Функционально-графический подход к решению задач с параметрами

МУНИЦИПАЛЬНАЯ X УЧЕНИЧЕСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ « ЮНОСТЬ: ТВОРЧЕСТВО, ПОИСК, УСПЕХ»

Аннинский муниципальный район

Воронежская область

Секция: МАТЕМАТИКА

Тема: «Функционально-графический подход к решению задач с параметрами»

Автор работы: Иванова Кристина

МБОУ Аннинская СОШ № 3, 9 «А» класс

Место выполнения работы: МБОУ Аннинская СОШ № 3, 9 «А» класс,

Воронежская область, п.г.т. Анна

Научный руководитель:
Конюхова Галина Станиславовна,
учитель математики МБОУ Аннинская СОШ №3

г. АННА, 2020/2021 учебный год

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение……………………………………………………………..............................3-4 стр.

2. Историческая справка……………………………………………….. ……………..…..5 стр.

3. Методические аспекты решения задачи № 22 2 части ОГЭ по математике (Модуль «Алгебра»)…………………………………………………………………………………..6 стр.

4. Виды заданий №22……………………………………………………………………….7 стр.

5. Способы задания функций…………………………………………………………...8-10 стр.

6. Математическое понятие параметра……………………………………………..……11 стр.

7. Функционально-графический подход к решению задач с параметрами...............12-17 стр.

8. Проверь себя!....................................................................................................................18 стр.

9. Полезные советы учащимся для успешной подготовки к ОГЭ по математике…...19 стр.

10. Заключение…………………………………………………………………...…….20-21 стр.

11. Библиографический список…………………………………………………….……..22 стр.

12. Приложения

12. 1. Элементарные функции в школьном курсе математики……………..….23-24 стр.

12. 2. Элементарные преобразования графиков функций……………………...25-30 стр.

1. Введение.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности у учащихся, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики и рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях или учебных курсах.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями: обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида; нехватка времени на них в школьной программе; исследовательский характер.

Объект исследования: задание №22 ОГЭ. Классы заданий, содержащих параметры, и их методы решения, а именно функционально-графический подход к решению заданий с параметрами.

Предмет исследования: графики функций.

Методы исследования: решение примеров на построения графиков, моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Актуальность исследования обусловлена тем, что при подготовке к олимпиадам и успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ, выпускники испытывают затруднения при выполнении заданий, где при решении необходимо построить графики функций или при нахождении значении параметра. Не высок планируемый процент выполнения задания № 22- 3-15%.

Тема "Функции, их свойства и графики" является одной из важных тем курса алгебры основной школы. Она отражена в заданиях 1-й (базового уровня) и 2-й (повышенного и высокого уровня) частях экзаменационной работы.

Цель исследования: расширение математических представлений о приемах и методах решения задач с параметрами и углубление знаний по построению графиков функций; оказание практической помощи выпускникам 9 класса в приобретении, освоении и закреплении знаний как теоретического, так и практического характера по теме «Функция» на ОГЭ и ГВЭ, а так же с целью повышения уровня самоподготовки к ОГЭ по математике.

Гипотеза. Можно предположить, что при решении задач школьной программы, а также задач из открытого банка ОГЭ и ЕГЭ, применение функционально-графического подхода к решению задач с параметрами, приводит к получению необходимого результата и является более рациональным.

Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие задачи:

Подобрать необходимую литературу, проанализировать и систематизировать полученную информацию.

2. Рассмотреть графический способ решения уравнений и систем уравнений с параметрами.

3. Показать применение данных способов при решении заданий ОГЭ № 22.

4. Создать медиаресурс для решения уравнений с параметрами.

Практическая значимость моей работы заключается:

1. В использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям;

2. В использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.

Ключевые слова: график, параметр, ОГЭ, алгебра.

2. Историческая справка.

В первой половине ХVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от её абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки.

Термин "функция" (от латинского function – исполнение, совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер (1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.1

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.2

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре - это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике - это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т.п. Модуль объемного сжатия (в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

3. Методические аспекты решения задачи № 22 2 части ОГЭ по математике

(Модуль «Алгебра»)

Задания второй части модуля «Алгебра» направлены на проверку владения таких качеств математической подготовки выпускников, как:

формально-оперативным алгебраическим аппаратом;

умения решить комплексную задачу, включающую в себя знания из разных тем курса алгебры;

умения математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

владения широким спектром приёмов и способов рассуждений.

Основные проверяемые требования к математической подготовке при выполнении задания 22.

