ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»
Учитель Математики Высшей категории
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
Диофант Александрийский (3 век)-греческий математик. Его книгу «Арифметика» изучали математики всех поколений.
Необычайный расцвет древнегреческой науки в IV—III вв. до н. э. сменился к началу новой эры постепенным спадом в связи с завоеванием Греции Римом, а потом и начавшимся разложением Римской империи. Но на фоне этого угасания еще вспыхивает яркий факел. В 3-ем веке новой эры появляется сочинение александрийского математика Диофанта «Арифметика». О жизни самого Диофанта нам известно только из стихотворения, содержащегося в «Палатинской антологии». В этой антологии содержалось 48 задач в стихах, собранных греческим поэтом и математиком VI в. Метродором. Среди них были задачи о бассейне, о короне Герона, о жизненном пути Диофанта. Последняя оформлена в виде эпитафии — надгробной надписи.
Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять, лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года.
Трактат «Арифметика» занимает особое место в античной матиматике не только по времени своего появления, но и по содержанию. Большую часть его составляют разнообразные задачи по теории чисел и их решения. Но, главное, автор использует не геометрический подход , как это было принято у древних греков,-решения Диофанта предвосхищают алгебраические и теоретико- числовые методы. К сожалению, из 13 книг, составлявших «Арифметику», до нас дошли лишь первые 6, а остальные погибли в перипетиях тогдашнего бурного времени. Достаточно сказать, что через 100 лет после смерти Диофанта была сожжена знаменитая александрийская библиотека, содержавшая бесценные сокровища древнегреческой науки.
О диофантовых уравнениях.
Задачи Диофантовой «Арифметики» решаются с помощью уравнений, проблемы решения уравнеий скорее относятся к алгебре, чем к арифметике. Почему же тогда мы говорим, что эти уравнения относятся к арифметическим? Дело в том, что эти задачи имеют специфические особенности.
Во-первых, они сводятся к уравнениям или к системам уравнений с целыми коэффициентами. Как правило, эти системы неопределённые,т.е. число уравнений в них меньше числа неизвестных.
Во-вторых, решения требуется найти только целые, часто натуральные.
Для выделения таких решений из всего бесконечного их множества приходится пользоваться свойствами целых чисел ,а это уже относится к области арифметики.Дадим определение диофантовым уравнениям.
Диофантовы уравнения-алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвесных в уравнениях больше числа уравнений. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений.
Давайте рассмотрим современную простенькую задачу.
За покупку нужно уплатить 1700 р. У покупателя имеются купюры только по 200р. и по 500 р. Какими способами он может расплатиться? Для ответа на этот вопрос достаточно решить уравнение 2x + 5y=17 с двумя неизвестными x и y. Такие уравнения имеют бесконечное множество решений. В частности, полученному уравнению отвечает любая пара чисел вида (x, 17-2x/5). Но для этой практической задачи годятся только целые неотрицательные значения x и y. Поэтому приходим к такой постановке задачи: найти все целые неотрицательные решения уравнения 2x+5y=17. Ответ содержит уже не бесконечно много,авсего лишь две пары чисел (1, 3) и (6, 1).Диофант сам находил решения своих задач. Вот несколько задач из его «Арифметики».
1. Найти два числа так, чтобы их произведение находилось в заданном отношении к их сумме.
2. Найти три квадрата так, чтобы сумма их квадратов тоже была квадратом.
3. Найти два числа так, чтобы их произведение делалось кубом как при прибавлении , так и при вычитании их суммы.
4. Для числа 13=2²+3² найти два других,сумма квадратов которых равна 13.
Приведём диофантово решение последней задачи. Он полагает первое число (обозначим его через А) равным x+2, а второе число B равным 2x-3 , указывая , что коэффициент перед xможно взять и другой. Решая уравнения
(x+2)²+(kx-3)²=13,
Диофант находит x=8/5, откуда A=18/5,B=1/5. Воспользуемся указанием Диофанта и возьмём произвольный коэффициент перед x в выражении для B. Пусть снова А=x+2,а В=kx-3, тогда из уравнения
(x+2)²+(kx-3)²=13
x=2(3k-2)/k²+1.
