Статья «Базовые понятия и свойства теории натуральных чисел»

 Базовые понятия и свойства теории натуральных чисел.

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел.

Основным объектом рассматриваемой теории выступает понятие «натуральное число».

Основным отношением между натуральными числами выступает понятие «следует за». Число, следующее за натуральным числом а, обозначается . Натуральные числа будем обозначать малыми буквами латинского алфавита.

Определение. Натуральные числа – элементы непустого множества N, в котором для некоторых элементов a и b установлено отношение b, следующее за a», удовлетворяющее аксиомам:

Аксиома 1. Существует натуральное число 1, которое не является следующим ни за каким натуральным числом, т.е. для любого натурального числа а справедливо;

Аксиома 2. Для любого натурального числа а в множестве N существует единственное натуральное число , следующее за ним, т.е. из ;

Аксиома 3. Любое натуральное число является следующим не более чем для одного натурального числа, т.е. из ;

Аксиома 4. (аксиома индукции). Пусть М – произвольное подмножество множества N, удовлетворяющее условиям:

1  М; 2) если а  М, то  М.

Тогда М равно N.

Теорема 1. (принцип полной математической индукции). Предложение T(n) с переменной n  N верно для любого n  N, если выполняются условия:

T(1) истинно, т.е. это предложение справедливо при n=1;

Каково бы ни было n  N из предположения о том, что это предложение верно для n, следует, что оно верно для следующего за ним числа  N, т.е. из того, что T(n) истинно следует, что T() истинно.

Доказательство. Пусть , тогда по условию теоремы из 1) следует, что 1  М, а по предположению 2) следует, что если n  М, то  М, откуда по аксиоме 4 Пеано следует, что М равно N, т.е. T(n) истинно для любого n  N [41].

Доказательство на основании принципа полной математической индукции называют доказательством методом математической индукции.

Определение. Сложение натуральных чисел – бинарная операция, определенная на N, обозначаемая символом «+», и обладающая аксиомами:

1) , ;

2) , .

Число a+b называется суммой чисел a и b, при этом а и b называются слагаемыми.

Свойства сложения натуральных чисел:

1. Для любых a, b  N справедливо .

2. Для любых a, b, c  N справедливо .

Определение. Умножением натуральных чисел называется бинарная операция, определенная на N, обозначаемая символом «», и обладающая аксиомами:

1) , ;

2) , .

Число называется произведением натуральных чисел a и b.

Свойства умножения натуральных чисел:

1.Для любых a, b  N справедливо равенство .

2.Для любых a, b, c, принадлежащих N,справедливо равенство .

3. Для любых a, b, c, принадлежащих N, справедливо .

4. Для любых a, b, c, принадлежащих N, справедливо .

Определение. Натуральное число a считают больше натурального числа b (пишут a > b), если существует такое натуральное число k, что справедливо равенство a = b+k.

Свойства сравнения натуральных чисел

1. Для любых a, b, принадлежащих N, имеет место только один из следующих трех случаев: a=b, a > b, b > a.

2. Из a > b и b > c следует a > c, для любых a, b, c, принадлежащих N.

3. Из a < b и b < c следует a < c.

4. а) Из a=b следует a+c=b+c и для любых a, b, c принадлежащих N.

б) Из a > b следует a+c > b+c и для любых a, b, c принадлежащих N.

с) Из a < b следует a+c < b+c и для любых a, b, c принадлежащих N.

Геометрическая модель теории натуральных чисел.

Рассмотрим прямую на которой зафиксирован 0 и точкой =1, отложим отрезок ОА2 получим следующую точку которой соответствует «число" . Если такое откладывание производить n раз то получим точку =, где 1,2……n – натуральные числа (Рис. 1).

0

Рис. 1

Таким образом, образуется множество точек, которым соответствуют буквы Аi символы которых служат интерпретацией теории натуральных чисел. При такой интерпретации образованное множество точек на числовой прямой удовлетворяет всем аксиомам определения N.

Если в множестве натуральных чисел выделить подмножество К, удовлетворяющее требованиям аксиомы индукции, то данное подмножество К совпадет с самим натуральным множеством (Рис.2).

K

Рис. 2

Вывод: Поскольку в выделенной геометрической модели N (точек на прямой), справедливы все аксиомы теории натуральных чисел, то такая модель точек на прямой является геометрической моделью теории натуральных чисел.

На геометрической модели сумма натуральных чисел представляет собой число, которое характеризуется последовательность действий:

а) сначала находим точку с координатой а;

б) из этой точки последовательно друг за другом откладываем b единичных отрезков вправо;

в) в результате окажемся в точке на прямой, координатой которой является натуральное число, равное сумме а + b (Рис.3)

b

0 а a+b

Рис. 3

Так же на геометрической модели умножение натуральных чисел представляет собой последовательность действий: первоначально находим точку с координатой а, затем из этой точки последовательно друг за другом откладываем отрезок а, заданное количество b раз (Рис. 4).

b раз

0 а a∙b

Рис. 4

Определение отношения порядка в модели, связано с расположением на ней точек (натуральных чисел), «число» а меньше числа в, если точка, изображающая а, находится левее точки, изображающей число в.

Вывод: На геометрической модели теории натуральных чисел справедливы аксиомы определения N, операции над натуральными числами и их свойства.

Арифметическая модель теории натуральных чисел.

Для построения арифметической модели теории натуральных чисел рассмотрим систему символов:

Введем символы «натуральных» чисел – 1,2, 3, 4....9 .

Выделим символ q=10 в качестве основания системы счисления.

Полfгаем, что систематическая запись числа n = аbc означает следующее n = аbc =a 102+b 101+c∙100.

Рассмотрим множество всех систематических записей натуральных чисел N = {a1,a2, …..an| ai є {1,2….9}, n= a1∙10n-1+a2∙10n-2 +…..+an-1∙101+an∙100}.

При такой систематической записи «натурального» числа при подстановке n найдется такое число, не являющееся следующим ни за каким числом. Будет существовать единственное число, следующее за данным числом. Множество, которое получается в результате подстановки n, будет совпадать с введенными символами «натурального» числа.

При рассмотрении такой записи натурального числа, нетрудно заметить, что все аксиомы теории натуральных чисел будут выполняться.

Для множества N = {a1,a2, …..an|ai є {1,2….9}, n= a1∙10n-1+a2∙10n-2 +…..+an-1∙101+an∙100} оказываются справедливыми все аксиомы теории натуральных чисел, значит N – арифметическая модель теории натуральных чисел.

В арифметической модели определены операции сложения, умножение. На конкретных примерах реализации общих закономерностей выполнения операций:

а) 325 б) 325 в) сравнить числа 325, 413, 431 и 415

+146 *146 Справедливы отношения:

471 1950 325<413, из сравнения цифр сотен

+ 1300 413<431, из сравнения десятков

325 413<415, из сравнения единиц

47450