Задания второй части считаются выполненными верно, если учащийся выбрал правильный путь решения, из письменной записи решения понятен ход его рассуждений, получен верный ответ. В этом случае ему выставляется полный балл, соответствующий данному заданию. Если в решении допущена ошибка, не носящая принципиального характера и не влияющая на общую правильность хода решения, то учащемуся засчитывается балл, на 1 меньше указанного.

Основным условием получения положительной оценки за решение задания 22 является верное построение графика. А верное построение графика включает в себя следующее: правильно подобранный и отображенный на рисунке масштаб, содержательную таблицу значений или объяснение построения, выколотую точку (точки), обозначенную в соответствии с ее координатами.

4. Виды заданий №22.

В данных задачах требуется построить график и затем найти значение параметра,

то есть для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения (неравенства, системы) или доказать, что их нет.

Очень часто встречаю задания, где на различных участках числовой прямой функция задана разными формулами. Такие функции назовём кусочными. Участки числовой прямой, которые различаются формулами задания, назовём составляющими область определения, а их объединение, является областью определения кусочной функции. Точки, которые делят область определения на составляющие, называются граничными точками. Выражения, определяющие кусочную функцию на каждой составляющей области определения, называется входящими функциями.

Наличие таких свойств как чётность, нечётность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность, ограниченность у кусочных функций устанавливается согласно общепринятым определениям, с учётом особенностей составляющих области определения и входящих функций.

Для того чтобы вычислить значение кусочной функции в заданной точке, необходимо, во-первых, определить, какой составляющей области определения принадлежит эта точка, а, во-вторых, найти значение входящей функции на этой составляющей.

Чтобы построить график кусочной функции, нужно:

Построить в одной системе координат графики входящих функций,

Провести прямые x=a, где a-граничные точки,

На каждой составляющей области определения (a, a), где i=1…n выбрать тот график, который соответствует входящей функции на этой составляющей.

Выяснить значение функции в граничных точках.

Если каждая входящая кусочной функции является линейной, то будем называть её кусочно-линейной функцией.

5. Способы задания функций.

Функция – одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной у.

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций.

1. Аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы).

2. Табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3. Описательный способ (функция задается словесным описанием)

4. Графический способ (функция задается с помощью графика)

Табличный способ довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Графический способ задания функции помимо геометрического изображения функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функцию трудно задать аналитически. Задать функцию графически - это значит построить её график. Это часто делают самопишущие приборы. Например, в медицине электрокардиограф строит электрокардиограмму - кривую изменения электрических импульсов сердечной мышцы.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле. «Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».3

Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

Способы задания линейной функции.

6. Математическое понятие параметра.

Решить задачу с параметром – это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.

Параметр – величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы. («Словарь русского языка» С.И. Ожегова.)

Параметр – постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. («Словарь иностранных слов».)

Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение. («Толковый словарь русского языка» под редакцией Д.Н. Ушакова.)

В уравнениях (неравенствах) коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами называются параметрами.

П ример:

Решить задачу с параметром – это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.

Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла, рассматривать их как задачи исследовательские.

7. Функционально-графический подход к решению задач с параметрами.

Согласно открытому банку задач ОГЭ, задание № 22 представляет собой задание с параметром. Задание выглядит примерно так: «Постройте гра­фик функ­ции  и определите, при каких зна­че­ни­ях параметра прямая y = m имеет с гра­фи­ком _ общие точки».

Чтобы выполнить данное задание надо владеть графическим способом решения. Нужно хорошо представляет себе движение графиков относительно осей при изменении параметра. Суть метода в том, чтобы нарисовать график функции при фиксированном значении параметра, а потом посмотреть, как будет двигаться график при изменении параметра. Для этого лучше иметь бумагу в клетку и уметь рисовать графики функций, что порой непросто.

Задачи, содержащие параметр, требуют к себе своеобразный подход, здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять дополнительное построение различных графиков, вести графические исследования, соответствующие данным значениям параметра.

Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера. Каждое такое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но, тем не менее, каждое из них должно быть решено. Легче всего это сделать с помощью графического представления зависимости переменной от параметра .

На плоскости функция задает семейство кривых, зависящих от параметра а.

Задание 22

14. Постройте гра­фик функ­ции y = -2 -и определите, при каких зна­че­ниях m прямая  y = m имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

Решение.

У простим выражение:

 

-2 -

Рис. 1

Таким образом, получили, что график нашей функции сводится к графику функции y = - x2 – 2 с выколотыми точками (0;-2) и (1; -3). Построим график функции (см. рисунок 1). Из гра­фи­ка видно, что пря­мая y = m  имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно две общие точки при m,  при­над­ле­жа­щем про­ме­жут­ку 

Ответ:

2. Постройте гра­фик функ­ции  у = |x-1|+|2x-3| и определите, при каких зна­че­ни­ях параметра а  пря­мая  y = а имеет с гра­фи­ком имеет хотя бы одно решение.