Отсюда
А=2(k²+3k-1)/k²+1,
В=3k²-4k-3/k²+1.
Теперь становятся понятными рассуждения Диофанта. Он вводит очень удобную подстановку А=x+2, В=2x-3, которая с учётом условия 2²+3²=13 позволяет понизить степень квадратного уравнения. Можно было бы с тем же успехом в качестве В взять 2x+3 , но тогда получаются отрицательные значения для В,чего Диофант не допускал. Очевидно , k=2- наименьшее натуральное число , при котором А и В положительны .
Исследование Диифантовых уравнений обычно связано с большими трудностями. Более того , можно указать многочлен F (x,y1,y2 ,…,yn) c целыми коэффициентами такой, что не существует алгоритма , позволяющего по любому целому числу x узнавать , разрешимо ли уравнение F (x,y1,y2 ,…,yn)=0 относительно y1,…,y. Примеры таких многочленов можно выписать явно. Для них невозможно дать исчерпывающего описания решений.
Современной постановкой диофантовых задач мы обязанны Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Надо сказать , что это не было изобретением Ферма - он только возродил интерес к поиску целочисленных решений. А вообще задачи, допускающие только целые решения, были распространены во многих странах в очень далёкие от нас времена.В нынешней математике существует целое направление, занимающееся исследованиями диофантовых уравнений,поиском способов их решений.Называется оно диофантовым анализом и диофантовой геометрией , поскольку использует геометрические способы доказательств.
Простейшее Диофантово уравнение ax+by=1,где a и b – цельные взаимопростые числа, имеет бесконечно много решений (если x0 и y0-решение, то числа x=x0+bn, y=y0-an, где n- любое целое , тоже будут решениями).
Другим примером Диофантовых уравнений является
x2 + у2 = z2 . (5)
Это Диофантово уравнение 2-й степени. Сейчас мы займёмся поиском его решений. Удобно записывать их в виде троек чисел (x,y,z). Они называются пифагоровыми тройками. Вообще говоря, уравнению (5) удовлетворяет бесконечное множество решений. Но нас будут интересовать только натуральные. Целые, положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. Наша задача состоит в том, чтобы найти все тройки пифагоровых чисел. Заметим, что если два числа из такой тройки имеют общий делитель, то на него делится и третье число. Поделив их все на общий делитель, вновь получим пифагороау тройку. Значит от любой пифагоровой тройки можно перейти к другой пифагоровой тройке, числа которой попарно взаимо просты. Такую тройку называют примитивной. Очевидно, для поставленной нами задачи достаточно найти общий вид примитивних пифагоровых троек. Ясно, что в примитивной пифагоровой тройке два числа не могут быть чётными, но в то же время все три числа не могут быть нечётными одновременно. Остаётся один вариант: два числа нечётные, а одно чётное. Покажем, что z не может быть чётным числом. Предположим противное: z=2m, тогда x и y-нечётные числа. x=2k+1, y=2t+1. В этом случае сумма x²+y²=4(k²+k+t²+t)+2 не делится на 4, в то время как z²=4m² делится на 4. Итак, чётным числом является либо x, либо y. Пусть x=2u, y и z- нечётные числа. Обозначим z+y=2v, z-y=2w . Числа v и wвзаимно простые. На самом деле, если бы они имели общий делитель d>1, то он был бы делителем и для z=w+v, и для y=v-w, что противоречит взаимной простоте y и z. Кроме того , v и w разной чётности: иначе бы y и z были бы чётными. Из равенства x²=(z+y)(z-y) следует, что u²=vw. Поскольку v и w взаимно просты, а их произведение является квадратом , то каждый из множителей является квадратом . Значит найдутся такие натуральные числа p и q, что v=p², w= q² . Очевидно, числа p и q взаимно просты и имеют разную чётность . Теперь имеем
z=p²+q² , y=p²-q²,
откуда
x²=( p²+q²)²-( p²-q²)²=4 p² q².
