В начале курса математики 5-ого класса я стала изучать геометрический материал. Мне стало интересно, кроме простых фигур, какие ещё фигуры изучаются в геометрии, на какие разделы делится она. Геометрия-слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука, геометрия делится на разделы

1.Планиметрия (лат. слово, планум - поверхность, плоскость + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т.д.)

2.Стереометрия (греч, стереос - пространство + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т.д.)

З.Топология (гр. топос - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов.

Родоначальниками топологии были немецкий учёный Георг Кантор (1845-1918), Феликс Хаусдорф, Павел Сергеевич Александров (1896-1982).

Лента Мебиуса - один из объектов области математики под названием «топология» (по другому – «геометрия положения»).

Проблема: Какими же удивительными свойствами обладает лента Мебиуса?

Так возникла идея создания исследовательского проекта, в который вошли бы теоретический материал и эксперименты, проводимые мною. Мое исследование связано с решением творческой, исследовательской задачи в области математики. Так как по ходу исполнения проекта у меня накопилось достаточно материала, то мне захотелось представить его в виде законченного исследования и компьютерной презентацией с использованием технологии Microsoft Power Point.

Исследовательский проект по содержанию является монопредметным (математика), по стилю исполнения межпредметным (математика, информатика).

Основными этапами исследования были:

постановка проблемы,

овладение методикой исследования,

сбор материала,

проведение экспериментов,

выводы.

Тема исследовательской работы: Исследование поверхности ленты Мебиуса и ее свойств.

Цель работы: Исследование поверхности ленты Мебиуса и её свойств.

Задачи работы:

Познакомиться с историей появления ленты Мебиуса.

Выявить и исследовать свойства ленты Мебиуса.

Установить области применения ленты Мебиуса.

Объект исследования: лента Мебиуса.

Предмет исследования: свойства ленты Мёбиуса.

Гипотеза: как это ни удивительно, но односторонние поверхности существуют.

В своей работе я использовала методы:

анализ литературы по теме;

сравнение;

обобщение;

моделирование (метод моделирования позволил мне получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями);

эксперимент.

Изготовление и знакомство с лентой Мёбиуса.

Для проведения экспериментов потребуются бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см. В каждом эксперименте будут необходимы два бумажных кольца – одно простое (обычное) и одно перекрученное (лента Мёбиуса).

Обычное кольцо

Лента Мебиуса

Моделирование объекта исследования:

Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У него есть особое название - "Лента Мёбиуса".

Историческая справка (Август Фердинанд Мёбиус).

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.

История создания ленты (листа) Мёбиуса.

Как-то незаметно для окружающих в 26 лет Мёбиус стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил поражать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро…

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Наука топология.

Лист Мёбиуса – топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем.

С ама топология началась именно с листа Мёбиуса. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – “взрыва” фигуры. Поэтому иногда топологию называют “геометрией непрерывности”. Она известна и под именем “резиновая геометрия”, потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, который почти в тоже время, что и его коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам перекрученную ленту.

Тополо́гия (от греч. τόπος — место) — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов.

Как было сказано выше, что топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях, не допускающих разрывов и склеивания. С точки зрения топологии баранка и кружка одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины можно перейти от одной из этих фигур к другой. А вот баранка и шар - разные объекты; чтобы сделать отверстие, надо разорвать шар. Примерами топологических фигур могут быть фигуры:

Среди букв русского алфавита есть типологически одинаковые фигуры

А-Д, Г-С, С-П, Л-И, 3-Э, Т-У.

Примеры не равных фигур в топологии:

Вторая фигура получается из первой путем склеивания точек С 1 и Д 1, С 2 и Д 2 и растяжения отрезка АВ. Топологические равенства отличаются от равенств в геометрии твёрдых фигур, где равенство фигур равносильно равенству измерении. В топологии фигуры не имеют измерений. Самым известным объектом в топологии является лист Мёбиуса.

Основные свойства ленты Мебиуса.

Основными свойствами ленты Мебиуса являются:

односторонность,

непрерывность,

связность,

ориентированность,

“хроматический номер”.

Односторонность

Свойства ленты Мёбиуса хорошо известны: 1) она имеет одну поверхность, 2) однако в каждом поперечном сечении эта поверхность имеет "внешнюю" и "внутреннюю" стороны, которые по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.

Непрерывность

Т ополог может, как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.

Представьте себе, что по наружной поверхности обычного кольца путешествует муравей. Если муравей не пересекает рёбра, а идёт вдоль листа, он вернётся в исходную точку, обойдя наружную поверхность. На ленте Мёбиуса путешествие муравья будет длиться вдвое дольше: муравей, не пересекая рёбер, обойдёт обе поверхности – наружную и внутреннюю.

Связность

Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

Ориентированность.