Р

Решение.

Построим график функции

Раскрывая модули, получаем

Следовательно, уравнение f(x)=a имеет хотя бы одно решение, если a≥0,5

Ответ: а≥0, 5.

3. Постройте гра­фик функ­ции  у = x2-6x+8 и определите, при каких зна­че­ни­ях параметра k  пря­мая  y = k имеет с гра­фи­ком 4 корня?

Решение.

Построим график функции y=x2-6x+8.

Правая часть данного уравнения может быть только неотрицательной, т.е. k  0

Ответ: k=0, 1<k<8

4 . Постройте гра­фик функ­ции  у = и определите, при каких зна­че­ни­ях параметра a  пря­мая  y = a имеет с гра­фи­ком три корня.

Решение.

Построим графики функций: у = |х2-2x-3| и у = а.

а) график функции у = |х2-2x-3| получается в результате симметричного отображения графика функции у = х2-2x-3 симметрично относительно оси ОХ.

б ) графиком функции у = а является прямая, параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;а).

С изменением параметра а, прямая перемещается вдоль оси ОУ, параллельно оси ОХ. Уравнение имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь одну, две или три общие точки. Выберем те значения параметра а, при котором графики имеют три общие точки, а значит, уравнение имеет три решения.

При а = 4 прямая с графиком имеют три общие точки.

Ответ: 4

55. Постройте гра­фик функ­ции  и определите, при каких зна­че­ни­ях параметра c  пря­мая  y=c имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Решение.

Разложим чис­ли­тель дроби на множители:

 

При x≠3 и x≠-2 функ­ция при­ни­ма­ет вид:

 y= (x+3)(x-2), y=x2 +x-6 

 Её гра­фик — па­ра­бо­ла c вы­ко­ло­ты­ми точ­ка­ми 

(-2;-4) и (3;6).

Прямая y=c имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку либо тогда, когда про­хо­дит через вер­ши­ну параболы, либо тогда, когда пе­ре­се­ка­ет па­ра­бо­лу в двух точках, одна из ко­то­рых — выколотая.

Вер­ши­на па­ра­бо­лы имеет ко­ор­ди­на­ты (-0,5;-6,25).

Поэтому  с= -4, с= -6,25 или с = 6.

Ответ: -6,25: -4; 6

6. Найдите все значения а, при каждом из которых график функции f(x) = x2-|x2+2x-3|-a пересекает ось х более, чем в двух различных точках.

Решение.

Условию будут удовлетворять значения а, при которых уравнение x2-|x2+2x-3|-a =0 имеет более двух различных решений.

Запишем уравнение в виде x2-|x2+2x-3| = a .

В одной системе координат построим графики функций у = x2-|x2+2x-3| и у = a .

а) у = x2-|x2+2x-3|. Раскроем модуль.

1 ). Если х ϵ (-∞;-3][1;+∞), то функция примет вид: у = -2х+3,

2). Если х ϵ (-3;1), то функция примет вид: у = 2x2+2x-3.

б) Графиком функции у = а является прямая. С изменением параметра а, прямая перемещается вдоль оси Оу, параллельно оси Ох. Выберем те значения параметра а, при которых данное уравнение имеет более двух различных решений.

Найдите все значения a, при каждом из которых график функции f(x) = x2-|x2+2x-3|-a пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.

Ответ: - 3,5 < a < 1.

76. Постройте гра­фик функ­ции у =  и определите, при каких зна­че­ни­ях  m пря­мая y = m имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Решение.

Упростим выражение:

  = (x+4)(x+2) = x2 + 6x + 8

 

График функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку па­ра­бо­лы  у = x2 + 6x + 8 с вы­ко­ло­той точ­кой (-1; 3)

 

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая  y = m  имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно одну общую точку при  m = -1 и m = 3.

Ответ: −1; 3.

8. Постройте гра­фик функ­ции  и определите, при каких зна­че­ни­ях параметра a  пря­мая  y = a имеет с гра­фи­ком одну общую точку.

Решение.

З апишем уравнение в виде:

Построим графики функций:

и подвижную прямую у = а.

Ответ: а =3

9. Постройте гра­фик функ­ции  и определите, при каких зна­че­ни­ях параметра a  пря­мая  y = a не имеет с гра­фи­ком общих точек.

Решение.

Построим график и прямую у = а.

По рисунку видим при а < -1 решений нет.

Ответ:

8 . Проверь себя!

9. Полезные советы учащимся для успешной подготовки к ОГЭ по математике.

1. Не секрет, что успешнее сдает экзамен тот, кто в полном объеме владеет материалом, хорошо знаком с процедурой проведения экзамена, психологически готов к экзамену и адекватно реагирует на нестандартные ситуации.