В результате мы доказали, что для любой примитивной пифагоровой тройки (x,y,z) найдутся взаимо простые натуральные числа p и qразной чётности , p>q, такие, что
х =2pq, у =p²-q², z = p2 + q2 .(6)
Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам
х =2pq, у = p²-q², z = p2 + q2 ,
где m и n — целые взаимо простые числа. Все остальные его натуральные решения имеют вид:
x=2kpq,y=k(p²-q²),z=k(p2 + q2 ),
где k-произвольное натуральное число. Теперь рассмотрим следующую задачу: дано произвольное натуральное число m>2; существует ли пифагоров треугольник, одна из сторон которого равна m? Если потребовать , чтобы заданную длину m имел катет, то для любого m ответ положительный. Докажем это. Пусть сначала m-нечётное число. Положим p=m+1/2, q=m-1/2. Получаем пифагорову тройку
х =2pq=m²-1/2,
у =p²-q²=m,
z = p2 + q2 = m²+1/2.
В случае чётного m обозначим m=2t. В свою очередь t может быть чётным или нечётным. Для чётного t положим p=t, q=1, откуда соответствующий треугольник имеет стороны
х=2pq=2t=m,
у =p²-q²= t²-1= m²/4-1,
z = p2 + q2 = t²+1= m²/4+1.
Если же t-нечётное число, то возьмём p=t+1/2, q=t-1/2. Выпишем пифагорову тройку, отвечающую этим значениям p и q: 2pq= t²-1/2, p²-q²=t=m/2, p2 + q2 = t²+1= m²/4+1. Чтобы получить стороны искомого треугольника , надо ещё умножить эти числа на 2: x= t²-1= m²/4-1, y=2t=m, z =t²+1= m²/4+1. В виду равноправности катетов полученная тройка та же , что и в случае чётного t.
Приведём примеры. Для m=7 имеем треугольник с катетами x=24,y=7 и гипотенузой z=25. В случае m=3 тройка (4,3,5) задаёт наименьший пифагоров треугольник. Этот треугольник называется египетским. Сложнее выяснить , для каких натуральных m существует пифагоров треугольник с гипотенузой m. Так как m в этом случае должно быть кратно числу z= p2 + q2 , где p и q имеют разную чётность , то необходимо найти вид чисел z>2, представляемых в виде суммы квадратов разной чётности. Обозначим p=2r, q=2s+1, тогдаp2 + q²=4(r²+s²+s)+1. Значит число z имеет вид 4t+1. Однако не всякое число вида 4t+1 раскладывается на сумму двух квадратов . Наример, число 9=4*2+1 так разложить невозможно. Но если число 4t+1 простое . то оно представимо в виде суммы двух квадратов, причём единственным способом. Число вида 4t+1 можно записать в виде суммы двух квадратов лишь в двух случаях: когда оно является произведением числа того же вида на квадрат натурального и когда оно равно произведению простых чисел типа 4t+1 .
Итак, пифагоров треугольник с заданой гипотинузой m существует только при условии , что в каноническом разложении числа m встречается простой множитель вида 4t+1.
Рассмотрим примеры .
1. Пусть m =17 ( здесь 17=4×4+1). Из равенства 17=4²+1² находим p=4, q=1, x=2pq=8,y=p²-q²=15. Тройка (8,15,17) задаёт пифагоров треугольник.
2. В случае m=65 имеем 65=5×13=5(4×3+1). Так как 13=3²+2², то p=3, q=2, 2pq=12, p²-q²=5, p2 + q²=13. Для отыскания нужной нам тройки умножим эти числа на 5 и получим (60,25,65). Число 65можно придставить иначе: 65=13(4×1+1), 5=2²+1², откуда p=2, q=1, 2pq=4,p²-q²=3, p2 + q²=5. Имеем ещё один треугольник с гипотенузой 65. Это (52,39,65).
3. Числа 9 и 49 не могут выражать длину гипотенузы пифагорова треугольника. Хотя 9=4×2+1 и 49=4×12+1. Но их простые множители не представляются в вид 4t+1.
Диофант в сочинении «Арифметика» занимался разысканием рациональных (необязательно цельных) решений специальных видов уравнений . Общая теория решения Диофантовых уравнений 1-й степени была создана в 17 веке. К началу 19 века трудами П. Ферма , Дж. Виллса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гауса в основном было исследовано Диофантово уравнение вида
ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0,
где а,b,c,d,e,f- целые числа, то есть общее неоднородное уравнение 2-й степени с двумя неизвестными.
