Урок алгебры в 11 классе «Решение задач с параметрами»

Задачи с параметрами
PDF / 4.34 Мб

ДАГЕСТАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ КАДРОВ КАФЕДРА ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ И ИКТ ПРОЕКТ НА ТЕМУ: «РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ»

Проект подготовил: Учитель математики Магамедалиев Фазил Магамедалиевич Курукальская СОШ Ахтынский район Руководитель Абдурахманова З.М.

г. Махачкала 2015г.

СОДЕРЖАНИЕ

1.Введение

2.Актуальность проблемы

3.Цель, задачи, гипотеза и объект исследования 

4.Теоретическая часть 

   4.1 Основные способы и методы решения задач с параметрами  

5. Эмпирическая часть

   5.1 Применение теоремы Виета

   5.2 Тригонометрические уравнения с параметром

   5.3 Метод оценки

   5.4 Метод интервалов

   5.5 Задачи с параметрами содержащие корень

   5.6 Тригонометрические уравнения с параметрами

   5.7 Использование монотонности функции

6.Выводы

7.Заключение

8. Использованная литература и интернет ресурсы

 

1. Введение

Так как изучение многих математических и геометрических задач и закономерностей приводит к решению задач с параметрами, то изучение методов решения задач с параметрами в школах является актуальной задачей. Никому не секрет, что это один из наиболее трудных разделов школьного курса математики. Наиболее сложными задачами ЕГЭ, являются задачи с параметрами, поэтому познакомиться с методами решения, освоить способы решения задач, с параметрами желательно начиная с 7 го класса. Задачи с параметрами требуют от учащихся больших волевых и умственных усилий. Задачи с параметрами включены в задания ЕГЭ, а так же обязательны на вступительных экзаменах в вузы. Анализируя предыдущие результаты ЕГЭ, видим, что выпускники с трудом решают такие задачи. Большинство вовсе не справляются, так как каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой класс обычных уравнений и неравенств, где нужно учитывать параметр. К сожалению, в школьном курсе математики не уделяется достаточно времени и внимания на изучение данного раздела и отсутствует система заданий по данной теме в школьных программах. Даже в профильном курсе «Алгебра и начала анализа» в 11 классе рассматривается недостаточно для успешного выполнения заданий части С5 на ЕГЭ. Мне кажется, проблема кроется в недостаточных рассмотренных оригинальных способах решения задач с параметрами, а так же недостаточного рассмотрения задач на тему – функция и графики. Функция и графики так же являются одним из слабым звеном в школьной математике, которое трудно поддается учащимся. Так как самая основа задач с параметрами, это элементарные функции и графики, то нужно уделить внимание этим темам. Необходимо изучить методические рекомендации авторов Л.А.Штрауса, И.В.Бариновой «Задачи с параметрами в вариантах ЕГЭ», в которых рассмотрены задачи С5 подготовительных, репетиционных и реальных вариантов КИМ ЕГЭ 2010-2014 г.г., а также осуществлять 4 контрольно-оценочную деятельность, используя современные способы оценивания в условиях введения ФГОС. Задачи с параметрами требует исследования, если даже это слово в формулировке задачи не упомянуто. Поэтому рассмотрим формируемые УУД в условиях ФГОС при решении задач с параметрами, в виде таблицы.

 