Ориентированность – свойство, отсутствующее у ленты Мёбиуса. Так, если бы человек смог путешествовать по всем изгибам ленты Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение.

Хроматический номер

“Хроматический номер” равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его с клеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер ленты Мёбиуса? Он, как ни поразительно, равен шести.

Изучение свойств ленты Мёбиуса.

Описание экспериментов.

I опыт:	Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придем снова в отмеченную точку.
II опыт:	Закрасим полностью только одну сторону колец. Раскрасим внутреннюю и внешнюю сторону обычного кольца разными красками. Попробуем раскрасить ленту Мебиуса. «Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?»
III опыт:	Закрасим непрерывной линией только один край колец. Закрасим узенькую полоску края ленты.
IV опыт:	На внутреннюю сторону обычного кольца посадим зайца, а на наружную волка. Разрешим им бегать как угодно, запретив перелезать через края кольца. Посадим на ленту Мебиуса зайца и волка. Разрешим им бежать в разных направлениях.
V опыт:	Разрежем кольца пополам вдоль. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)
VI опыт:	Разрежем кольцо вдоль, отступив от края 1/3. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)
VII опыт:	Разрежем результат I опыта (уже разрезанную ленту) пополам вдоль.
VIII опыт:	Склеим ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, не сминая бумаги.
IX опыт:	Склеим ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны, складывая бумагу.
X опыт:	Опыты с многоразовым перекручиванием и разрезанием.

Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4...

Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорится: "просто, как все гениальное". Видимо, верно, и обратное утверждение: "гениально, как все простое".

Проведение экспериментов.

Результаты моих экспериментов с бумагой и экспериментальных исследований свойств ленты Мебиуса представлены в Таблице 1.

Таблица 1

I	Поставь точку на одной стороне каждого кольца и черти непрерывную линию вдоль него, пока не придешь снова в отмеченную точку
Обычное кольцо	Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая сторона остается чистой
Лента Мебиуса	Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке
II	Закрась полностью только одну сторону колец
Обычное кольцо	Одна сторона закрашена, другая – нет
Лента Мебиуса	Лента закрашена целиком
III	Закрась непрерывной линией только один край колец
Обычное кольцо	Один край кольца закрашен, второй край нет
Лента Мебиуса	Линия края получилась, непрерывно закрашена на всем кольце
IV	На внутренней поверхности стоит заяц, а по внешней идет в любую сторону волк
Обычное кольцо	Заяц и волк никогда не встретятся, не пересекая края
Лента Мебиуса	Заяц и волк встретятся, не пересекая края в любом случае
V	Разрежь кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям
Обычное кольцо	Получилось два кольца, уже, чем исходное, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого
Лента Мебиуса	Получилось одно кольцо в виде восьмёрки
V.A	Для проверки: какая получилась поверхность, на полученных в опыте V кольцах необходимо провести непрерывную линию
Обычное кольцо	Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца
Лента Мебиуса	Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца. (Получилась не лента Мебиуса)
VI	Разрежь кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца
Обычное кольцо	Получилось 2 кольца одно уже, другое шире
Лента Мебиуса	Получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое
VI.A	Для проверки: какая получилась поверхность, на полученных в опыте VI кольцах необходимо провести непрерывную линию
Обычное кольцо	Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне кольца
Лента Мебиуса	Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне большого кольца (не лента Мебиуса), по всей поверхности маленького кольца будет проходить линия с двух сторон (лента Мебиуса)
VII	Разрежь результат V опыта (уже разрезанную ленту) пополам вдоль
Обычное кольцо	Получаются отдельные кольца все уже и уже
Лента Мебиуса	Получилось два больших кольца, переплетенные между собой в виде восьмерки
VIII	Склеить ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны не сминая бумаги
Обычное кольцо	Получится «труба»
Лента Мебиуса	Невозможно осуществить на практике, не сминая бумаги
IX	Склеить ленту из квадрата или из прямоугольника, у которого стороны приблизительно равны складывая бумагу
Обычное кольцо	Получится «труба»
Лента Мебиуса	Получим ленту Мебиуса
X	Опыты с многоразовым перекручиванием и разрезанием

Экспериментальные выводы.

Итак, на основе проведенных мною теоретических и практических исследований можно сделать следующие выводы:

Лента Мебиуса имеет 1 край.

Лента Мебиуса имеет одну поверхность.

Лента Мебиуса имеет одну искривленную поверхность, и если по ней двигаться, можно с внутренней части переместиться на внешнюю.

Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают, или не склеивают его отдельные куски.

Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

Если закрашивать одну сторону ленты Мебиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты.

Если пустить по поверхности ленты Мебиуса, движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго.

Лента Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины.

Если допустить, что можно взять квадрат или прямоугольник любого размера и при этом можно сгибать бумажную поверхность, то мы сможем склеить ленту Мебиуса.

Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена – но не лента Мебиуса.

Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края 1/3 ее ширины, то получится два кольца, сцепленные между собой, одно большое – не лента Мебиуса, другое маленькое – лента Мебиуса.

Примером односторонней поверхности является Бутылка Клейна.

Бутылка Клейна

В результате исследования обнаружилось, что можно многократно перекручивать при склеивании ленты Мебиуса, и тогда нас ждет непредсказуемый витиеватый узор.

Тема ленты Мебиуса пользуется популярностью у творческих личностей: в мире существует множество художественных произведений посвященных этой теме (литература, скульптура, живопись, графика и т.д.).

Обнаружилось, что существуют и технические применения ленты Мебиуса.

Использование ленты Мебиуса.

1. Применение в технике.

Уже сегодня удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях. Многие ученые в своих изобретениях использовали принцип ленты Мебиуса.

В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера — энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.

Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры ленты увеличивать нельзя? Несколько лет назад изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: размеры ленты увеличились вдвое.

Есть фильтры, в которых жидкость пропускают сквозь ленту из фильтрующего материала. Постепенно эта лента засоряется, приходится её менять. На фильтр с лентой Мёбиуса тоже выдано авторское свидетельство.

Есть авторское свидетельство и на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофонная пленка, соединенная таким образом, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мебиуса вдвое дольше, чем обычную.

Скольких людей приводили в восторг аттракционы “Американские горки”. Лента Мебиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.

А всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

2. Использование идеи в творчестве.

Мёбиусовая лента понравилась не только математикам, но и фокусникам.

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Чудесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. Лист Мёбиуса был эмблемой известной серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе А.Дейча “Лента Мебиуса” описывался случай в Нью-Йоркском метро. Однажды случилось так, что пути метрополитена пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мебиуса. Поезда один за другим стали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев. А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

Игрушка эта очень полюбилась не только математикам. Не зря ведь, наверное, сейчас у входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.

Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса.

Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Ленте Мебиуса посвящают стихи:

Лист Мёбиуса.

Наталия Юрьевна Иванова

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,
По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист!

Как замыкается пространство.
Стихотворение Вадима Соколова:

В бессрочной ленте бытия,
Где не мешает слов убранство,
Поступков лживости змея.
Бескомпромиссно, непорочно,
Бесстрастно в вечности своей.
Одностороннее построчно,
Объемно в матрице полей.
Незрима грань ума и сердца.
Её попробуй пересечь…
Придется только там вертеться,
Где точка всех разлук и встреч.
Как странна точка перегиба,
Что отделяет жизнь и смерть….
В жизнь прибегаешь торопливо,
Боясь, наверно, не успеть
Пройти весь длинный путь до срока…
Бежишь, не видя ничего,
И в том, что выбрал ты, нет прока…
И счастье-то – несчастливо,
Беда, ведь, в сущности, не горе,
А горе – вовсе не беда…
Вот, себялюбие – в позоре,
А глупость – горе навсегда.
И всё бежишь, не зная меры.
Дверь приоткрыта, вечность ждёт…
Ты здесь один, и всё без веры….
А благодать к тебе сойдет?
Да полно ждать благословенья,
Когда граница всех дорог
Уж пред тобой. Одно мгновенье –
И вот уже нажат курок,
Не пистолета, не винтовки,
Судьба-оружие бьет цель.
И, как всегда, наизготовку,
Кладет на черную постель.
Преодолев земные страсти,
Пути другие ты пройдешь.
Ты будешь прежним лишь отчасти,
Когда сюда ты вновь придешь.
Так замыкается пространство
В бессрочной ленте бытия.
Всегда наш путь – дорога странствий
И поиск именно себя.

Заключение

Лента Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыл ученый. Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по – прежнему привлекает к себе внимание ученых, изобретателей, художников.

В ходе данного проекта-исследования мною была прочитана и переработана большая разнообразная информация, посвященная объекту моего исследования, различные источники сети Интернет, мне встречались также и работы учащихся, я проводила сравнение различных источников и анализировала прочитанное.

Я познакомилась с историей создания ленты Мёбиуса. В своей работе я пыталась описать свойства этой прекрасной поверхности – листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лента Мебиуса – топологическая фигура. Таким образом, используя теоретические и эмпирические методы, (опираясь на теорию о ленте Мебиуса, на её конструирование) мне удалось добиться следующих результатов:

1.Лента Мебиуса имеет один край.

2.Лента Мебиуса имеет одну сторону.

3.Лента Мебиуса топологический объект.

4.Один край и одна сторона ленты Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

5.Лента Мебиуса представляет собой неориентированную поверхность.

Я сумела получить интересный математический материал. Своими результатами исследования о ленте Мебиуса я поделилась со своими одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало. Вообще я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

Мною не исчерпаны опыты с лентой Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения.