Системы счисления
Основные понятия Система счисления - это способ записи чисел и правила действий над этими числами Число - это величина, а не символьная запись Цифра - набор символов, участвующих в записи числа Алфавит - совокупность различных цифр, используемых для записи числа
Позиционные Непозиционные зависит не зависит значение цифры от ее позиции в числе 323 Три Три сотни единицы XIX десять десять Виды систем счисления
Непозиционные системы счисления единичная древнеегипетская вавилонская римская алфавитная колода I,V,X,L,C,D,M
Единичная («палочная система») (период палеолита, 10-11 тысяч лет до н.э.) Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе. или Обозначение:
= 3 4 5 - единицы - десятки - сотни Обозначение: Иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Древнеегипетская система (ок.2850 до н.э.)
2-ой разряд 1-ый разряд = 60 +20+2 = 82 Вавилонская шестидесятеричная система (2 тысячи лет до н.э.) Первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе. - единицы - десятки - 60 ; 602 ; 603 ; … ; 60n Обозначение:
X X X I I = 32 D X L I I = 542 1000 500 100 50 10 5 1 M D C L X V I Римская система (500 лет до н.э.) В качестве цифр в римской системе используются: Величина числа суммируется из значений цифр. При этом применяется следующее правило: Значение каждой меньшей цифры, поставленной слева от большей, вычитается из значения большей цифры. Если меньшая цифра стоит справа от большей, их значения складываются. Найдите значения чисел:
Римская система счисления
Подробнее о римской системе счисления Правила: (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Примеры: MDCXLIV = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 = 1644 3289 = 3000 + 200 + 80 + 9 2389 = M M M C C L X X X I X MMM CC LXXX IX ВОПРОС! Достоинства и недостатки римской системы
Алфавитные системы (500 лет до н.э.) Алфавитной нумерацией пользовались южные и восточные славянские народы. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальные значок "~" («титло»). Обозначение: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Славянский цифровой алфавит
Система счисления – набор правил записи чисел, а также выполнения операций с ними.
– основание (p) Совокупность всех цифр – алфавит Количество цифр Позиционные системы могут иметь различный алфавит (2,3,4 знака). Позиционные системы счисления Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит и основание. системы счисления
Основание Название Алфавит р = 2 Двоичная 0 1 р = 3 Троичная 0 1 2 р = 8 Восьмеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 р = 16 Шестнадцатеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Алфавиты систем счисления Для записи чисел в позиционной системе с основанием р нужно иметь алфавит из р цифр. При р > 10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы. Позиция цифры в числе называется разрядом.
В наше время для записи чисел чаще всего используются две системы счисления: - римская (цифры I,V,X,L,C,M) Вопрос Рассмотрим 2 числа: XXX и 333. 2.Чем отличается принцип записи многозначных чисел в римской и арабской системах счисления? - арабская десятичная (цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) 1.Где сегодня используется римская система счисления для записи чисел?
Десятичная система счисления Получив название арабской эта система счисления, в XII веке распространилась по всей Европе. Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Её основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - алфавит.
Десятичная система счисления
Рассмотрим десятичное число 555: 5 5 5 10 единицы десятки сотни Число записано в привычной для нас свернутой форме: В зависимости от позиции цифра 5 обозначает единицы, десятки, сотни. Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в десять раз больше правой.
В развернутой форме записи числа умножение цифр производится в явной форме: 55510 = 5·102 + 5·101 + 5·100 Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания: 555,5510 = 5·102 + 5·101 + 5·100 + 5·10-1 + 5·10-2 2 1 0 -1 -2 Номер разряда стоящей в нем цифры равен значению степени основания Первый разряд цифры, стоящей слева от запятой равен 0 Основание системы счисления Степень основания Любое число в нулевой степени равно 1 Любое число в отрицательной степени = единица / число в положительной степени: 10 -1 =1/10 1 , 10-2 = 1/102
Двенадцатеричная система счисления
1) В какой системе счисления удобнее считать? 2) Почему арабская система называется десятичной? Вопрос
Двоичная система счисления Информация в компьютере представлена в двоичном коде. Используется двоичная система счисления. Двоичная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит двоичной системы – две цифры (0,1), основание равно 2. Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в два раза больше правой.
В развернутой форме число записывается в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве цифр 0 или1. Число в свернутой форме записывается так: 101,012 101,012 = 1·22 + 0·21 + 1·20 + 0·2-1 + 1·2-2 Номер разряда стоящей в нем цифры равен значению степени основания 2 1 0 -1 -2 Первый разряд цифры, стоящей слева от запятой равен 0 Основание системы счисления Степень основания Вычислив значение суммы, получаем число в десятичной системе счисления = 5,2510
Двоичная система счисления Основание: 2 Алфавит: 0, 1 10 2 2 10 20 2 10 20 0 2 5 10 0 2 2 4 1 2 1 2 0 2 0 0 1 20 = 101002 101002 4 3 2 1 0 разряды = 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 0·20 = 16 + 4 = 20
Восьмеричная система счисления Широко используется в информатике. Восьмеричная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит восьмеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7), основание равно 8. Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в восемь раз больше правой.
