“Математические кривые”

Математические кривые. Подготовил: Цуканов Д. А.

Введение: Актуальность работы: В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с математическими кривыми и практически не замечаем этого. В школьном курсе математики выделено довольно мало времени для подробного изучения этой темы, поэтому хотелось бы углубиться в курс и показать, насколько часто мы сталкиваемся с кривыми.

Введение: Цели для выполнения работы: 1. Изучить возможные источники для поиска информации. 2. Показать, как и где могут пригодиться знания о математических кривых. Методы исследования: Изучение литературы, поисковой.

Определение кривых. В математическом анализе часто используется определение гладкой кривой. Определим сначала плоскую кривую (то есть кривую в R². Пусть x(t) и y(t) — функции на отрезке [a,b], непрерывно дифференцируемые на этом отрезке, и такие, что ² ни для какого t не равно нулю. Тогда отображение  задаёт кривую, которая является гладкой; непараметризованная кривая называется гладкой, если она допускает такую параметризацию. Длину гладкой кривой можно вычислить по формуле = dt  

Термины. Непрерывно дифференцируемые – это функция, имеющая непрерывную производную на всём множестве определения. Очень часто под гладкими функциями подразумевают функции, имеющие непрерывные производные. Математический анализ – совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием “анализ бесконечно малых”, объединяет дифференциальное и интегральное исчисления. Аналитическая функция вещественной переменной – функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Виды. Кривые бывают нескольких видов 1) Кривая Жордана – образ непрерывного инъективного отображения окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, в случае отрезка – жордановой дугой.

2) Алгебраические кривые бывают нескольких типов.  Плоская алгебраическая кривая — это множество точек с координатами x, y, задаваемое множество решений уравнения f(x, y) = 0, где f — многочлен от двух переменных с коэффициентами в поле F. P.S. алгебраические кривые можно определить и в пространствах большей размерности; они определяются как множество решений системы полиномиальных уравнений. Любая плоская кривая может быть дополнена до кривой на проективной плоскости. Если плоская кривая определяется многочленом f(x, y) полной степени d, то многочлен  

Алгебраические кривые. Кривые четвёртого порядка : лемноската Бернулли и овал Кассини. Кривые шестого порядка : астроида и нефроида. Кривая, определяемая уравнением произвольной четвертой степени : (многофокусная) лемниската.

3)Трансцендентные кривые - это кривые, не являющиеся алгебраическими. Более точно, трансцендентные кривые — кривые, которые можно задать как линию уровня аналитической, но не алгебраической функции (или, в многомерном случае, системы функций). Примеры трансцендентных кривых: Гипоциклоида Гиперболическая спираль Кардиоида Клотоида

Роза (плоская кривая) Синусоида Синусоидальная спираль Спираль Архимеда Цепная линия Циклоида Циссоида Диокла

Применение в повседневной жизни. Понятие “кривых” широко распространено в некоторых отраслях металлургии. Мастера постоянно работают с металлом, придавая ему незамысловатую форму.

Кузнечное дело часто встречается с кривыми под названием “золотое сечение”.

Применение в повседневной жизни. Так же с кривыми сталкиваются военные специалисты занимающиеся расчетом траекторий полета снарядов с учетом внешних условий.

Изучение траектории движения снаряда при одновременном влиянии на его полет всех факторов довольно сложно. Поэтому исследование движение снаряда производят сначала в простейших условиях в безвоздушном пространстве, а затем усложняют и приводят к условиям, при которых полет снарядов, происходит в действительности.

Обобщение. Более общее определение кривой для случая плоскости было дано Кантором в 1870-e годы: Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости такое, что его дополнение всюду плотно. Важный пример канторовой кривой доставляет ковёр Серпинского. Какова бы ни была канторова кривая L, она может быть вложена в ковёр Серпинского, то есть в ковре Серпинского содержится подмножество  L', гомеоморфное L. Таким образом ковёр Серпинского является универсальной плоской канторовой кривой. Впоследствии это определение было обобщено Урысоном: Кривой Урысона называется связное компактное топологическое пространство C топологической размерности 1. Ковёр Серпинского удовлетворяет этому определению, так что всякая канторова кривая является также и кривой Урысона. Обратно, если плоский связный компакт является кривой Урысона, то он будет канторовой кривой.

Литература. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. Математический энциклопедический словарь. М. «Советская энциклопедия», 1988 г. Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. https://ru.wikipedia.org/wiki/