| 12+ Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058 |
Пользовательское соглашение Контактная и правовая информация |
 | Дмитриева Мария Валерьевна65 Преподаватель математики и информатики Россия, Чувашская респ., Чебоксары |
Тригонометрические уравнения и неравенства
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ ЧУВАШСКОЙ РЕСПУБЛИКИ
Государственное автономное профессиональное
образовательное учреждение Чувашской Республики
«Чебоксарский техникум транспортных и строительных технологии»
(ГАПОУ «Чебоксарский техникум ТрансСтройТех» Минобразования Чувашии)
«Тригонометрические уравнения и неравенства»
Методические рекомендации по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ
для студентов 1 курса НПО и СПО
| Разработали: преподаватель математики Дмитриева М.В. , преподаватель математики Сорокина А.А. |
Чебоксары
2017
Дмитриева М.В., Сорокина А.А Тригонометрические уравнения и неравенства: методические рекомендации по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ для студентов 1 курса НПО и СПО. – Чебоксары: ГАПОУ «ЧТТСТ» Минобразования Чувашии, 2017.- 17 с.
Рецензенты:
Перепелкина Зинаида Юрьевна, методист, ГАПОУ «Чебоксарский техникум транспортных и строительных технологий» Минобразования Чувашии.
Григорьева Евгения Дмитриевна, преподаватель математики, ГАПОУ «Чебоксарский техникум технологии питания и коммерции» Минобразования Чувашии.
В пособии представлены рекомендации для оказания методической помощи студентам, обучающимся по профессиям в выполнении самостоятельной внеаудиторной работы при изучении тригонометрических уравнений и неравенств в дисциплине: «Математика».
Материалы пособия рекомендуются преподавателям и студентам профессионального образования.
ОГЛАВЛЕНИЕ
| Введение |
| 1. Общие указания по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ по математике для студентов 1 курсов НПО и СПО по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства»…………………………………………………………………………………..…5 |
| 2. Основные тригонометрические тождества………………………………………………….5 |
| 3. Обратные тригонометрические функции………………………………...………………….7 |
| 4. Тригонометрические уравнения……………………………………………………….……..7 |
| 5. Самостоятельная работа № 1………………………………………………………………..11 |
| 6. Тригонометрические неравенства……………………………………………….………….12 |
| 7. Самостоятельная работа № 2………………………………………………………………..15 |
| Заключение |
| Литература |
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время основной задачей современного образования является переориентация на приоритет развивающей функции обучения. Это означает, что на первый план выходит задача интеллектуального развития личности, т.е. развитие учебно-познавательной деятельности. Пожалуй, ни один общеобразовательный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности. Уже несколько десятилетий тригонометрия, как отдельная дисциплина образовательного курса математики не существует, она плавно растеклась не только в геометрию и алгебру основной школы, но и в алгебру и начала анализа.
Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики в системе СПО, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности. Которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера. Тригонометрические уравнения и неравенства одни из самых сложных тем в курсе математики, которые могут возникать при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Следует заметить, что решение тригонометрических уравнений и неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний обучающихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т.д.), так же даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т.д.). Иначе говоря, рассмотрение приёмов решения тригонометрических уравнений и неравенств, предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.
Методические рекомендации предназначены для оказания методической помощи студентам 1 курса СПО и НПО при изучении модуля занятий по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства».
Общие указания по выполнению самостоятельных работ по математике для студентов 1 курсов НПО и СПО по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства»
При выполнении и оформлении самостоятельных работ следует руководствоваться следующими правилами:
1. Представляемые самостоятельные работы должны быть правильно и грамотно оформлены.
2. Задания самостоятельных работ следует решать в порядке их расположения в тексте самостоятельных работ.
3. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. При необходимости следует делать соответствующие ссылки на вопросы теории, с указанием формул, используемых при решении данной задачи.
4. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно, четко.
2. Основные формулы тригонометрии
Ниже приводятся формулы, наиболее важные при решении математических задач по разделу «Тригонометрия».
-
-
-
-
-
-
-
-
- Основные тригонометрические тождества
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- Четность, нечетность тригонометрических функций
-
-
-
- Формулы двойного угла
-
- Формулы тройного угла
-
- Формулы преобразования произведения в сумму (разность)
Формулы сложения и вычитания
-
- Формулы преобразования суммы и разности в произведение
-
- Формулы половинного аргумента
-
- Универсальная подстановка через тангенс половинного аргумента
3. Обратные тригонометрические функции
Арксинус (y = arcsin x) – это функция, обратная к синусу (x = sin y), имеющая область определения 
и множество значений 
.
Арккосинус (y = arccos x) – это функция, обратная к косинусу (x = cos y), имеющая область определения и множество значений 
.
Арктангенс (y = arctg x) – это функция, обратная к тангенсу (x = tg y), имеющая область определения 
и множество значений 
.
