулу n-го члена?
| an = a1 + (n-1)d, n – натуральное | bn = b1 ∙ qn-1, n – натуральное, q≠0, b1≠0 |
Аналогичным образом можно вывести эту формулу в общем виде. Эти выводы вы можете посмотреть в учебнике.
В таблицах:
| Формула n-го члена прогрессии | |
| an = a1 + (n-1)d, n – натуральное | bn = b1 ∙ qn-1, n – натуральное, q≠0, b1≠0 |
Вернемся к вопросу задачи.
Ответим на первый вопрос задачи, используя формулу.
| a7 =10 + (7-1)5 = 40 | b7 = 800 ∙ (1/2)7-1 = 12,5 |
Как мы видим, ответы совпадают, но нашли мы их гораздо быстрее.
Возникает вопрос, почему их так назвали: арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия? Ответ на этот вопрос нам откроют свойства, которые являются для них характеристическими. Решим следующую задачу.
Задание 3
| Задача 3 | Задача 4 |
| Петя заметил, что на первой полке стояло 2 книги, а на третий – 8. При этом на второй полке стояло число книг, равное среднему арифметическому числу книг с первой и третей полок. Сколько книг на второй полке? | Петя заметил, что на первой полке стояло 2 книги, а на третий – 8. При этом на второй полке стояло число книг, равное среднему геометрическому числу книг с первой и третей полок. Сколько книг на второй полке? |
Решим эту задачу.
Как найти среднее арифметическое (геометрическое) двух чисел?
| | |
Запишите результат с данными числами в порядке возрастания.
Является ли последовательность из этих трех чисел арифметической (геометрической) прогрессией? (Да)
Докажите, что для членов прогрессии справедлива закономерность (доказательство проводится по вариантам, затем происходит обсуждение):
| Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. | Каждый член положительной геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. |
| | |
Доказательство:
| an - an-1 = d; an+1 - an = d; an - an-1 = an+1-an 2an = an+1+an-1 | bn/bn-1 = d; bn+1/bn = d; bn/bn-1 = bn+1/bn bn2 = bn+1·bn-1 Это верно для любой геометрической прогрессии. Для положительной прогрессии: Так как bn-1 и bn+1 всегда принимают положительные значения, получаем |
Данная закономерность называется характеристическим свойством.
Оказывается, верно и обратное утверждение:
| Если каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией. | Если каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов, то эта последовательность является положительной геометрической прогрессией. |
3. Рефлексивно-оценочная часть.
Итак, подведем итоги урока.
Какова была цель урока? (Изучить арифметическую и геометрическую прогрессии)
Достигли ли мы ее? (Да)
Что мы изучили? (Определения арифметической и геометрической прогрессии, формулу n-го члена прогрессии, характеристическое свойство, формулу суммы n первых членов прогрессии)
Дзюрич Елена Алексеевна
Горбачева Вера Александровна
Константинова Елена Николаевна
Ольга
Старшов Михаил Александрович