Методическая разработка к уроку алгебры в 9 классе на тему «Уравнения высших степеней»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Калачеевская средняя общеобразовательная школа №6 Секция : математика . «Уравнения высших степеней» Выполнил: Стреляев Антон, обучающийся 9 «В» класса. Научный руководитель: Приходченко Людмила Александровна, учитель математики. Калач , 2020г.
Цель проекта: Узнать, какие методы решения высших степеней существуют; Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.
Методы исследования: изучение и анализ литературы, сравнение, обобщение, практический метод. Гипотеза: Существует много различных видов и методов решения уравнений высших степеней, о которых не рассказывается в школьной программе 9 класса.
Уравнения высших степеней Уравнение высших степеней - уравнения, степень которых выше второй, обычно решаются двумя основными методами: введение новой переменной и разложением на множители. 3x 4 + 6x 3 – 9x 2 = 0 x 2 ( 3x 2 + 6x – 9 )= 0 3x 2 + 6x – 9 = 0
Провёл исследование: может ли биквадратное уравнение иметь ровно 3 действительных корня?
Таблица для исследования числа решений биквадратных ур-ий № Уравнение Знак дискриминанта (D) Корни нового уравнения t1 и t2 Знаки корней нового уравнения Корни исходного уравнения Кол-во решений биквадратного уравнения 1 х4-10х2+9=0 D>0 t1=1, t2=9 t1>0, t2>0 x1,2=±1, x3,4=±3 4 2 2x4-x-1=0 D>0 t1=1, t2=-0,5 t1>0, t2<0 x1,2=±1 2 3 x4+5x+4=0 D>0 t1=-4, t2=-1 t1<0, t2<0 нет корней 0 4 2x4+5x2+4=0 D<0 нет корней ------ нет корней 0 5 x4-8x2+16=0 D=0 t=4 t>0 x1,2=±2 2 6 x4+8x2+16=0 D=0 t=-4 t<0 нет корней 0
Ищем первый корень перебором чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3 и подстановкой в уравнение. В результате находим, что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двучлен x – 1, и получаем: Теперь, решая квадратное уравнение: x 2 – 2x – 15 = 0, находим оставшиеся два корня: x1 = – 3 и x2 = 5 .
Деление уголком
Функционально-графический метод Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем, находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения.
Они пересекаются в двух точках A(1;1) и B(4;2). Значит, уравнение имеет два корня: х1=1, х2=4. Ответ: 1; 4
Однородные уравнения Однородные уравнения – это такие уравнения, у которых в левой части находятся одночлены одной степени, а правая часть равна нулю. -это уравнение однородное третьей степени. Чтобы решить однородное уравнение, нужно обе его части разделить на одно из неизвестных в степени каждого многочлена, с учетом, что он не равен нулю. Примеры решения однородных уравнений:
х2-7ху+10у2=0 Разделим уравнение на у2. Пусть х/у= t, тогда t2 - 7t + 10=0 D = 49 – 40 = 9 t1= 5 t2= 2 Вернёмся к замене: х/у= 2 или х/у = 5 Ответ: 2; 5.
Вывод: Моя гипотеза, выдвинутая в начале работы, оказалась верна. В ходе исследовательской работы я научился решать однородные и возвратные уравнения, познакомился с теоремой Безу и делением уголком, а также узнал о многих учёных, которые внесли большой вклад в историю математики при подготовке к этому проекту. По-моему мнению, интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора корней уравнений при помощи достаточно простого алгоритма.. Также у меня особый интерес вызывают графические методы решения.
