ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЧЁТНЫХ И НЕЧЁТНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Средняя ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ школа №6 с углубленным изучением иностранных языков»

«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЧЁТНЫХ И НЕЧЁТНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ»

Кокорюлин Павел Владиммирович

Ученик 6«Б» класса

Руководитель:

Денисова Светлана Ивановна учитель математики

1 квалификационной категории

г. Северодвинск

2019 г.

План:

Введение.

Понятие натуральных чисел.

Олимпиадные задачи на четность и нечетность.

Вывод.

Используемые интернет источники.

Литература.

Введение.

В прошлом учебном году я участвовал в школьной олимпиаде по математике. Одно из заданий показалось мне трудно решаемым. Это была задача про 1000 арбузов, которые надо было разложить в 17 корзин по кругу, чтобы в каждых соседних корзинах количество отличалось на один. Я пытался решить эту задачу путем подбора, но не получилось и заняло много времени. К ответу пришел исходя из соображений, что нет таких корзин, куда бы поместилось 50 арбузов и более. Однако, придя домой, мне захотелось узнать: как правильно решаются такие задачи. Оказалось очень просто!

Объектом моего исследования являются натуральные чётные и нечетные числа. Предметом исследования свойства натуральных четных и нечетных чисел.

Число является одним из основных понятий математики. Существует большое количество определений понятию «число».

Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно, унаследовал от своего соотечественника ЭвдоксаКнидского (около 408 - около 355 гг. до н. э.): «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц».

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 - 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер. Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) предметов. 

Отрицательные и нецелые числа натуральными не являются.

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ?. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…

Данная тема, раскрывающая использование свойств натуральных и целых чисел, очень актуальна, поскольку она встречается в заданиях олимпиад и единого государственного экзамена.

Цель работы: обобщить имеющиеся понятия и свойства натуральных чётных и нечётных чисел, рассмотреть наиболее часто встречающиеся задачи и предложить оптимальный способ их решения.

Задачи исследования:

1. На основе анализа имеющейся литературы по теме исследования систематизировать материал.

2. Привести комплекс заданий, необходимых для закрепления понятий.

Понятие натуральных чисел.

Умение считать и различать разные количества предметов – врожденные способности человека.

Натуральными (от лат. naturalis — естественный; естественные числа) называются числа, которые используются для счёта предметов или обозначения номера предмета в ряду однородных предметов: 1, 2, 3, 4, 5, …

Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом {\displaystyle \mathbb {N} }NNNNNNNNNNNN(от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального nчисла {\displaystyle n} найдётсянатуральное число, большее чемn.{\displaystyle n}

При сложении и умножении натуральных чисел снова получается натуральное число.

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в 1891 г. Д.Пеано:

Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.

За каждым натуральным числом следует одно и только одно число.

Каждое натуральное число, отличное от 1, следует за одним и только одним натуральным числом.

Подмножество натуральных чисел, содержащее число 1, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, 2,6.9 и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,12,18,45) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и,, т.д. числа называют в математике многозначными.

Натуральные числа (продолжаем разговаривать о них) бывают четными и нечетными. 
Только не говорите сразу, что это элементарно!
Это и вправду элементарно до тех пор, пока умопостигаемо. То есть пока наше воображение может легко представить то, о чем ему говорят.
Итак, четные числа — это числа, делящиеся на 2. 
Их всегда можно представить в виде k = 2*n,где n — любое натуральное число.
Нечетные числа — это числа, не делящиеся на 2. 
Каждое из них может быть записано какm = 2*n + 1.
Что это значит?

Это значит, что если у нас есть кучка из k = 2*n предметов (яблок, апельсинов, кирпичей, и т.д.), мы ее можем смело разложить на две РАВНЫЕ кучки поменьше. В каждой из них окажется по n предметов.
Если число образующих кучу вещей нечетно: m = 2*n + 1 (n ≥ 0), то как бы мы ни старались, двух одинаковых кучек из нее нам не получить. Одинпредмет всегда будет лишним. 
Любое четное число, большее двух, всегда можно разложить на сумму двух четных чиселили на сумму двух нечетных чисел.
То есть, само собой разумеется, что сумма двух четных чисел — всегда четное число.
Но и сумма двух нечетных чисел — тоже четна.
Аналогично сумма четного и нечетного числа — всегда число нечетное.
Чтобы проверить число на четность, необязательно делить его на два (особенно, если оно велико). Достаточно проверить последнюю его цифру.
Числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8 – четные, остальные, соответственно, – нечетные.

Олимпиадные задачи на четность и нечетность.

Решение задач с применением четности и нечетности чисел всегда отличались необычайной логической красотой и абсолютной прозрачностью выводов. Они основываются на простейших свойствах арифметических операций (обычно на сложении или вычитании).

К задачам на четность относятся:

- задачи на чередование;

- задачи на разбиение на пары;

- задачи на четность и нечетность.

Задачи на чередование.

Свойствачередования:

1.Есливнекоторойзамкнутойцепочкечередуютсяобъектыдвухвидов,тоихчетноечисло(икаждоговидапоровну).