Арккотангенс (y = arcctg x) – это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y), имеющая область определения и множество значений 
.
4. Тригонометрические уравнения.
Тригонометрические уравнения — уравнения, содержащие неизвестное под знаком тригонометрической функции.
Уравнения вида 
, 
, 
, 
, называются простейшими тригонометрическими уравнениями. Рассмотрим схему их решения.
Уравнение
Общий вид решения уравнения , где 
определяется формулой:
(целые числа), при 
уравнение не имеет решений.
Частные случаи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Найти решения уравнения 
.
Применяя формулу общего вида решения уравнения , получим:
.
Ответ: .
Уравнение
Общий вид решения уравнения , где определяется формулой:
, при уравнение не имеет решений.
Частные случаи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти решения уравнения 
.
Применяя формулу общего вида решения уравнения , получим:
.
Ответ: .
Уравнение
Общий вид решения уравнения определяется формулой: 
.
Пример 3. Найти решения уравнения 
.
Применяя формулу общего вида решения уравнения , получим:
,
.
Ответ: .
Уравнение
Общий вид решения уравнения определяется формулой:
.
Пример 4. Найти решения уравнения 
.
Применяя формулу общего вида решения уравнения , получим:
,
.
Ответ: .
Рассмотрим уравнения, которые являются алгебраическими, относительно какой - либо тригонометрической функции, а так же уравнения, которые требуют преобразования тригонометрических выражений.
Пример 5. Найти решения уравнения 
.
Сделаем замену 
.
.
Найдем корни уравнения: 
, 
Делаем обратную замену: 
,
.
,
.
Ответ: , .
Пример 6. Найти решения уравнения 
.
Применяя формулы двойного угла, получим: 
.
.
.
или 
.
,
.
Ответ: , .
При решении уравнений, содержащих тригонометрическую функцию, удобно использовать общий план решения любого тригонометрического уравнения:
Выражаем все входящие в уравнении тригонометрические функции через одну какую-либо функцию и один и тот же аргумент.
Определяем значение этой функции, пользуясь общим алгоритмом решения уравнений.
Находим по полученным значениям функции соответствующие значения аргумента.
Записываем ответ, пользуясь формулами общего вида решения простейших тригонометрических уравнений.
Проверяем найденные решения (в случае нарушения равносильности уравнений) и объединяем решения (если это возможно).
5. Самостоятельная работа №1
Вариант 1.
Решите уравнения:
|
|
Вариант 2.
Решите уравнения:
Тригонометрические неравенства
Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, которые содержат переменную под знаком .
Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида:
Решаются простейшие тригонометрические неравенства графически или с помощью единичной тригонометрической окружности.
По определению, 
есть ордината точки 
единичного круга (рис. 1), а – абсцисса этой точки. Этот факт используется при решении простейших тригонометрических неравенств с косинусом и синусом с помощью единичного круга.
Рис. 1
Рассмотрим схему решения тригонометрических неравенств с помощью единичного круга.
Неравенства 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2
Неравенства 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3
Неравенства 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4
Неравенства 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5
Неравенства 
|
|
|
Рис. 6
Неравенства 
|
|
|
Рис. 7
Неравенства 
|
|
|
Рис. 8
Неравенства 
|
|
|
Рис. 9
Самостоятельная работа №2
| Вариант 1. Решите неравенства:
|
| Вариант 2. Решите неравенства:
|
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В методической разработке были рассмотрены способы решения тригонометрических уравнений и неравенств, как простейших, так и более сложного уровня и приведены варианты внеаудиторных самостоятельных работ, а так же рассмотрены основные теоретические сведения: определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; выражение тригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что очень важно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащих обратные тригонометрические функции. Кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений и неравенств можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Следует отметить, что выполнение внеаудиторных самостоятельных работ способствует систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений обучающихся, углубления и расширения теоретических знаний, развития познавательных способностей и активности обучающихся: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности, организованности и формирование самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, совершенствованию и самоорганизации.
Можно сделать вывод о том, что умение и навыки решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начала анализа являются очень важными, развитие которых требует значительных усилий со стороны преподавателя математики. Тригонометрические уравнения и неравенства занимают достойное место в процессе обучения математики и развитии личности в целом.
ЛИТЕРАТУРА
Алимов, А. Ш. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник / А. Ш. Алимов, Ю.М. Колягин и др. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 464 с.
Гельфанд, И. М. Тригонометрия / И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом 5-е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2014. – 200 с.
Макарычев, Ю.Н. Тригонометрические неравенства и их преобразование / Под ред. С.А. Теляковского. 21-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 271 с.
Медынский, М. М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 7 / М. М. Медынский - М.: Эдитус, 2015. – 553 с.
Шапкина, Н. Е. Пособие по математике для 10-11 классов подготовительных курсов. Тригонометрия / Н. Е. Шапкина, И. Е. Могилевский - М.: Физический ф-т МГУ, 2014. – 89 с
