МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Методы решения систем линейных уравнений

Автор: Евстафиади Светлана Михайловна,

обучающийся 9 класса ГБОУ СК «Гимназия №25» г. Ставрополя,

Российская Федерация, г. Ставрольль

E-mail: sveta.evstafiadi@gmail.com

Наставник: Евстафиади Оксана Александровна,

учитель математики ГБОУ СК «Гимназия №25» г. Ставрополя

E-mail: ksyev1977@gmail.com

АННОТАЦИЯ

Целью исследования является изучение методов решения систем линейных уравнений (ЛУ) с дальнейшим применением тех или иных способов при решении систем. Актуальность заключается в том, что с помощью ЛУ есть возможность моделирования различных процессов в разнообразных сферах. С помощью анализа различных научных источников, было изучено несколько способов решения ЛУ, так же выведены их значительные плюсы и минусы.

ВВЕДЕНИЕ

На уроках алгебры в 7-9 классах мы познакомились с системами линейных уравнений. При решении этих систем применяли методы подстановки и алгебраического сложения, а также графический метод. Появилось желание узнать, а есть ли другие способы решения систем линейных уравнений и так ли сложно их освоить.

Поэтому цель моего исследования – рассмотреть методы решения систем линейных уравнений с последующим оптимальным применением того или иного способа при дальнейшем решении систем.

Актуальность работы вызвана тем, что с помощью линейных уравнений математически можно смоделировать процессы в технике, экономике, производстве и науке.

В работе ставились следующие задачи: изучить литературу по методам решения систем линейных алгебраических уравнений, рассмотреть способы решения систем линейных алгебраических уравнений различными методами, рассмотреть достоинства и недостатки каждого метода.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Системой линейных уравнений называют объединение n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Формат записи системы уравнений следующий: каждое уравнение записывают с новой строки, объединив их фигурной скобкой:

и — неизвестные, —коэффициенты системы, — свободные члены. Пара значений (x; y), которая сразу является решением обоих уравнений системы, называется решением системы. Решить систему — это значит найти все её решения или показать, что их нет.

Для решения систем линейных уравнений в школьном курсе алгебры рассматриваются методы подстановки, алгебраического сложения и графический метод. Но у этих методов есть свои плюсы и минусы.

Прежде чем начинать решать систему линейных уравнений нужно определить есть ли у системы решение или их нет по коэффициентам при соответствующих переменных.

Пусть дана система:

(*)

Если  , то система имеет единственное решение.

Если , то система решений не имеет. В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают.

Если , то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Метод подстановки

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.

Выразить х через у из первого уравнения системы.

Подставить полученное на первом шаге выражение вместо х во второе уравнение системы.

Решить полученное на втором шаге уравнение относительно у.

Подставить найденное на третьем шаге значение у в выражение x, полученное на первом шаге.

Записать ответ в виде пары значений (x; y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.

При решении сложных уравнений выражение одной переменной через вторую может быть слишком громоздким для дальнейших вычислений. Если в системе- более трех переменных, то решение подстановкой нецелесообразно.

Метод алгебраического сложения.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом алгебраического сложения.

Умножить обе части одного или каждого уравнения на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами.

Сложить почленно полученные уравнения.

Решить полученное уравнение с одной переменной.

Найти соответствующее значение другой переменной.

Записать ответ.

Систему уравнений легче решать методом сложения, когда коэффициенты при х и у сразу являются противоположными числами. Метод позволяет быстро исключить одну из неизвестных переменных и найти другую. Метод сложения сложно применить, когда в уравнениях коэффициенты при переменных выражены дробными числами и устно тяжело подобрать наименьшее общее кратное.

Графический метод

Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая, то решение системы можно иллюстрировать при помощи прямых. Построим в одной системе координат оба графика.

Если прямые пересекаются в единственной точке, то её координаты являются решением системы. Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны, то система уравнений не имеет решений. Если прямые, являющиеся графиками уравнений системы, совпадают, то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Алгоритм решения системы графическим методом:

Выразить в каждом уравнении у через переменную х.

Построить в одной системе координат графики полученных функций.

Рассмотреть взаимное расположение графиков.
Решим систему линейных уравнений графическим способом.

Графический метод решения систем, как и графический метод решения уравнений, красив, но ненадежен, так точки пересечения могут быть не такими «хорошими», как в специально подобранных примерах учебника, а то и вовсе могут оказаться за пределами чертежа.

Метод Крамера

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Крамера.

Вычислить определитель, составленный из коэффициентов при х и у: =.

Заменить коэффициенты при х на свободные члены. Вычислить определитель, составленный из коэффициентов при х и у:

Заменить коэффициенты при у на свободные члены. Вычислить определитель, составленный из коэффициентов при х и у:

Найти отношения: ; .

Полученные формулы называют формулами Крамера.

При решении системы возможны такие случаи.

1.. Система имеет единственное решение; ; .

2.; ; . Система не имеет решений.

3. ;; . Система имеет бесконечно много решений.

Метод Крамера точен и не сложен при вычислении определителей матрицы системы, для того, чтобы решать систему методом Крамера необходимо, чтобы количество уравнений было равно количеству переменных в системе.

Метод Гаусса

Метод Гаусса используется для решения систем линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных и заключается в последовательном исключении неизвестных.

Метод Гаусса не сложен и используется для решения систем линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тема «Уравнения и системы уравнений» - одна из ключевых тем школьного курса математики. На ней основаны темы решения неравенств и текстовых задач, аналитическое решение геометрических задач. Если говорить о практическом применении, то можно сказать, что ни одна экономическая модель не обходится без этой темы. Практически все естественные науки тем или иным образом затрагивают тему решения уравнений и систем уравнений. Знание этой темы может пригодиться учащимся в их повседневных делах.

Результаты исследования по теме проекта способствовали более глубокому понимании алгоритмов решения систем линейных уравнений методами, применяемыми в школьном курсе. Также в процессе данного исследования мне пришлось познакомится с методами Гаусса и Крамера, которые в дальнейшем понадобятся при обучении в высшей школе.

Результаты исследования заставили меня задуматься о возможности различных подходов к решению тех или иных проблем. При решении тех или иных задач можно и нужно искать оптимальные варианты их решения. И это касается не только решений систем линейных уравнений.

Список литературы:

Мордкович А.Г Алгебра 7. - М.: Мнемозина, 2009

Домкина Г.Н. Математика полна неожиданностей/ Математика № 31, 2001

Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989

Мордкович А.Г. Вся школьная математика. - М.: Издательский дом «Новый учебник», 2004

[Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: http://www.mathprofi.ru/pravilo_kramera_matrichnyi_metod.html

[Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: http://www.people.su/58424

[Электронный ресурс]. – Режим доступа: URL: http://www.mathprofi.ru/metod_gaussa_dlya_chainikov.html