2.Есливнекоторойзамкнутойцепочкечередуютсяобъектыдвухвидов:

•началоиконеццепочкиразныхвидов,товнейчетноечислообъектов,

•началоиконецодноговида,тонечетноечисло.

3.Обратно:Почетностидлинычередующейсяцепочкиможноузнать,одногоилиразныхвидовеёначалоиконец.

Задача 1:

На плоскости расположено 9 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?

Решение

Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должна вращаться против часовой стрелки.

Третья – снова по часовой, четвертая – против и т.д. Ясно, что «нечетные» шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а «четные» – против. Нотогда1-яи9-яшестеренкиодновременновращаютсяпочасовойстрелке.Противоречие.

Задача 2:

Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка – одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять.

А сколько девочек?

Ответ: Пять.

Задача 3:

16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них расположить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?

Решение:

По условию всего арбузов – 55, а это нечетное число. Значит, разложить нельзя.

Задачи на разбиение на пары.

Свойство: Если предметы можно разбить на пары, то их количество чётно.

Задача 4:

Семь тринадцатируков с планеты Тринадцатирукрешили устроить турнир по армреслингу. Смогут ли они одновременно провести поединки для всех своих рук, чтобы все руки принимали участие, и в каждом поединкевстречалось ровно две руки?

Решение:

Тринадцатируки не смогут провести поединки для всех рук одновременно, так как в каждом поединке принимает участие две руки, а всего рук 13 · 7 = 91.

Задачи на четность и нечетность.

Свойства четности и нечетности чисел:

нечётное +нечётное =чётное

чётное +нечётное = нечётное

чётное +чётное = чётное

Задача 5:

У Нины было 11 плиток шоколада фабрики "Краскон". Может ли Нина, поделив каждую плитку на 7, 13 или 21 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?

Решение:

Нет, т. к. если сложить 11нечетных чисел, получим нечетный результат. А 100 четное число.

Задача 6:

В магазин «Малыш» привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 71 рубля?

Решение:

Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 чисел (цена одной игрушки), все они нечетные, значит, их сумма должна быть четна. Но 71 – число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя

Задача 7:

Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны.

Могло ли у него получиться 1990?

Решение:

На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна. Ответ нет, так как 1990 четное число.

Вывод.

Натуральные числа мы начали изучать ещё в начальной школе и продолжаем изучать в пятом классе.

В своей работе я проанализировал теоретический и практический материал о натуральных числах. Теперь могу уверенно дать ответ на задачу об арбузах из олимпиады и обосновать его.

В 17 корзин по кругу невозможно разложить никакое количество арбузов, чтобы в двух соседних корзинах их количество отличалось на один. Так как, если в двух соседних корзинах количество арбузов отличается на один, значит в одной будет находится четное количество арбузов, а в соседних – нечетное. Чтобы соблюдался порядок чередования по кругу, корзин должно быть четное количество. А по условию задачи их 17 – число нечетное.

Для решения задач на знание свойств четных и нечетных натуральных чисел не требуются больших математических вычислений, методов подбора всех возможных решений. Вывод делается очень просто и быстро, главное, необходимо определить: какие числа заданы в условии, четные или нечетные.

В жизни человек часто встает перед выбором определения количества чего – либо. Знание свойств натуральных чисел помогает ему делать свой выбор.

Используемыеинтернет источники:

1.http://www.zaba.ru/all.html-математическиеолимпиады и олимпиадные задачи.

2.http://znaemna5.ucoz.ru/index/primery_reshenija_zadach_na_chetnost_i_nechetnost/0-69 -знаешь математику на 5!

3.http://phizmat.org.ua/2010-05-22-08-03-23/922-olimpiada-delimost-ostatki-1-олимпиадные задачи по математике

4.https://www.mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter1/section1/.../theory.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/Натуральное_число

6.Четные и нечетные числа :: Поп-математика для взрослых детей ...

www.diary.ru/~Organon/p18715794.htm

ped.bobrodobro.ru/7745

Литература

1. Я. Познаю мир. Детская энциклопедия: Математика/ Я 11 Авт.-сост. А.П. Савин и др.: - М.: ООО "Издательство АСТ", 2001.

2. Г.И.Гейзер. История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981.

3. Г.Н.Берман Число и наука о нем. Общедоступные очерки. Москва: Гос. издание технико - технической литературы 1984.

4. И. Депман. Мир чисел. Рассказы о математике. Ленинград "Детская литература" 1988.

5. Я.И. Перельман. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. М: Триада - литера 1994.

6. И.Я.Депман. Н.Я.Виленкин. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов. Издательство"Просвещение" 1989.

7. Е.Карпеченко Тайны чисел .Математика /Прил. К газете "Первое сентября" №13 2007.

8. А.Н.Крылов.Числа и меры. Математика/ Прил. К газете "Первое сентября"№7 1994

9. Задачи на смекалку. Учебное пособие для 5 – 6 классов образовательных учреждений И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин : Москва «Просвещение» - 2003