В развернутой форме число записывается в виде суммы ряда степеней основания 8 с коэффициентами, в качестве цифр от 0 до 7. Число в свернутой форме записывается так: 137,28 137,28 = 1·82 + 3·81 + 7·80 + 2·8-1 Номер разряда стоящей в нем цифры равен значению степени основания 2 1 0 -1 Первый разряд цифры, стоящей слева от запятой равен 0 Основание системы счисления Степень основания Вычислив значение суммы, получаем число в десятичной системе счисления = 95,2510
Восьмеричная система счисления Основание: 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10 8 8 10 100 8 12 96 4 8 1 8 4 8 0 0 1 100 = 1448 1448 2 1 0 разряды = 1·82 + 4·81 + 4·80 = 64 + 32 + 4 = 100
Перевод чисел между системами «2», «8» и «16» 8 10 2 трудоёмко 2 действия 8 = 23 Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)! ! 17258 = 1 7 2 5 001 111 010 1012 { { { { ВОПРОС! А что с шестнадцатеричными числами? Как выполнять обратный перевод?
10 система 2 система 8 система 16 система 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12
Алгоритм перевода чисел, записанных в произвольной системе счисления, в десятичную систему счисления 1. Записать число в развернутой форме в виде сумм ряда степеней основания системы счисления с коэффициентами в качестве цифр данной системы счисления. 2. Вычислить полученную сумму. 231,24 = 2·42 + 3·41 + 1·40 + 2·4-1 2 1 0 -1 Основание системы счисления Степень основания = номер разряда цифры = 45,510 1123 = 1346 = 1·32 + 1·31 + 2·30 = 1410 1·62 + 3·61 + 4·60 = 5810 Переведи в десятичную сс:
Шестнадцатеричная система счисления Широко используется в информатике. Шестнадцатеричная система счисления является позиционной системой счисления. Алфавит шестнадцатеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), основание равно 16. Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в шестнадцать раз больше правой. (Десятичное значение: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)
В развернутой форме число записывается в виде суммы ряда степеней основания 16 с коэффициентами, в качестве цифр от 0 до F, выражая шестнадцатеричные цифры через их десятичное значение (A=10, F=15). Число в свернутой форме записывается так: 12A,416 12A,416 = 1·162 + 2·161 + 10·160 + 4·16-1 Номер разряда стоящей в нем цифры равен значению степени основания 2 1 0 -1 Первый разряд цифры, стоящей слева от запятой равен 0 Основание системы счисления Степень основания Вычислив значение суммы, получаем число в десятичной системе счисления = 298,2510
Задания для самостоятельного выполнения Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 Задание 6
ПРИМЕРЫ: (перепиши, вставляя пропущенные числа) p = 10 (десятичная с/c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 и т.д. p = 4 (четверичная с/c) 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 __ __ __ __ 3. p = 2 (двоичная с/c) 1 10 11 100 101 110 111 1000 ___ 1010 1011 ____ ___ ___ ___ 10000 _____ _____ 4. p = 16 (шестнадцатеричная с/c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B ___ ___ ___ ___ 31 32 33 100 1001 1100 1101 1110 1111 10001 10010 1C 1D 1E 1F
Ответ: а) 341 (р=5) в) 222 (р=3) б) 123 (р=4) г) 111 (р=2) Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа: а) 341 б) 123 в) 222 г) 111
Ответ: а) в троичной СС для записи чисел используются цифры 0 1 2 , значит цифры 79 и 531 записаны неверно б) в девятиричной СС для записи чисел используются цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8, значит цифры 419 и 4А записаны неверно Какое число ошибочно записано в: а) троичной СС – 79, 212, 531 б) девятеричной СС – 419, 832, 4А
Ответ: 11112 = 1510. Какое максимальное число можно записать в двоичной системе счисления четырьмя цифрами? Переведите полученное число в десятичную систему счисления.
Ответ: четное число в двоичной системе счисления оканчивается на 0, а нечетное – на 1. а) 1012 = 510 б) 1102 = 610 в) 10012 = 910 г) 1002 = 410 Определите четное число или нечетное: а) 1012 б) 1102 в) 10012 г) 1002 Сформулируйте критерий четности в двоичной системе счисления.
Ответ: да, если считать числа в задаче, представленными в двоичной системе счисления: 112= 121 + 120 = 310; 1102 = 122 + 121 + 020 = 4 + 2 = 610 Было 11 яблок. После того как каждое яблоко разрезали пополам, стало 110 половинок. Возможно ли это? Обоснуйте ответ.