2. Хорошо знать документы, регламентирующие проведение экзамена по математике:

«Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике»

«Кодификатор элементов содержания для проведения основного государственного экзамена по математике»;

«Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения основного государственного экзамена по математике»;

«Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения основного государственного экзамена по математике»;

Литературу для подготовки к ОГЭ.

Список сайтов, содержащих демоверсии и позволяющие онлайн-тестироваться.

3. На основании школьного плана подготовки к экзамену, составить личный план, включив в него консультации, которые проводит учитель, расписание «пробных» ОГЭ.

4. Тщательно анализировать пробные ОГЭ. По итогам пробных ОГЭ корректировать самостоятельную подготовку к экзамену.

5. Собирать свой портфолио-папку со всеми выполненными пробниками. Вести мониторинг выполнения всех заданий пробных экзаменов.

6. Серьезное внимание уделять устному счету, который проводит учитель на уроках. Эти упражнения активизируют мыслительную деятельность, требуют осознанного усвоения учебного материала. При их выполнении развивается память, речь, внимание, быстрота реакции. Устные упражнения позволяют корректировать знания, умения и навыки учащихся, а также автоматизировать навыки простейших вычислений и преобразований.

7. Научиться «читать» условие задачи до начала решения и после ее решения для того, чтобы верно ответить на поставленный вопрос (что нужно было найти?).

10. Заключение.

Математика – это набор инструментов, который необходим в познании окружающего мира. И этим инструментом необходимо владеть в совершенстве, чтобы познавать, развивать и изменять нашу жизнь.

Все изученные в школе функции относятся к классу элементарных функций, и строить графики этих функций интересно и просто. А график является портретом функции, поэтому выполнять задания следует после того, как изучен весь теоретический материал по теме.

В своей работе я обобщила знания о функции, о их графиках и свойствах. Изучила и систематизировала прототипы заданий № 23 ОГЭ, привела алгоритмы их решения. В процессе этой работы наглядно видно, что задания по теме «Функции», представленные в разных вариантах, имеют не одинаковый уровень сложности.

Данные задачи представляют большой интерес для учащихся девятых классов, так как они встречаются в КИМах ОГЭ. Умение строить данные графики функций позволит более успешно сдать экзамен.

Считаю, что готовясь к итоговому экзамену учащимся необходимо ориентироваться на задания более высокой сложности и тогда можно рассчитывать на положительный результат. Учащиеся выпускного класса должны иметь более высокий уровень теоретических знаний и умений правильно применять их.

Надеюсь, что данная работа поможет не только экзаменуемым, но и учителям, при подготовке к ОГЭ.

Построение графиков функций - одна их интереснейших тем в школьной математике. Крупнейший математик нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано у =х2 , то вы сразу видите параболу; если у = x2-4, вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же у =-(x2—4),то вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину».

В моем понимании жизнь – это функция, зависящая от многих переменных.

Мы получаем от жизни то, во что верим. Ты веришь, что жизнь прекрасна — и она прекрасна. Ты веришь, что она ужасна, — она ужасна. Веришь, что выхода нет, — и не найдешь выхода. Веришь, что выход есть, — обязательно его увидишь. Ты веришь в успех — ты его создашь. Наша вера создает нашу реальность. Если полагаться исключительно на судьбу и шагать по случайным цепочкам событий, созданных косвенно другими людьми, "плыть по течению", можно выплыть не на тот берег. Разумеется, жизнь вносит коррективы в наши планы, и порой возникают различные обстоятельства, но я думаю, что все в наших руках.

«Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно». А.Н. Колмогоров.

11. Библиографический список. 1.  В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 13, 22, 25, 31. — 664 с. — ISBN 5-94057-056-9.

2.  Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. - М., Просвещение, 1994. - ISBN 5-09-006088-6. - C. 86

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/

4. https://oge.sdamgia.ru/problem?id=49

5. https://oge.sdamgia.ru/problem?id=338207

6. https://oge.sdamgia.ru/problem?id=338288

7. 3000 задач с ответами по математике. Задачник.ч.1._Ященко_2019 - 480с

8. ОГЭ-2019. Математика. Новый сборник заданий. Лаппо, Попов, 2017 -160 с

12. Приложения

12. 1 Элементарные функции в школьном курсе математики.

12. 2. Элементарные преобразования графиков функций.

Элементарные преобразования графика функции   y = f (x)   перечислены в следующей таблице.

      Примеры элементарных преобразований графика функции   y = x2   приведены в следующей таблице.

Примеры элементарных преобразований графика функции   y = x2 – 6 x + 5   приведены в следующей таблице.