2. Актуальность проблемы

В течение последних десятилетий наблюдается снижение интереса школьников к математике. Я считаю, что такое явление связано в плохой мотивации, а также, менее доступная форма изложения и преподнесения материала без учета индивидуальных особенностей учащихся. Эти факторы вызывают обратный эффект. Мною был произведен опрос учащихся в Курукальской сош, где я работаю и в нескольких школах Ахтынского района, так как был с этими школами в постоянном контакте, так как оперирую базами данных учащихся сдающих ОГЭ и ЕГЭ. Из 100 опрошенных старшеклассников 80 ссылаются на то, что эти предметы не понадобятся им в будущем, а остальные в непонимании излагаемого материала. Все это приводит к постепенному снижению интереса школьников к предмету математика. Другие жалуются на сложность предмета, они не видят особого смысла заставлять себя учить формулировки и ломать голову над задачами. Экспертиза нынешнего состояния курса математики показывает: – недостаточную ориентацию на жизненно важные проблемы, и прежде всего на проблемы математического образования; – недостаточную мотивированность (учащиеся часто не понимают, зачем изучаются те или иные частные вопросы; кроме того, многие понятия начинают формироваться слишком поздно, без учета возрастных интересов учащихся); – отсутствие подхода, учитывающего интересы и способности учащихся (в результате чего для одних школьников курс математики оказывается слишком сложным, а для других, напротив скучен и неинтересен). Несмотря на то, что создаются новые технологии, разрабатываются новые методики преподавания, появляются нестандартные формы проведения 6 уроков, вариативные программы и учебники и т. д. Успех всегда зависит от мастерства учителя. Однако нужного результата можно не достичь, если не учитывать индивидуальные особенности ребенка. Современное преподавание в школе сталкивается с проблемой снижения интереса учащихся к изучению предметов. Перед педагогом ставиться задача – пробудить интерес, не отпугнуть ребят сложностью предмета, особенно на первоначальном этапе изучения курса математики. Недостаточное внимание оказывают решению задач с параметрами в 8 и 9-х классах. Проведенный анализ учебников и примерных программ по математике показывает, насколько мало внимания оказывают решениям задач с параметрами. Процесс приобретения прочных знаний при решении задач с параметрами путем применения рациональных методик решения задач с параметрами будет иметь успех, если при предоставлении материала учителем и ее решения, будут применены УУД. Под УУД при решении задач с параметрами, я понимаю универсальные действия, которые учащиеся будут обходить сложные вычисления и найдут решения другими равносильными переходами, которые будут описаны ниже.

3. Цель: Проанализировать применение методов решения задач с параметрами на уроках математики. Рассмотреть различные уравнения и неравенства с параметрами и представить методы их решения. Содействовать совершенствованию базовой подготовки, обеспечивающих обучению школьников математике в условиях реализации ФГОС.

Объект исследования: Задачи с параметрами. Процесс обучения и подготовки учащихся средней школы к ОГЭ и ЕГЭ.

Предмет исследования: Решение задач с параметрами на уроках математики.

Гипотеза исследования: Если на уроках математики применять рациональные методы решения задач с параметрами, и если рассмотреть методы решения таких задач, то задачи с параметрами будут легче решаться.

Задачи:

1) определить роль и степень изучения задач с параметрами на уроках математики;

2) разработать методику использования рациональных методов решения задач с параметрами на уроках математики. Привести примеры;

3) Сбор и систематизация литературы;

4) Разобраться с готовыми решениями;

5) Решение задач с параметрами самостоятельно;

 

4. Теоретическая часть

4.1 Основные понятия и термины Уравнение (неравенство) с параметрами — это математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

4.2 Что означает «решить задачу с параметром» Решение задачи с параметром зависит от вопроса в задаче. Например, если требуется решить уравнение или неравенство, их систему или совокупность, то надо предъявить обоснованный ответ, для любого значения параметра, или для значения параметра, принадлежащего оговоренному множеству.

Если нужно найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то решение задачи и состоит в нахождении указанных значений параметра.

4.3 Основные типы задач с параметрами

1. Базовый тип. Решение уравнения или неравенства для любого значения параметра.

2. Уравнения и неравенства с параметрами, где количество решений зависит от значения параметра.

3. Найти все значения параметра при указанном числе решений. Уравнения и неравенства, где при искомых значениях параметра, решение должно удовлетворять условиям области определения.

Например, необходимо найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для всех значений переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

4.4 Основные способы методы решения задач с параметром

1. аналитический метод;

2. функциональный метод;

3. графический метод;

4. метод замены;

5. метод изменения ролей переменных;

6. метод перехода от общего к частному;

7. метод свободных ассоциаций;

8. метод «обратного хода»;

9. комбинированные методы.

4.5 Основные виды уравнений с параметрами

1.5.1 Линейные и квадратные уравнения

1.5.2 Дробно-рациональные уравнения с параметрами,

1.5.3 Иррациональные уравнения с параметрами

1.5.4 Тригонометрические уравнения

1.5.5 Показательные уравнения с параметрами

1.5.6 Логарифмические уравнения с параметром

 

5. Эмпирическая часть

5.1 Решение задач с параметрами

Если в уравнении в правой и левой частях стоят функции разных типов, то уравнение аналитически не решается и на него не нужно тратить время.
Такие задачи решаются методом оценки, этот метод будет рассмотрен ниже.
Самое главное, пока учащиеся не освоят элементарные функции их графики,
то говорить о решении задач с параметрами не имеет смысла.