Перейдем теперь к одной из самых знаменитых задач диофантова анализа, получившей название Великой теоремы Ферма.Начнем с истории возникновения этой теоремы. На полях «Арифметики» Диофанта против того места, где рассматривается уравнение х2 +у2 =z²,П. Ферма (ок. 1630) написал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на двабиквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл" этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы». Так родилась эта замечательная теорема. В ней утверждается, что
При n>2 уравнение
x+y=z (10)
не имеет решений.
Предоставляем читателям возможность доказать, что из этого утверждения вытекает отсутствие и рациональных решений уравнения (10) при n>2.
Несмотря на внешнюю простоту формулировки теоремы, до сих нор неизвестно, справедлива она или нет, хотя над ее доказательством трудились многие поколения математиков Полое грех столетий. Весьма вероятно, что и сам Ферма не нашел строгого доказательства этой теоремы. Предлагал же он доказать лишь частный случай этой теоремы для п = 4. А он следует из утверждения, выведенного Ферма на полях «Арифметики»: площадь пифагорова треугольника не может быть квадратом. Мы не будем приводить доказательства этого утверждения, но покажем, что из него действительно вытекает отсутствие натуральных решений уравнения
x4 +y4 =z4 (11)
Если х и y — длины катетов пифагорова треугольника, то найдутся взаимно простые числа ри qразной четности (p>q),такие, что x = 2kpq,y = k(p²—q²)и s= 1/2xy = k2 pq (р2 — q2 ).Заметим, что множитель p²—q² взаимно прост с числами ри q. Поэтому число s=k2 pq(p2 —q2 )является квадратом тогда и только тогда, когда каждый из множителей р, qи p2 —q2 — является квадратом: р = а2 , q = b2 , p2 — q2 = c2 , откуда
a4 -b4 =c2 .(12)
Но поскольку нет такого пифагорова треугольника, площадь которого выражается квадратом, то уравнение (12) не имеет натуральных решений. Тогда таких решений не имеет и уравнение (11). На самом деле если бы тройка (b, с, а)была натуральным решением (11), т.е. b4 + с4 =а4 ,то а4 — b4 =(с2 )2 и тройка (а, b, с2 )была бы решением уравнения (12).
Арифметика колец цельных алгебраических чисел используется также в ряде других задач Диофантовых уравнений. Так, например , её методами подробно исследованы уравнения вида N (a1x1+…+anxn)=m, где N(a)- норма алгебраического числа a , и отыскиваются цельные рациональные числа x1,x2,…,xn, удовлетворяющие вышенаписанному уравнению.
Способы решения диофантовых уравнений
Наиболее изучены диофантовы уравнения первой и второй степени. Рассмотрим сначала уравнения первой степени. Так как решение линейного уравнения с одним неизвестным не представляет интереса, то обратимся к уравнениям с двумя неизвестными.Мы рассмотрим два метода решения этих уравнений.
Первый способ решения таких уравнений- алгоритм Евклида. Можно найти наибольший делитель натуральных чисел a и b, не раскладывая эти числа на простые множители, применяя процесс деления с остатком . Для этого надо разделить большее из этих чисел на меньшее, потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот прицесс до тех пор , пока не произойдёт деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД(a,b). Чтобы доказать это утверждение , представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств:если a>b ,то
а=bq0+r1,
b=r1q1+r2
r1=r2q2+r3 (1)
rn-1=rnqn.
Здесь r1,….,rn-положительные остатки, убывающие с возрастанием номера. Из первого равенства следует ,что общий делитель чисел a и b делит r1 и общий дилитель b и r1 делит а,поэтому НОД (a,b) = НОД (r1 ,r2)=….= НОД (rn-1, rn) = НОД (rn,0)= rn.Обратимся снова к системе(1).Из первого равенства, выразив остаток r1 чирез а и b ,получим r1=а- bq0. Подставляя его во второе равенство,найдём r2=b(1+q0q1)-aq1. Продолжая этот процесс дальше,мы сможем выразить все остатки через а и b, в том числе и последний rn=Аа+Вb. В результате нами доказано предложение:если d-наибольший общий делитель натуральных чисел а и b,то найдутся такие целые числа А и В,что d= Аа+Вb. Заметим,что коэффициенты А и В имеют разные знаки ; если НОД(a,b)=1,то Аа+Вb=1. Как найти числа А и В видно из алгоритма Евклида.
