Занимательные задачи

Задачи по теме "Раскраска"

1. Из шахматной доски 8х8 вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли теперь разрезать доску на доминошки (прямоугольники 2х1)?

2. В левой нижней клетке шахматной доски стоит шахматный конь. Может ли он сделать ровно 3 хода и вернуться в ту же клетку?

3. В левой нижней клетке шахматной доски стоит шахматный конь. За несколько ходов он добрался до противоположной (правой верхней) клетки. Докажите, что он сделал чётное количество шагов.

4. В каждой клетке доски 5х5 сидит жук. Хлопнули в ладоши – и каждый жук переполз в соседнюю (по стороне) клетки. Докажите, что теперь хотя бы в одной из клеток нет ни одного жука.

5. Можно ли разрезать клетчатую доску 10х10 на прямоугольники размером 4х1?

6. Замок имеет вид прямоугольника размером 7х9. Каждая клетка, кроме центральной – комната замка, а в центральной клетке находится бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, проделана дверь. Можно ли, не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?

7. Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки a1, закончив в клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?

8. Шахматную доску разбили на доминошки. Может ли среди этих доминошек оказаться 17 горизонтальных и 15 вертикальных.

Задачи с решением

1. Из шахматной доски 8х8 вырезали две противоположные угловые клетки. Можно ли теперь разрезать доску на доминошки (прямоугольники 2х1)?

Решение:

Если доска разрезана на домииощки (одно поле у доминошки – белое, второе – чёрное), то под ними чёрных и белых клеток поровну. Посчитаем клетки: чёрных – 30, белых – 32.

Ответ: нет

2. В левой нижней клетке шахматной доски стоит шахматный конь. Может ли он сделать ровно 3 хода и вернуться в ту же клетку?

Решение:

При ходе коня идёт чередование цвета клеток. Конь стоит на белой клетке. При первом шаге он будет стоять на чёрной клетке, при втором ходе – на белой и т.д. Если ходы нечётные, тот конь находится на чёрной клетке, если ходы чётные, то конь находится на белой клетке. На третьем ходе конь будет стоять на чёрной клетке и на первоначальную клетку не вернётся.

Ответ: нет

3. В левой нижней клетке шахматной доски стоит шахматный конь. За несколько ходов он добрался до противоположной (правой верхней) клетки. Докажите, что он сделал чётное количество шагов.

Решение:

При ходе коня идёт чередование цвета клеток. Если ходы нечётные, тот конь находится на чёрной клетке, если ходы чётные, то конь находится на белой клетке. Конь будет находится на белой клетке, т.е. он сделает чётное количество шагов

4. В каждой клетке доски 5х5 сидит жук. Хлопнули в ладоши – и каждый жук переполз в соседнюю (по стороне) клетки. Докажите, что теперь хотя бы в одной из клеток нет ни одного жука.

Решение:

Раскрасим доску в шахматном порядке (первая клетка – чёрная). Если жук сидел на белой клетке, то он переползёт на чёрную, и наоборот. Получим: 13 чёрных клеток, 12 – белых. 12 «белых» жуков переползут на 13 чёрных клеток, Вывод: хотя бы одна клетка будет свободна.

5. Можно ли разрезать клетчатую доску 10х10 на прямоугольники размером 4х1?

Решение:

Сделаем шахматную раскраску в 4 цвета, например, коричневый, синий, зелёный и жёлтый. Для удобства можно каждый цвет назвать цифрой: 1, 2, 3, 4, тогда получим:

Это 1 способ: Диагональная раскраска (тетрамино)

Если доска разрезана на тетраминошки 4х1, то под ними поровну клеток всех цветов: № 1 – 25 клеток, № 2 – 26 клеток, № 3 – 25 клеток, № 4 – 24 клетки.

Раз клеток разного цвета разное количество, то разрезать нельзя.

2 способ:

Это крупная шахматная раскраска (двойная)

Предположим, что доску можно разрезать на тетраминошки, тогда чёрных – 48 клеток, белых – 52 клетки. Противоречие.

3 способ:

Новый вид раскраски.

Если доска разрезана на тетраминошки 4х1, то под ними поровну клеток всех цветов: чёрных – 51 клетка, белых – 49 клеток. Противоречие.

6. Замок имеет вид прямоугольника размером 7х9. Каждая клетка, кроме центральной – комната замка, а в центральной клетке находится бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, проделана дверь. Можно ли, не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?

Решение:

Выполним раскраску: цвета комнат чередуются. Посчитаем комнаты: чёрных – 32 клетки, белых – 30 клеток. При обходе комнат количество комнат разного цвета должно отличаться не более чем на 1.

Ответ: нельзя

7. Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки a1, закончив в клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?

Решение:

Шахматная доска имеет 8х8=64 клетки. Делаем 63 хода, а это нечётное количество. Каждый нечётный ход – белая клетка, значит, 63-ий ход – белая клетка, а h8 – чёрная.

Ответ: нельзя

8. Шахматную доску разбили на доминошки. Может ли среди этих доминошек оказаться 17 горизонтальных и 15 вертикальных.

Решение:

Выполнив вертикальную раскраску, получаем: доминошек (1 клетка белая, другая – чёрная) – х штук (горизонтальная доминошка), доминошек (обе клетки белые) – у штук (вертикальная доминошка), доминошек (обе клетки – чёрные) – z штук (вертикальная доминошка).

Чёрных – 32 клетки, значит х + 2 z = 32, то х – чётно. По условию задачи горизонтальных доминошек 17 (нечётное число) быть не может.