Внеклассное мероприятие по математике по теме «Диофантовы уравнения. Великая теорема Ферма»
Внеклассное мероприятие по математике по теме: «Диофантовы уравнения. Великая теорема Ферма».
Цели: образовательная – сформировать знания детей по решению задач повышенной сложности(олимпиадные задачи).
развивающая – развитие кругозора детей в области математики,
интереса детей к математике и олимпиадным задачам.
воспитательная – воспитать чувство ответственности к выполняемым заданиям.
Оборудование: мел, доска.
План урока.
Организационный момент ( мин.).
Актуальность темы ( мин.).
Диофант (исторические данные) ( мин.).
Уравнения Диофанта вида: ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 ( мин.).
Переход к теории Ферма ( мин.).
Исторические данные о Ферма ( мин.).
О великой теореме Ферма ( мин.).
Итоги урока ( мин.).
Ход урока.
Здравствуйте ребята. Садитесь. Начинаем урок.
На олимпиаде у вас вызвало затруднения решение уравнения:
x²-3xy+2y²-x=0.После сегодняшнего урока вы научитесь решать задачи аналогичного вида. Эти задачи, как вам уже рассказала Ирина Ильина называются диофантовыми уравнениями.
Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных должно быть не мене 2. Диофантовы уравнения имеют, как правило, бесконечно много решений, поэтому их называют неопределёнными уравнениями.
Названы они по имени греческого математика Диофанта Александрийского, жившего в 3 веке. Главный труд этого математика «Арифметика», состоявший из 13 книг. Она содержала большое количество интересных задач, её изучали математики всех поколений. До нас дошли только 6 книг, и те с пропусками.
Оценив заслуги Диофанта, после его смерти Метродором, автором интересных задач, было написано стихотворение следующего содержания
Здесь погребён Диофант, и камень могильный
При счёте искусном расскажете нам,
Сколь долог был его век.
Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;
В двенадцатой части, затем прошла его светлая жизнь.
Седьмую часть жизни прибавим – пред нами очаг Гименея.
Пять лет протекли, и прислал Гименей ему сына.
Но горе ребёнку! Едва половину он прожил
Тех лет, что отец, как скончался несчастный.
Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжёлой
И умер, прожив для науки. Скажи мне,
Скольких лет достигнув, смерть воспринят Диофант?
Решаем линейное уравнение на N:
1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4=x;
(2x+x+6x)/12+1/7x+9–x=0;
14x+7x+42x+12x+9*7*12–12*7x=0
75x+756–84x=0;
9x=9*7*12;
x=84;
Находим, что x=84 – столько лет прожил Диофант.
Решение уравнений в целых числах – увлекательная задача. С древнейших времён накопилось много способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако, только в нашем веке появились общие приёмы их исследования. Правда, линейные диофантовы уравнения научились решать давно.
Пусть n – степень алгебраического уравнения. Даже при n=3 диофантовы уравнения поддаются решению с большим трудом, причём ответы могут быть совершенно разными.
≈3x³+4y³=5z³ не имеет решения, в целых числах кроме нулевого. Уравнение вида x³+y³=2z³ имеет конечное число решений в целых числах. Уравнения могут иметь ибесконечное число решений.
Правда, оказалось, что кубические уравнения с 2-мя неизвестными стоят в некотором смысле особняком. В 1920 г. английский учённый Е.И. Морделл высказал гипотезу, что уравнения степени выше 3, должны иметь, как правило, конечное число решений. А в 1983 г. эту гипотезу доказал голландский Г.Фалтингсом.
Долгое время надеялись отыскать общий способ решения любого диофантова уравнения. Однако в 1970 г. ленинградский математик Ю.В. Мятисевич доказал, что такого общего способа быть не может.
Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер, Лагранж, Дирихле и Гаусс, Чебышев и Риман оставили записи теории таких уравнений.
Мы рассмотрим теорию диофантовых уравнений 2-ой степени с 2-мя неизвестными, которые имеют общий вид:
ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0, где a,b,c,d,e,f – данные числа, причём a²+b²+c²0
Нужно сказать, что уравнения 2-ой степени с двумя неизвестными, получается, решить в целых числах средствами школьной математики далеко не всегда.
Вы уже рассмотрели способы решения уравнений:
не содержащие членов с квадратами неизвестных: xy=x+y;
содержащие член с квадратом только одного неизвестного;
содержащие члены с квадратами обоих неизвестных: x²+3xy+y²=2;
Сегодня мы научимся решать уравнения, где a,b,c,d,e0
≈1) x²-xy+y²= x+y;
Попробуем перенести все члены уравнения в левую часть и расположить их по степени x:
x²-(y+1)x+(y²-y)=0;
Будем последнее уравнение рассматривать как квадратное относительно x. Подсчитаем дискриминант D:
D=(y+1)²-4(y²-y)=y²+2y+1-4y²+4y= -3y²+6y+1
Он зависит от y и должен быть квадратом некоторого целого числа t, так как решения квадратного уравнения целые числа, т.е. -3y²+6y+1= t²
Мы получили новое уравнение 2-ой степени с двумя целочислен-
ными неизвестными y и t. Оно проще исходного. Перенесём все члены уравнения в одну часть и преобразуем новое уравнение:
-3y²+6y+1+t²=0;
3(y²-2y)-1+t²=0;
3((y²-2y+1)-1)-1+t²=0;
3(y-1)²-3-1+t²=0;
3(y-1)²+t²=4;
из последнего уравнения следует, что t²4, т.е. |t|2
Переберём возможные здесь значения t:
t²=0, то 3(y-1)²=4, а это невозможно при целом y.
t²=1, то 3(y-1)²=3, следовательно (y-1)²=1, следовательно
y-1=1, следовательно y=2; y=0.
Подставим y=2 в уравнение, получим x²-3x+2=0, следовательноx=1
и x=2, следовательно (1;2) и (2;2) решения.
y=0, следовательно x²-x=0, следовательно x=0 и x=1, следовательно (0;0) и (1;0) решения.
3) t²=4, следовательно 3(y-1)²=0, y=1, следовательно x²-2x=0, следовательно x=0 и x=2, следовательно (0;1) и (2;1) – решения.
Ответ: (0;1) и (2;1); (1;2) и (2;2); (0;0) и (1;0).
Попробуйте решить сами:
x²-3xy+2y²-x=0 на Z.
x²-x(-3y-1)+2y²= 0;
D=(3y+1)²-4*1*2y²=9y²+6y+1-8y²= y²+6y+1= t²;
(y²+2*y*3+9)-9+1= t²;
(y+3)²-8= t², t Z, y Z.
(y+3)²- t²= 8;
(y+3-t)* (y+3+t) = 8;