Перейдём теперь к решению линейного уравнения с двумя неизвестными. Оно имеет вид:
аx+by=c. (2)
Возможны два случая: либо c делится на d= НОД(a,b), либо нет. В первом случае можно разделить обе части на d и свести задачу к решению в целых числах уравнения a1x+b1y=c1, коэффициенты которого а1=а/d и b1=b/d взаимно просты. Во втором случае уравнение не имеет целочисленных решений: при любых целых x и y число аx+by делится на d и поэтому не может равнятся числу с,которое на d не делится. Итак, мы можем ограничиться случаем , когда в уравнении (2) коэффициенты взаимно просты. На основании предыдущего предложения найдутся такие целые числа x0 и y0,что ax0+by0=1, откуда пара (сx0,cy0) удовлетворяет уравнению (2) Вместе с ней уравнению (2) удовлетворяет бесконечное множество пар (x,y) целых чисел, которые можно найти по формулам
x=cx0+bt,y=cy0-at. (3)
Здесь t-любое целое число. Нетрудно показать,что других целочисленных решений нет уравнение ax+by=c не имеет. Решение, записанное в виде (3), называется общим решением уравнеия (2). Подставив вместо t конкретное целое число, получим его частное решение. Найдём, например, целочисленные решения уже встречавшегося нам уравнения 2x+5y=17. Применив к числам 2 и 5 алгоритм Евклида, получим 2*3-5=1. Значит пара cx0=3*17,cy0=-1*17 удовлетворяет уравнению 2x+5y=17. Поэтому общее решение исходного уравнения таково x=51+5t, y=-17-2t,где t принимает любые целые значения. Очевидно, неотрицательные решения отвечают тем t , для которых выполняются неравенства
{51+5t≥0
{-17-2t≥0
Отсюда найдем -51 ≤t≤ -17 . Этим неравенствам удовлетворяют числа -10, -9. 52
Соответствующие частные решения запишутся в виде пар (1,3), (6,1).
Применим этот же метод к решению одной из древних китайских задач о птицах.
Задача: Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причем петух стоит 5 монет, курица – 4, а 4 цыпленка – 1 монету?
Для решения этой задачи обозначим искомое число петухов через х, кур – через y, а цыплят через 4z (из условия видно, что число цыплят должно делится на 4). Составим систему уравнений:
{x+y+4z=100
{5x+4y+z=100,
которую надо решить в целых неотрицательных числах. Умножив первое уравнение системы на 4, а второе — на (— 1) и сложив результаты, придем к уравнению — х+15z=300 с целочисленными решениями х= — 300+ 15t, z = t. Подставляя эти значения в первое уравнение, получим y = 400 — 19t. Значит, целочисленные решения системы имеют вид х= —300+15t, y = 400—19t, z = t. Из условия задачи вытекает, что
{— 300+ 15t≥0,
{ 400—19t≥0,
{ t≥0
откуда 20≤t≤21 1/19, т.е. t = 20 или t = 21. Итак, на 100 монет можно купить 20 кур и 80 цыплят, или 15 петухов, 1 курицу и 84 цыпленка
Второй метод решения диофантовых уравнений первой степени по своей сути не слишком отличается от рассмотренного в предыдущем пункте, но он связан с ещё одим интересным математическим понятием. Речь идёт о непрерывных или цепных дробях. Чтобы определить их вновь обратимся к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (1) вытекает, что дробь а/b можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: a/b=q0+r1/b . Но r1/b=1/b, и на основании второго равенства той же системы имем b/r1=q1+r2/r1. Значит, a/b=q0+1/q1+r2/r1. Далее получим a/b=q0+1/q1+1/q2+r3/r2. Продолжим этот процесс до тех пор , пока не придём к знаменателю qn. В результате мы представим обыкновенную дробь a/b в следующем виде: a/b=q0+1/q1+1/q2+1/…1/qn. Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Приблизительно в то же время в Германии появился другой термин- цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. В качестве примера представим дробь 40/3t в виде цепной: 40/3t=1+9/3t=1/3t/9=1+1/3+4/9=1+1/3+1/9/4=1+1/3+1/2+1/4 .