Советую своим ученикам иметь при себе табличку — преобразование графиков функций.

 

и еще два преобразования, это отражение по оси Х и У.

Если рассмотреть параболу, то на первый взгляд все просто, квадратные уравнения решаются просто, но если квадратные уравнения связать с параметрами, то получаются сложные задачи, которые решаются не просто. Поэтому предлагаю своим ученикам
повторить квадратные уравнения, теорему Виета и другие приемы решения квадратных уравнений.

Рассмотрим решения задач, где применены вышеуказанные методы.

 

 

 

5.7 Задача 14.[4,5]

 

6. Выводы

На основе проведенной проектной работы были получены следующие результаты и выводы. 1. Определено одно из возможных направлений повышения качества обучения учащихся основной школы на уроках математики при решении задач с параметрами. 2. Раскрыты дидактические принципы организации учебной деятельности на уроках математики при решении задач с параметрами. 3. Изучены и представлены некоторые наиболее приемлемые методы решения задач с параметрами. 4. Выявлены факторы, влияющие на качество знаний учащихся при решении задач с параметрами и найдены направления оптимизации процесса. 5. Подтверждено, что повышению качества обучения математики способствует такое обучение, при котором на первый план выступает не сам процесс обучения, а овладение учащимися общей структурой деятельности: теоретическим способом действия, состоящим из трех взаимосвязанных компонентов: анализа, планирования (внутреннего плана действия) и рефлексии.

 

7. Заключение.

В данной проектной работе я постарался рассмотреть разнообразие задач с параметром с точки зрения основных тем школьного курса математики, а также задачи типа С5 ЕГЭ. В ходе выполнения проектной работы была изучена учебно-методическая литература, был произведен разбор задач из использованной литературы по возможности их применения при решении той или иной задачи. В ходе решения разных задач, были применены нестандартные методы, позволяющие обходить громоздкие вычисления. Обучение школьников решению задач с параметрами по задачным материалам, предлагаемым авторами учебников, а так же из интернет ресурсов, может не только расширить задачный материал, но и значительно углубить усвоение учениками математических знаний. Представленная проектная работа может быть использована как дополнительный материал при изучении задач с параметрами, а так же при подборе дополнительных заданий к урокам математики.

 

8. Интернет и литература.

При работе над проектом, я пользовался следующей литературой и интернет ресурсами.

1. Электронный практикум по теме «Параметры» из коллекции ОМС и Единой коллекции ЦОР

2. Сайты ФЦИОР http://eor.edu.ru/ , http://fcior.edu.ru/,

3. http://www.college.ru/ (Открытый колледж) ,

4. http://www.school.edu.ru/default.asp (Российский общеобразовательный портал)

5. сайт «Открытый класс» (Сетевые образовательные сообщества) http://www.openclass.ru/collection

6. Диск «Функции и графики» из серии «Открытая математика» изд. ООО «Физикон», Москва

7. Диск «Математика 5-11 классы. Практикум», «1С: Школа»,

8. On-line тестирование на сайтах http://uztest.ru , http://fipi.ru

9. Крамор, В.С. Примеры с параметрами и их решение [Текст]: поступающих в вузы / В.С. Крамор. – М.: АРКТИ, 2008. – 342 с.

10. Кузовлев, А. Расположение корней квадратного трехчлена при решении

11.задач с параметрами [Текст] / А. Кузовлев //Математика.– 2010. - №34. – С. 19-2

12.Корешкова ТА., Глазков Ю.А., Мирошин В.В. и др. Математика: Типовые

13.тестовые задания. М., 2005.

14. Локоть В. В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, 

15.неравенства, системы. «Аркти», М., 2005Ястребинецкий, Г.А. Задачи с параметрами [Текст]: Кн. для учителя /Г.А. 16.Ястребинецкий. – М.: Просвещение, 2008. – 126 с.