Задача о треугольнике, отсекаемом двумя высотами

Задача о треугольнике, отсекаемом двумя высотами.

Эта задача хороша тем, что к ней можно возвращаться несколько раз, а именно: после изучения признаков подобия треугольников, после прохождения тригонометрических функций угла, после прохождения темы «Окружность», тем самым вспомная подобие треугольников и оценивая многовариантность подходов к решению задач. Кроме того, задача хороша своим результатом, а именно расстановкой углов в данной конструкции.

При итоговом повторении планиметрии к этой задаче обязательно нужно вернуться, рассмотрев все варианты доказательства этого факта.

Впервые с задачей о треугольнике, отсекаемом двумя высотами знакомимся в 8 классе при прохождении признаков подобия треугольников.

Задача.

Доказать, что в остроугольном треугольнике АВС две высоты отсекают треугольник, подобный исходному.

Задача 1.

В АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА1 и СС1. Доказать, что А1ВС1 и АВС подобны.

Чертёж должен помогать решать задачу, «оживать» в процессе решения:

Задача 2.

Доказать, что в остроугольном треугольнике АВС две высоты отсекают подобный треугольник. А1ВС1 АВС.

Первый вариант доказательства:

Таким образом, А1ВС1 АВС по двум углам (∠ = ∠ ; ∠В общий ).

Второй вариант доказательства:

СВС1 АВА1 по двум углам (∠ = ∠ ; ∠В общий

= ; значит =

Таким образом, А1ВС1 АВС по двум сторонам и углу между ними (∠В общий )

Из подобия отсекаемого и исходного треугольников вытекает равенство углов:

∠= ∠; ∠ = ∠; что стоит запомнить.

После знакомства с тригонометрическими функциями угла возвращаемся к этой задаче:

Если в остроугольном треугольнике проведены две высоты, то отсечённый треугольник подобен исходному.

Пройдя окружность, возвращаемся к этой задаче.

Таким образом, отсечённый и исходный треугольники подобны по двум углам. (∠1 = ∠1; ∠В общий).