Цепные дроби обладают следующим важным свойством: если действительное число а записать в виде непрерывной дроби , то подходящая дробь Pk/Qkдаёт наилучщее приближение числа a среди всех дробей, знаменатели которых не превосходят Qk . Именно в процессе поиска наилучшего приблежения значений квадратных корней итальянский математик Пиетро Антонио Катальди (1552-1626) пришёл в 1623году к цепным дробям, с чего и началось их изучение. В заключение вернёмся к цепным дробям и отметим их преимущество и недостаток по сравнению, например, с десятичными. Удобство заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой системой исчисления. По этой причине цепные дроби эффективно используются в теоретических исследованиях. Но широкого практического применения они не получили, так как для них нет удобных правил выполнения арифметических действий, которые имеются для десятичных дробей.
Рассмотрим Диофантовы уравнения и решим их.
1 Решить в целых числах уравнение 3x+5y=7.
Решение.
Имеем
x=7-5y/3=6-3y-2y+1/3=2-y+1-2y/3,
1-2y=3k,
y=1-3k/2=1-2k-k/2=-k+1-k/2,
1-k=2t, k=1-2t,
y=1-3(1-2t)/2=-1+3t,
x=7-5(-1+3t)/3=4-5t
(t-любое число).
2 Решить в целых числах уравнение 6x²+5y²=74.
6x²-24=50-5y², или 6(x²-4)=5(10-y²), откуда x²-4=5u,т.е. 4+5u≥0, откуда u≥-4/5.
Аналогично:
10-y²=6u, т.е. 10-6u≥0, u≤5/3.
Целое число u удовлетворяет неравенству
-4/5≤u≤5/3, значит. u=0 и u=1.
При u=0, получим 10=y², где y-не целое, что неверно. Пусть u=1, тогда x²=9, y²=4.
Ответ: {x1=3, {x2=3, {x3=-3, {x4=-3,
{y1=2, {y2=-2, {y3=2, {y4=-2 .
3 Решить в целых числах уравнение x³+y³-3xy=2.
Решение.
Если x и y оба нечётны или одно из них нечётно, то левая часть уравнения есть нечётное число, а правая-чётное. Если же x=2mи y=2n, то 8m³+8n³-12mn=2, т.е. 2(2m³+2n³-3mn)=1, что невозможно ни при каких целых m и n.
4 Доказать, что уравнение 2x²+5y²=7 не имеет решений в целых числах.
Доказательство.
Из уравнения видно, что y должен быть нечётным числом. Положив y=2z+1, получим 2x²-20z²-20z-5=7, или x²-10z²-10z=6, откуда следует что x есть чётное число. Положим x=2u. Тогда 2u²-5z(z=1)=3, что невозможно, так как z(z+1) есть чётное число.
5 Доказать, что при любом целом положительном значении а уравнение x²+y²=а³ разрешимо в целых числах.
Доказательство.
Положим x+y=а², x-y=а, откуда x=a(a+1)/2 и y=a(a-1)/2. Поскольку при любом целом значении а в числителе каждой из данных дробей стоит произведение чётного и нечётного чисел, определённые таким образом x и y представляют сорбой целые числа и удовлетворяют исходному уравнению.
6 Решите в целых числах уравнение (x+1)(x²+10=y³.
Решение.
Непосредственно видим, что пары чисел (0;1) и (-1;0) являются решениями уравнения. Других решений нет, так как
x³<(x+1)(x²+1)<(x+1)(x+1)²=(x+1) ³, то (x+1)(x²+1)≠y³
ни для какого целого y (распологающегося между кубами последовательных целых чисел).
Список литературы:
1. И.М. Виноградов «Математическая энциклопедия»
2. Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова «За страницами учебника математики»
3. А.П. Савин «Энциклопедический словарь юного математика»
4. И. Кушнир «Математическая энциклопедия»
Закирова Миннур Анваровна
БОРИС НИКОЛАЕВИЧ