Методический материал «Замечательные кривые»

Государственная общеобразовательная учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 443

Тема: «Замечательные кривые»

Руководитель : Потемина Н.А.

Участники ученики 8 класса.

В школьном курсе математики не изучаются свойства замечательных кривых, которые широко используются в жизни.

С некоторыми поистине замечательными кривыми, населяющими удивительный мир геометрии, которые встречаются в нашей жизни гораздо чаще, чем кажется. Они не так уж редки в природе, имеют практическое приложение в жизни человека. Знание их замечательных свойств используется в различных механизмах, используемых человеком в жизни.

В школьном курсе математики рассматриваются кривые – Элипс, Кардиоида и Улитка Паскаля, Циклоида, Спираль Архимеда, Парабола.

Но нигде не говорится о замечательных свойствах данных кривых, а тем более об их практическом применении. Считают, что очень важно учащимся знать замечательные свойства данных кривых, которые широко применяются в жизни. Изучая и даже просто знакомясь с этими свойствами, учащиеся видят действительно практическое применение математики.

Спираль Архимеда . Безобидная воронка, образованная вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий всё на своём пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик — все они имеют форму спиралей .

Одну из первых спиралей, описанную Архимедом, нам продемонстрирует светлячок. Отправим его в путешествие вдоль секундной стрелки часов, полагая, что он будет переме­щаться с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. Если вообразить бесконечно длинную стрелку, то жучок высветит нам спи­раль Архимеда .

Другое свойство спирали Архимеда — про­порциональность приращений радиальных расстояний и углов. Показана схема кулачкового механизма, преобразующего рав­номерное вращение диска в равномерное дви­жение поршня попеременно в одну и другую сторону. Конец осевого стержня поршня сколь­зит по шайбе, края которой представляют со­бой две дуги спирали Архимеда.

Элипс. Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

О свойствах эллипсов во всех подробностях рассказать специалисты, изучающие движение небесных тел. Согласно закону, открытому в XVII в. немецким астрономом Кеплером, все планеты движутся вокруг Солнца по орбитам, имеющим форму эллипса.

У эллипса есть несколько замечательных свойств ,одно из которых можно принять за его определение. Начнём с того, что эллипс это “сплюснутая”, а точнее, равномерно сжатая к своему диаметру окружность. Другими сло­вами, из окружности получается эллипс, если все её точки приблизить к выбранному диамет­ру, сократив расстояния в одно и то же число раз. У эллипса есть замечательное оптическое свойство: прямые, соединяющие любую его точку с фокусами, составляют с касательной к эллипсу в этой точке равные углы. Если представить себе, что эллипс, подобно зеркалу, может отражать световые лучи, и поместить в один из его фокусов источник света, то лучи, отражаясь от эллипса, соберутся в другом его фокусе .

Так же распространяются и акустические волны, что используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «магического» шёпота, «потусторонних» звуков .

Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружений, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико .

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Эта замечательная кривая не так уж редка в природе. Например, камень, брошенный человеком под углом к поверхности Земли, описывает параболу.

Как и другие конические сечения, парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения .

Кардиоида и Улитка Паскаля. Такое название она получила из-за сходства с сердцем (греческое слово «кардио» означает «сердце»). Если, точку, описывающую кривую, взять не на самой окружности, а несколько сбоку, то получим кривую, называемую улиткой Паскаля.

Улитка Паскаля применяется для вычерчивания профиля эксцентрика, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические колебания . Такие механизмы отличаются плавностью возвратно-поступательного движения стержня (например, в механике автомашин).

Синусоида .Синусоида – волнообразная плоская кривая, которая является графиком тригонометрической функции y = sin x в прямоугольной системе координат. Изменение какой-либо величины по закону синуса называется гармоническим колебанием.

Примеры таких колебаний: колебания маятника, колебания напряжения в электрической сети, изменение тока и напряжения в колебательном контуре и др. гармонические колебания воздуха – звук. В медицине – гармонические колебания работы сердца – синусоидальный ритм.

Циклоида. Что общего между словами “цирк”, “циркуль”, “мотоцикл”?.. Оказывается, в них прячется одно и то же греческое слово “киклос” — “круг”, “окружность”. Слово “циклоида” также принад­лежит этому ряду, и не случайно. Циклоидой именуют кривую, которую описывает точка ок­ружности, катящейся без скольжения по непод­вижной прямой .Название кривой дал Галилео Галилей, впервые обративший на неё внимание. Сравнивая вес двух металлических пластинок равной толщины, одна из которых была вырезана по циклоиде, а другая по окруж­ности, порождающей эту циклоиду, Галилей обнаружил, что площадь сегмента циклоиды в три раза больше площади соответствующе­го круга.

Опыты Галилея дали толчок строгим мате­матическим исследованиям циклоиды. Сначала его ученик Торричелли, а затем Роберваль, Де­карт и Ферма не только обосновали зависи­мость, открытую Галилеем, но и установили рад других свойств циклоиды. Простота и изя­щество определения циклоиды привлекали к ней многих математиков XVlI—XVni вв. Ею за­нимались Паскаль, Лейбниц, Гюйгенс, Даниил Бернулли. Причём вначале циклоида сама была предметом пристального изучения, а впоследствии на ней проверялись мощные методы зарождающегося математического анализа.

Перевернём циклоиду выпуклостью вниз и представим, что по ней скатывается тяжелая| частица. Из какой бы точки циклоиды ни начинала движение частица, она скатится вниз за одно и то же время. Замечательное свойство изохронности циклоиды (от греч. “изос”-“равный” и “хронос” — “время”) навело Гюйгенса на мысль использовать её в часовом маятнике. Скатывающийся по циклоидальному жёлобу шарик слишком много энергии тратит на трение, поэтому Гюйгенс предложил под­весить шарик на нити и ограничить свободу во перемещения доской, край которой имеет форму циклоиды (рис. 20). Оказывается, в таком случае движение шарика также происхо­дит по циклоиде, и, следовательно, на период его колебаний не влияет величина отклонения Шарика от вертикали.

В 1696 г. Даниил Бернулли открыл другое замечательное свойство этой кривой. По циклоиде при отсутствии трения частица под действием силы тяжести скатывается из одной заданной точки в другую за наименьшее время. Брахистохронное свойство циклоиды (от греч. “брахистос” -- “кратчайший” и ”хронос” — “время”) доказать отнюдь не просто, оно стало отправной вехой нового направления в -вариационного исчисления.